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最速降线问题
确定一个连接定点A、 B的曲线,使质点在这曲线
上用最短的时间由A滑至B点 (忽略摩擦力和阻力).
速降线问题实验
速降线是否连接A和B的直线段？
X
牛顿的实验（1630年）
在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑
到B，另一个沿直线从A滑到B。发现沿圆弧的球先到B。伽利
略也曾研究过这个问题，他认为速降线是圆弧线。
A
建模与求解
o
s: 曲线从 A点到 P(x, y) 的速度 v 
由弧微分
x
ds  1  ( y) 2 dx
,得
ds

dt
2 gy


1  ( y) dx
ds
ds
dt 


v
2 gy
2 gy
B
2
yP
需取极小值的积分是
t  y ( x)  

xB
0
1  ( y) 2
2 gy
dx
泛函的极
值问题
由变分理论知 t  y( x)    f ( y, y)dx 的解
xB
0
所满足的欧拉方程为 f
y  f  c1
y
令
1  ( y) 2
f ( y, y) 
2 gy
问题可化为
y 1  ( y)
2
c
最速方案问题
将一辆急待修理的汽车由静止开始沿直线方
向推至相隔 S米的修车处，设阻力不 计，推车
人能使车得到的牵引力 f 满足: -B≤f≤A , f>0
为推力，f<0为拉力。问怎样推车可使车最快停于
修车处。
设该车的运动速度 为υ(t)，根据题
意，υ(0)= υ(T)=0，其中T为推车所花
的全部时间。由 于-B≤f≤A，且f=mυ′，
可知-b≤υ′≤a（其中m为汽车质量，
a=A/m,b=B/m）。
据此不难将本例归纳为如下的数学模型:
min T
T
s.t  υ(t)dt  S
0
dv
b 
 a
dt
υ(0)=υ(T)=0
此问题为一泛函极值问题，求解十分困难，为得出一个最速
方案，我们作如下猜测：
猜测 最速方案为以最大推力将车推到某处，然后以最大拉
υ
A y=at
力拉之，使之恰好停于修车处，其中转换点应计算求出
A′
y=-b(t-T)
S
o
T′
t
T
证明T 设υ=υ(t)为在最速推车方案下汽车的速度，则
有 υ(t)dt
dt=S
 S .设此方案不同于我们的猜测。现 从O点出发，
0
作射线
y=at；从（T,0）出发，作直 线y=-b(t-T)交y=at于A，由
dv
于
，曲线υ=υ(t)必位于三角形区
域
b
a

dt
OAT的内部，从而有ΔOAT的面积大于S。在O到T之间任取一点
T′,过T′作AT的平行线交OA于A′.显然ΔOA′T′的面积S(T′)是T′的
连续函数,当T′=0时S(0)=0, 当T′=T时，S(T）>S，故由连续函数
的性质存在 某T′<T，S（T′）=S但这一结果与υ=υ(t)是最优方案
下的车速的假设矛盾，因为只 需T′时间即可将车推到修车处，
而T′<T。
药物在体内的分布
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)
• 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计
• 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学
• 建立房室模型——药物动力学的基本步骤
何为房室系统？
在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种
叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特
征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整
体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种
联系的部分（多房室系统）。
单房室系统
房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布
(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，
房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部
环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量
守衡。以下我们将用房室系统的方法来研究药物在体内
的分布。
交换
环境
内部
均匀分布
药物分布的单房室模型
单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻
都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种
动态平衡中，即成立着关系式： dx   dx    dx 
dt
 
 
 dt 入  dt 出
药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的
浓度成正比的，即：  dx 
   kx
 dt 出
药物的输入规律与给药的方式有关。
 dx 
下面，我们来研究一下在几种
 
常见的给药方式下体内药体的变化  dt 入
规律。
假设药物均匀分布
环境
机体
x(t )
药物总量
图3-8
 dx 
 
 dt 出
情况1 快速静脉注射
在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。
设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为
D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地
 dx
满足微分方程：
  kx  0
 dt
 x(0)  D
其解为：
负增长率的Malthus模型
x(t )  De kt
药物的浓度： c(t )  D e  kt
V
与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需
只输出不
的时间称为药物的血浆半衰期：
环境
t1 
2
ln 2
k
机体
x(t )
x(0)  D
输入房室
 dx 
 
 dt 出
情况3 口服药或肌注
口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药
物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，
靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存
量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药
物量为y(t)，则y满足：  dy
D为口服或肌注药物总量
因而： y(t )  De k t
1
所以
  k1 y
 dt
 y (0)  D
 dx
k t
  kx  k1De 1
 dt

 x(0)  D
解得： x(t )  k1D (e kt  e k1t )
k1  k
从而药物浓度 C (t )  k1D (e kt  e k1t )
V (k1  k )
外部药物
y(t)
K1y
机体
x(t)
环境
K1x
图3-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。
容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于
急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表
现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持
时间也不尽相同。
我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也
容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根
据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。
图3-9
观众厅地面设计
在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住
自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上
看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那
么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数
学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。
问题的假设
1) 观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线
上地面的起伏曲线即可。
2) 同一排的座位在同一等高线上。
3) 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离
相等。
4) 每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也
相等。
5) 所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个
座位的人的头顶擦过即可。
建立坐标系
y
o—处在台上的设计视点
a—第一排观众与设计视
点的水平距离
b—第一排观众的眼睛到
地面的垂 直距离
d—相邻两排的排距
b
o
a
d
d
x

—视线升高标准
x—表示任一排与设计视
点的水平距离
问题
求任一排x与设计视点o的竖直距离函数 y  y (x)
使此曲线满足视线的无遮挡要求。
建模
设眼睛升起曲线应满足微分方程
初始条件 y x a  b
1）从第一排起，观众眼
y
dy
 F ( x, y )
dx
睛与o点连线的斜率随排
数的增加而增加，而眼
睛升起曲线显然与这些
直线皆相交，故此升起
b
曲线是凹的。
o
a
d
d
x
2）选择某排 M ( x, y ) 和相邻排
M1 ( x  d , y1 ) M 2 ( x  d , y2 )
y
KMM1  K y ( x)  KMM 2

M1 N1  MN  AB  
K MM1
MA  AB MA  


M1B
d
y
MA  d
x
N
N1
M1
o
K MM 1
a
y 
 
x d
D
M
A
B
C
N1MA 相似于 OMC
MA d

y
x
M2
C2
x
y
再计算 K MM 2

ONC 相似于 OM2C2
M 2D  y d  x

y 
x
M2

d  x  y   
D
y 
x
K MM 2
M2
y  
M 2D
  

x x d
MD
y  
y 
dy
 
 

x x d
x d
dx
N
N1
M1
o
C
a
yd d


x
x
K MM 1
D
M
A
B
y 
 
x d
C2
x
4 模型求解
微分不等式（比较定理）
设函数 f ( x, y), F ( x, y) 定义在某个区域上，且满足
1）在D上满足存在唯一性定理的条件；
f ( x, y)  F ( x, y)
dy
 dy

  f ( x, y )
  F ( x, y )
则初值问题  dx
与  dx
 ( x0 )  y0
( x0 )  y0
的解  ( x), ( x) 在它们共同存在区间上满足
2）在D上有不等式
 ( x)  ( x), 当 x  x0
 ( x)  ( x), 当 x  x0
y  dy y  
 
  
x d dx x x d
 dy1 y1 
 

 dx x d
 y1  b
 xa
b

x
y1 ( x)  x  x ln
a
d
a
 dy2 y2  
  

 dx x x d
 y2
 xa  b
b

x
x
y2 ( x)  x  x ln   (  1)
a
d
a
a
b

x
b

x
x
x  x ln  y (x)  x  x ln   (  1)
a
d
a
a
d
a
a
所求曲线的近似曲线方程（折衷法）
y1  y2
折衷法 y 
2
b

x  x
y ( x)  x  x ln  (  1)
a
d
a 2 a
5 总结与讨论
y
方法 利用微分不等式建模；
有时只需求近似解。
b
模型讨论
o
1）视点移动时升起
曲线如何求得？
a
d
d
x
2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。
3）衡量经济的指标？
座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。
油画真假辨别
历史背景：
二战后,荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者,于1945
年5月以通敌罪逮捕了一名三流画家H.A.Vanmeegren,此人曾将
荷兰著名画家创作的一批名贵油画盗卖给德国.但此人被捕后
称自己从未出卖过荷兰利益,所有油画均是自己伪造的.这件事
在当时轰动了全世界,为了证明自己是一个高明的伪造者,他开
始在牢房里作画.当画快要完成时,他又得悉通敌罪可能会改为
伪造罪,为了逃避判决,他末将此画画完,并拒绝将画老化,以免
留下罪证.
为审理此案,法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史
学家等参加的国际专门小组,采用了当时最先进的科学方法,如
X-光线透视等对颜料成份进行分析,终于在几幅画中发现了现
代物质,如现代颜料钴蓝的痕迹.这样伪造罪成立,Vanmeegren
被判一年徒刑.1947年11月30日他在狱中因心脏病发作死去.
但许多人还是不相信其余名画是伪造的,因为他在狱中作的画
质量实在太差,所找理由都不能使怀疑者满意.直到1967年,卡
内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了此问题。
放射物质衰变原理：物质的放射性正比
于现存物质的原子数。
记N(t)为t时刻存在的原子数，则dN/dt为单
位时间内蜕变的原子数，因此有：
λ：衰变
系数
半衰期T:给定数量的放射性原子蜕变一半所需的时间
假设N(t0)＝N0，于是得初值问题：
N (t )  N0e
 (t t0 )
两边取对数后：
放射性物质测定半衰期：
N
  (t  t0 )  ln
  ln 2
N0
铀-238 T  45亿年
碳-14
T  5568年
铅-210
T  22年
镭-226
T  1600年
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应
用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和
更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而
铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅
从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210
的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到
Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210
的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
假设
镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪
的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少
还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟
镭的衰变数可视为常数，用
r
表示。
模型建立：
记y(t)为t时刻每克铅白所含铅-210的数量，y0
为制造时刻t0每克铅白所含铅-210的数量，r为
镭在每克铅白中镭-226在每分钟的蜕变量，λ是
铅-210的衰变常数，则油画中铅-210含量应满足：
解：
因为镭-226衰变为铅-210
求解
y (t ) 
r
[1  e
  ( t t 0 )
]  y0 e
  ( t t 0 )

 (t t0 )
 (t t0 )
y0  y(t )e
 r[e
1]
 , y(t ), r 均可测出。
可算出白铅中铅的衰变数 y0 ，再与当时的矿物
质比较，以鉴别真伪。
矿石中铀的最大含量为2~3%，若白铅中铅210每
分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过
4%。
测定结果与分析
画名
铅210衰变原子数
镭226衰变原子数
Emmaus的信徒们
8.5
0.82
洗足
12.6
0.26
读乐谱的妇人
10.3
0.3
弹曼陀林的妇人
8.2
0.17
做花边的人
1.5
1.4
欢笑的女孩
5.2
6.0
若第一幅画是真品， t  t  300
0
y0  y(t )e
 (t t0 )
300 
 y(t )e
ln 2

22
e
300 
 r[e
 (t t0 )
300 
 r[e
e
300 ln 2
22
1]
1]
2
150
11
y0  2  8.5  0.82 (2  1)
150
11
150
11
 98050个 / 每分钟每克 铅210每分钟每克衰
 30000个 / 每分钟每克 变不合理，为赝品
同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅为真品。