Transcript 11.3_角平分线的性质

角平分线的性质
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
o
1
2
C
B
复习提问
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离。
P
A
O
线段的长度
B
尺规作图：
观察领悟作法，探索思考证明方法：
点O
作法：1、以____为圆心，
适当
______长为半径作圆弧，
E
A
C
与角的两边分别交于C、
D两点；
C、D
2、分别以_____为圆心，
D
O
B
超过CD一半
__________的长为半径
作弧，两条圆弧交于
E
∠AOB内一点____；
OE
OE
3、作射线_____； _____就是所求作的射线。
想一想：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
A
Ｍ
Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
Ｂ
即：OC平分∠AOB
Ｎ
Ｏ
LOGO
练习1：平分平角∠AOB。
C
B
O
A
D
归纳：“过直线上一点作这条直线的垂线”
的方法。
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角平分线的性质
折一折
A
A
D
P
O
B
C
O
E
B
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠
形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距
离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
A
D
∠ PDO= ∠ PEO ∠
AOC= ∠ BOC
OP=OP
O
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
C
P
E
B
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学
符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证
的途径，写出证明过程。
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
∵
∠1= ∠2
推理的理由有三个，
必须写完全，不能
少了任何一个。
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O
的距离相等)
A
P
1
2
E
B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
A
D
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
P
O
（3）垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
E
C
B
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD = CD ，(
（×）
在角的平分线上的点到这)
个角的两边的距离相等。
B
D
A
C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，(
（×）
在角的平分线上的点到这
)
个角的两边的距离相等。
A
B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个）
角的两边的距离相等。
√
B
A
D
不必再证全等
C
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∵
如图，
OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB
又 ________________
∴PD=PE (
角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
A
D
) C
P
B
O
E
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在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，
EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
O
求证：AC=BD.
C
A
D
E
B
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在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC
的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
C
D
B
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1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂
足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD
⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别
， 是 D 、 E,PD=4cm, 则
PE=__________cm.
A
E
C
A
P
D
B
D
E
B
C
O
A
3 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足
分别是E，F， DE =DF， ∠EDB=
60°，则 ∠EBF= 60
度，
BE= BF
。
E
C
D
B
F
C
4 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC
的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
5.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
你会吗？
D
A
E
B
LOGO
1
如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平
分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求
证：CF=EB
A
E
F
C
D
B
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2已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，
垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
D
M
∴ PD=PE=PF.
N
P
F
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
3 如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与
∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线
的距离相等．
Ｃ
更上一层楼！
Ｐ
F
Ａ
Ｄ
H
Ｂ
G
Ｅ
LOGO
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质：
111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线,
O
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE
(角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
A
D
C
P
E
B
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