Transcript 第三章 高等数学（XJD） 中值定理与导数 的应用 返回 中值定理与导数的应用的结构 Cauchy 中值定理 F ( x)  x Lagrange 中值定理 1   2 型1   1 1   2  2 1 2 f (a )  f.

第三章
高等数学（XJD）
中值定理与导数
的应用
返回
中值定理与导数的应用的结构
Cauchy
中值定理
F ( x)  x
Lagrange
中值定理
1   2 型
1
1


1
1   2  2
1
 1 2
f (a )  f (b)
Rolle
定理
n0
Taylor
中值定理
高等数学（XAUAT）
0 0 ,1 ,  0 型
洛必达法则
常用的
泰勒公式
0
型
0

型

令y  f
g
取对数
0 型
f g
f
1g
导数的应用
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数
图形的描绘;
曲率;求根方法.
第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理
2. 常用麦克劳林公式
3. 洛必达法则
4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点
5. 函数图形性质的讨论
6. 判定极值的充分条件
7. 最值问题
8. 典型例题
高等数学（XAUAT）
1. 中值定理
罗尔中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内
可导且 f(a)= f(b), 那末   (a, b) ,使 f ( )=0
拉氏中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内
可导, 那末   (a, b) ,使
f (a )  f (b)  f ( ) （拉氏中值公式）
柯西中值定理 设 f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间
(a,b)内可导且 g (x)0, 那末   (a, b) ,使
f (a )  f (b) f ' ( )
 '
（柯西中值公式）
g(a )  g(b)
g ( )
泰勒中值定理 设 f(x)在含 x 0 的某开区间(a,b)内具有(n +1)阶
导数, 则当 x  (a, b) 时，在 x 与 x 0 之间存在  ,使
n
f ( x)  
k 0
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f ( n) ( x0 )
f ( n1) ( )
n
( x  x0 ) 
( x  x 0 ) n1
n!
(n  1)!
2. 常用麦克劳林公式
k
x
ex  
 o( x n )
k  0 k!
n
2 k 1
x
sin x   ( 1) k
 o( x 2 n 2 )
( 2k  1)!
k 0
2k
n
x
cos x   ( 1) k
 o( x 2 n1 )
( 2k )!
k 0
k
n
x
ln(1  x )   (1) k 1
 o( x n )
k
k 1
n
n
1
  x k  o( x n )
1  x k 0
n
  k

(1  x )     x  o( x )
k 0  k 
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n
    (  1)(  n  1)
  
k!
k
3. 洛必达法则
0 
（1） 或 不 定 型
0 
f ( x)
f ( x )
lim
 lim
 l (或 )
x ? g( x )
x ? g ( x )
（2） 0  ,   , 00 , 1 ,  0 不定型
0

0 

1
1

0


 l n1 

1  e xp
 1 


  
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1   2




l
n
0

0 0  e xp
 1 


 0 
1
1

2
1

1
 1 2




l
n


 0  e xp
 1 


 0 
4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点
极值定义 如果f ( x 0 )是f ( x )在x 0的某邻域内的唯一最大(小)值，那么
就称f ( x 0 ) 是f ( x )的极大(小)值，称x 0 是f ( x )的一个极大(小)值点；
极大值(点)和极小值(点)统称为极值(点)．
(a , b)内 可 导 ， 那 么
单调性定理 设 函 数y  f ( x )在[a, b]上 连 续 ， 在
(1) 如 果 在(a , b)内f ( x )  0， 则 函 数y  f ( x )在[a , b]上 单 调 增 加
( 2) 如 果 在(a , b)内f ( x )  0， 则 函 数y  f ( x )在[a, b]上 单 调 减 少
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5. 函数图形性质的讨论
先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1 ,x2 ,x3 ), 再按下表判断
x
(x0, x1)
f (x)
+
x1
-
f (x)
图形
极大
f ( x 1)
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x2
-
f (x)
单增
(x1, x2)
(x2, x3)
x3
-
(x3, x4)
+
+
单减
无
极值
单减
极小
f ( x3)
单增
6. 判定极值的充分条件
取极值必要条件 若 f ( x ) 在 x0 可导有极值 , 则 x0 为 f ( x ) 的驻点
极值可疑点： 驻点（即使 f ( x 0 )  0 的点）、不可微点
极值第一充分条件
设连续函数
y  f ( x )在x 0的 去 心 邻 域 可 导 ， 那 么
(1) 如 果 在x 0的 左 邻 域f ( x )  0， 右 邻 域f ( x )  0， 则f ( x )在x 0 取 极 小 值
( 2) 如 果 在x 0的 左 邻 域f ( x )  0， 右 邻 域f ( x )  0， 则f ( x )在x 0 取 极 大 值
( 3) 如 果 在x 0的 左 、 右 邻 域
f ( x )不 变 号 ， 则
f ( x )在x 0 不 取 极 值
极值第二充分条件
设 函 数y  f ( x )在 驻 点x 0的 邻 域 二 阶 可 导 ， 那 么
(1) 如 果f ( x 0 )  0， 则f ( x )在x 0 取 极 小 值
( 2) 如 果f ( x 0 )  0， 则f ( x )在x 0 取 极 大 值
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7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数
2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点
3. 确定最值点：
(1) 求所有最值可疑点的函数值,比较即知最值(点)
(2) 区间上可导函数的唯一极值点必是相应的最值点
(3) 若知函数有唯一最值可疑点, 而由实际问题本身知函数的最
大(小)值一定存在, 则该最值可疑点必是所求最大(小)值点
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8. 典型例题
例1 验证罗尔定理对
 5
y  ln sin x 在 [ ,
]上
6 6
的正确性.
解
D : 2k  x  2k   , (k  0, 1, )
 5
且在 [ ,
] 上连续.
6 6

5
 5
又 y  cot x 在 ( ,
) 内处处存在 并且 f ( )  f ( )
6
6
6 6
 5
 函数 y  ln sin x 在 [ , ] 上满足罗尔定理的条件.
6 6

 5
在 ( , ) 内显然有解 x  .
6 6
2
取 

2
,则
f ( )  0.
这就验证了命题的正确性.
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  ln 2
由 y  cot x  0,
例2
解
x2
求极限 lim 5
.
x  0 1  5 x  (1  x )
 分子关于 x 的次数为 2.
 5 1  5 x  (1  5 x )
1
5
1
1 1 1
 1  (5 x )   (  1)  (5 x )2  o( x 2 )
5
2! 5 5
 1  x  2 x 2  o( x 2 )
x2
1
原式  lim
 .
2
2
x  0 [1  x  2 x  o( x )]  (1  x )
2
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例3
设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续, 在 ( 0,1) 内可导, 且
f ( 0)  0, f (1)  1, 试证 : 对任意给定的正数 a , b
a
b
在 ( 0,1) 内存在不同的  , 使

 a  b.
f ( ) f ( )
a
 1 又 f ( x ) 在 [0,1]上连续,
证  a 与 b 均为正数,  0 
ab
由介值定理, 存在   (0,1), 使得 f ( )  a ,
ab
f ( x ) 在 [0, ],[ ,1] 上分别用拉氏中值定理, 有
f ( )  f (0)   f ( ),  (0, )
f (1)  f ( )  (1   ) f ( ),  ( ,1)
1
1
两式分别乘
和
并注意到 f (0)  0, f (1)  1, 有
f ( )
f ( )
a
b
a
b

 a  b.

1 
f ( ) f ( )
f ( )(a  b ) f ( )(a  b )
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例4
证明不等式
x y
x ln x  y ln y  ( x  y ) ln
, ( x  0, y  0, x  y ).
2
证 令 f ( t )  t ln t ( t  0),
1
则 f ( t )  ln t  1,
f ( t )   0,
t
 f ( t )  t ln t 在 ( x , y ) 或 ( y, x ), x  0, y  0 是凹的.
1
x y
于是
[ f ( x )  f ( y )]  f (
)
2
2
1
x y x y
即
[ x ln x  y ln y ] 
ln
,
2
2
2
x y
即 x ln x  y ln y  ( x  y ) ln
.
2
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例5
若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微, 且 f (0) 
f (1), f ( x )  1, 证明 : f ( x ) 
1
( x  [0,1])
2
证 设 x0  [0,1], 在 x0 处把 f ( x ) 展成一阶泰勒公式, 有
1
f ( )( x  x0 )2
2
1
2
令 x  0, x  1, 则有 f (0)  f ( x0 )  f ( x0 ) x0  f (1 ) x0
2
1

f (1)  f ( x0 )  f ( x0 )(1  x0 )  f ( 2 )(1  x0 )2
2
f ( x )  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
两式相减，并注意到f (0)  f (1) 及 f ( x)  1, 则有
1
1
1 2 1
2
2






x0  (1  x0 ) 2
f ( x0 )  f (1 ) x0  f ( 2 )(1  x0 )
2
2
2
2
1 2 1 1 1 1
 ( x0  )   2  
再由 x0 的任意性知命题真
2
4 2 4 2
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
例6 过正弦曲线 y  sin x 上点 M ( 2 ,1) 处, 求作
一抛物线 y  ax 2  bx  c 使抛物线与正弦曲线
在 M 点具有相同的曲率和凹向, 并写出 M 点处
两曲线的公共曲率圆方程.
解 曲线 y  f ( x ) 在点 ( x , y ) 处的曲率,曲率半径和
曲率圆的圆心坐标分别为

y[1  ( y )2 ]
y
1  x0  x 
y
k
,


,
3

2

k
1

(
y
)
2 2
 y0  y 
[1  ( y ) ]

y

对曲线 y  sin(x ) , 有 f ( )  1, f (  )  0, f (  )   1.
2
2
2
对于曲线 y  ax2  bx  c,
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
2

有 f( )
a  b  c,
2
4
2


f ( )  a  b, f ( )  2a .
2
2
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导
数和二阶导数, 于是有
2

a  b  c  1, a  b  0, 2a  1. 解此方程组得
4
2
2


1
a   , b  , c  1  . 故所求作抛物线的方程为
8
2
2
1 2 
2
y   x  x 1 .
2
2
8

两曲线在点处的曲率圆的圆心为 ( ,0 ),
2
 2
2
曲率半径   1, 曲率圆的方程为 ( x  )  y  1.
2
高等数学（XAUAT）
x
例7 求函数 y  x  2 的单调区间, 极值,凹凸
x 1
区间, 拐点, 渐近线, 并作函数的图形.
解 (1) 定义域 : x  1, 即 ( ,1)  ( 1,1)  (1,),
x
 f ( x )   x  2
  f ( x ), f ( x ) 为奇函数
x 1
2
2
2
x

1
x
(
x
 3)
( 2 ) y  1  2

, 令 y  0, 得 x   3, 0, 3.
2
2
2
( x  1)
( x  1)
2
2
x
(
x
 3)
1
1
y


, 令 y  0, 得 x  0.
2
2
3
3
( x  1)
( x  1) ( x  1)
( 3)  lim y  ,  没有水平渐近线;
x 
又 lim y  , lim y   ,  x  1 为曲线y 的铅直渐近线
;
x 1 0
x 1  0
高等数学（XAUAT）
( 3)  lim y  ,  没有水平渐近线;
x 
又 lim y  , lim y   ,  x  1 为铅直渐近线
;
x 1 0
x 1  0
lim y  , lim y  ,  x  1 为铅直渐近线
;
x  1 0
x  1 0
y
1
x
 a  lim  lim ( x  2
)  1,
x  x
x  x
x 1
x
 0,
b  lim( y  ax)  lim( y  x )  lim 2
x  x  1
x 
x 
 直线 y  x 为曲线 y 的斜渐近线.
(4) 以函数的不连续点( x  1), 驻点 ( x   3,
x  0, x  3 ) 和可能拐点的横坐标为分点,
高等数学（XAUAT）
列表如下:
x (, 3)  3 ( 3,1)  1 (1,0) 0


y
y


极大值
y
x


0
1
(1, 3 )
y

y

y
高等数学（XAUAT）
0
0
( 0,1)


拐点
3
0
极小值
( 3,)


3
3,
极大值 y x   3  
2
3
3,
极小值 y x  3 
2
拐点为 (0,0).
y
作图
y x
1
高等数学（XAUAT）
o
1
x
测验题
一、选择题：
1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个
共同点，即（ ）
（A） 它们都给出了ξ点的求法 .
（B） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的
方法。
（C） 它们都先肯定了 点一定存在，而且如果满足
定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的
值 .
（D） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是
什么，也没有给出求ξ的方法 .
高等数学（XAUAT）
2、若 f ( x ) 在( a , b ) 可导且 f ( a )  f ( b ) ,则（ ）
（A） 至少存在一点   ( a , b ) ，使 f ( )  0 ；
（B） 一定不存在点  ( a , b ) ，使 f ( )  0 ；
（C） 恰存在一点  ( a , b ) ，使 f ( )  0 ；
（D） 对任意的  ( a , b ) ，不一定能使 f ( )  0 .
3．已知 f ( x ) 在[a , b ]可导，且方程 f(x)=0 在( a , b ) 有
两个不同的根 与  ，那么在( a , b ) （ ）
f ( x )  0 .
（A）必有；
（B）可能有；
（C）没有；
（D）无法确定.
高等数学（XAUAT）
4、如果 f ( x ) 在[a , b ]连续，在( a , b ) 可导，c 为介于
a, b 之间的任一点，那么在( a , b ) （ ）找到两点
x 2 , x 1 ，使 f ( x 2 )  f ( x 1 )  ( x 2  x 1 ) f ( c ) 成立.
（A）必能；
（B）可能；
（C）不能；
（D）无法确定能 .
5、若 f ( x ) 在[a , b] 上连续，在( a , b ) 内可导，且
x  ( a , b ) 时， f ( x )  0 ，又 f ( a )  0 ,则（ ）.
（A） f ( x ) 在[a , b ]上单调增加，且 f ( b )  0 ；
（B） f ( x ) 在[a , b ]上单调增加，且 f ( b )  0 ；
f ( x ) [a , b ]
f (b)  0
（C）
在
上单调减少，且
；
f ( x ) [a , b ]
f (b )
（D）
在
上单调增加，但
的
正负号无法确定.
高等数学（XAUAT）
6、 f ( x 0 )  0 是可导函数f ( x ) 在x 0 点
处有极值的（ ）.
（A）充分条件；
（B）必要条件
（C）充要条件；
（D）既非必要又非充 分 条件.
7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则（ ）.
（A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是
最小值；
（D）极大值必大于极小值 .
高等数学（XAUAT）
8、若在( a , b ) 内，函数 f ( x ) 的一阶导数 f ( x )  0 ，
二阶导数 f ( x )  0 ,则函数f ( x ) 在此区间内( ).
（A） 单调减少，曲线是凹的；
（B） 单调减少，曲线是凸的；
（C） 单调增加，曲线是凹的；
（D） 单调增加，曲线是凸的.
f ( x )  lim F ( x )  0 ，且在点a 的某
9、设lim
xa
xa
邻域中（点a 可除外）
，f ( x ) 及F ( x ) 都存在，
'
f
(
x
)
f
( x)
F ( x)  0
lim
且
,则 x a
存在是lim '
x a F ( x )
F ( x)
存在的（
）.
（A）充分条件； （B）必要条件；
（C）充分必要条件；
（D）既非充分也非必要条件 .
高等数学（XAUAT）
cosh x  1
10、lim
 （ ）.
x  0 1  cos x
1
（A）0；
（B） ；
2
1
（C）1；
（D） .
2
二、求极限：
x a xa
1、 lim
（a  0 ）
；
2
2
xa
x a
1
1  tan x x 3
(
) ；
2、lim
x  0 1  sin x
sin x
1
2
3、 lim [ x  x ln( 1  )] ； 4、lim
；
x

0
x 
1  cos x
x
高等数学（XAUAT）
三、一个半径为R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥
体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
x
 ln( 1  x )  x .
四、若 x  0 ,试证
1 x
五、设 f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d 有拐点（1，2）
，
x
并在该点有水平切线， f ( x ) 交
轴于点（3，0）
，
求 f ( x) .
六、确定a , b , c 的值，使抛物线 y  ax 2  bx  c

与正弦曲线在点( ,1) 相切，并有相同的曲率.
2
4( x  1)
 2 的图形.
七、绘出函数 f ( x ) 
2
x
高等数学（XAUAT）
八、设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，在(0,1)内可导，且
a, b 在
f (0)  0, f (1)  1,试证：对任意给定的正数
a
b

ab .
(0,1) 内存在不同的 , ，使 '
'
f ( ) f ( )
高等数学（XAUAT）
测验题答案
一、1、D； 2、D； 3、A； 4、B； 5、D；
6、B； 7、C； 8、D； 9、B； 10、C.
1
1
1
2
e
； 2、 ； 3、 ； 4、不存在.
二、1、
2
2a
三、 2 : 1 .
9
1 3 3 2 3
五、 f ( x )   x  x  x  .
4
4
4
4
2
1 2 
.
六、 y   x  x  1 
8
2
2
高等数学（XAUAT）