Transcript 《证明（一）》复习课件

回顾与思考
直观是把“双刃剑”
直观是重要的,但它有时也会骗人.
回顾与思考
1.定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,
也就是给出它们的定义.
2.命题:判断一件事情的句子,叫做命题.
注意：
①每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是
由已知项推断出的事项.
②一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如
果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
③正确的命题称为真命题，不正确的的命题称为假命题
④要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命
题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例．
基础练习A:
1．下列命题中，真命题是（
）
A．有两边相等的平行四边形是菱形;
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形;
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
B．互补的两个角不能都是锐角;
C．乘积是1的两个数互为倒数;
D．全等三角形的对应角相等
基础练习A:
3．“所有的质数都是奇数”的题设是_____，
结论是_____，它是一个_____命题．
（填“真”或“假”）
4．阅读下列语句：
⑴若a∥b，b∥c，则a∥c；
⑵对顶角相等；
⑶相等的角是对顶角；
⑷若a·b=0，则a=0；
⑸两直线平行，同旁内角互补.
在上述语句中，属于真命题的是_____(填序号).
基础练习A:
5．在四边形ABCD中，给出下列论断：
①AB∥DC；
②AD=BC；
③∠A=∠C．•
以其中两个作为条件，另外一个作为结论，
用“如果……那么……”的形式，•写出一个
你认为正确的命题．
回顾与思考
公理:公认的真命题称为公理.
证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理
的方法证实.推理的过程称为证明.
定理:经过证明的真命题称为定理.
本套教材选用如下命题作为公理 :
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,
那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;
5.三边对应相等的两个三角形全等;
6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
几何的三种语言
☞
平行线的判定
公理:
同位角相等,两直线平行.
 ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
c
1
a
2
b
c
a
b
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.b
0
∵∠1+∠2=180 , ∴ a∥b.
1
2
c
1
2
几何的三种语言
平行线的性质
c
公理:
两直线平行,同位角相等.
 ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理1:
两直线平行,内错角相等.
 ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.
 ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
1
a
2
b
c
a
1
2
b
c
a
b
1
2
基础练习B:
将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，
下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；
（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，
其中正确的个数 是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
1
3
2
4
5
基础练习B:
如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上。
那么∠1+ ∠2 +∠3=____________
M
1
a
P 2
3
N
b
图6
基础练习B:
如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一
个矩形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成
∠1、∠2，则∠1+∠2＝
度.
1
2
回顾与思考
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
B
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
A
C
几何的三种语言
关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角.
推论3: 直角三角形的两锐角互余. A
2
△ABC中:
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
3
B
这个结论以后可以直接运用.
4 1
C
D
例题欣赏
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角
∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC.
E
A
B
D
C
例题欣赏
例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为
D
2
边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
C
E
4
A
5
3
1
B
F
例题欣赏
你认识外角吗?
已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
A
H
B
C
2 1F
E
D
你认识外角吗?
试一试
已知: 如图所示.
求证: (1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
B
D
C
A
试一试
C
D
1.如图：将正方形的四个顶点用线
段连接，什么样的线段最短？研究发
现，并非对角线最短，而是如图所示
的连法最短（即用线段AE，DE，EF，
A
BF，CF把四个顶点连接起来） .
E
F
1题图
已知图中∠DAE=∠ADE=300，∠AEF=∠BFE=1200 .
你能证明此时的AB∥EF吗？.
B
试一试
2.已知：如图，直线 a,b被 直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=1800.
c
3 4
2
a
b
1
2题图
试一试
3.已知:如图，∠1+∠2=1800.
求证: ∠3=∠4.
C
E
15
O
A
2
3
D
4
F
3题图
B
基础练习B:
如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，
若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )
A．315°
B．270°
C．180°
D．135°
基础练习B:
一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，
得到一个四边形，则 ∠1  ∠2 
基础练习B:
一副三角板如图所示叠放在一起，
则图中∠α的度数是___ ______．
基础练习B:
如图所示，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO
平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B
平行于α，求角θ的度数．
基础练习B:
如图19，在△ABC中，BD⊥AC与D．若
∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，E为线段BD上任一点．
（1）试求∠ABD的度数；
（2）求证：∠BEC>∠A． A
D
E
B
图19
C
基础练习B:
某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB和DC
的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A=230，
∠D=310，∠AED=1430，请你帮他判断该零件是否合
格．
A
E
B
C
D
基础练习B:
如图10一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如
果第一次拐的∠A是120°，第二次拐的∠B是150°，
第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯
之前的道路平行，则∠C是（ ）
基础练习B:
如图15，要能使AB∥ED，∠B，∠C，∠D应满足
什么条件？
基础练习B:
如图，∠A=150 ，AB=BC=CD=DE=EF，求∠FEM
基础练习B:
如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证：AD∥BC
E
D
A
C
B
F
回顾与思考
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;
(3)根据题设和结论写出已知,求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.
基础练习C:
如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线
交于点O，那么∠BOC与∠A有什么关系呢？
证明你的猜想．
基础练习C:
如图2，，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB
的外角平分线交于点P，试问∠P与∠A有什么关
系？证明你的结论．
基础练习C:
如图3，△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分线
交于点P，试问∠P与∠A有什么关系？证明你的结
论．
基础练习C:
如图17（1），有两条平行直线m、n、AOB是两平行线的
一折线，则我们会有这样的结论：∠O=∠1+∠2．
（1）证明该结论；
（2）如果将折一次改为折两次如图17（2）∠1，∠2，∠3，
∠4会满足怎样的关系，证明你的结论；
（3）若此折线继续折下去，折三次，折四次……折n次，又
会得到怎样的结论？请你用自己的语言来描述所得到的结论
（不必证明）．
有这些结论可以用:
公理 :
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;
5.三边对应相等的两个三角形全等;
6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
结论：
(1)等角的补角相等.
(2)等角的余角相等.
(3)对顶角相等.
(4)平行于同一条直线的两条直线平行.
(5)直角三角形两锐角互余
(6)两锐角互余的三角形是直角三角形
(7)四边形的内角和等于360度
判定定理：
(1)内错角相等，两直线平行.