Transcript 精品课程《解析几何》 解 析 几 何 课程组成员：朱松涛 黄长虹 邵晶 辛彩婷 鹿凯 张风云 精品课程《解析几何》 §2.1 平面曲线的方程 精品课程《解析几何》 一、曲线的方程 二、曲线的参数方程 三、常见曲线的参数方程 精品课程《解析几何》 一、曲线的方程 定义2.1.1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线 之间有着关系： ①满足方程的( x, y )必是曲线上某一点的坐标； ②曲线上任何一点的坐标( x, y )满足这个方程， 那么这个方程就叫做这条曲线的方程(equation of a curve)， 这条曲线叫做这个方程的图形。 概括言之，曲线上的点和方程之间存在着一一对应的关系 精品课程《解析几何》 例1 求圆心在原点，半径为R.

精品课程《解析几何》
解 析 几 何
课程组成员：朱松涛 黄长虹 邵晶 辛彩婷 鹿凯 张风云
精品课程《解析几何》
§2.1 平面曲线的方程
精品课程《解析几何》
一、曲线的方程
二、曲线的参数方程
三、常见曲线的参数方程
精品课程《解析几何》
一、曲线的方程
定义2.1.1
当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线
之间有着关系：
①满足方程的( x, y )必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标( x, y )满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程(equation of a curve)，
这条曲线叫做这个方程的图形。
概括言之，曲线上的点和方程之间存在着一一对应的关系
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例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是
M 到圆心O的距离等于半径R，即 OM  R，
由两点间的距离公式可得
x 2  y 2  R，
(1)
两边平方可得x 2  y 2  R 2 .
(2.1.1)
方程（）
1 与（2.1.1）完全同解，所以(2.1.1)即为所求圆的方程.
类似可得圆心在（a，b)半径为R的圆的方程为
（x - a) 2  ( y  b) 2  R 2 .
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例2
已知两点 A(2, 2)和 B(2, 2) ，求满足条件
| MA |  | MB | 4 的动点的轨迹方程
解：动点M（x，y）在轨迹上的充要条件是
MA  MB  4，即
（x  2）2 （y  2）2  （x  2）2 （y  2）2  4， （2）
移项得 （x  2）2 （y  2）2  （x  2）2 （y  2）2  4，
两边平方整理得 （x  2）2 （y  2）2  x  y  2，（3）
再两边平方整理得 xy  2，
（4）
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方程（2）与（3）同解，而（4）与（3）
却不同解，但附加条件x  y  2  0
即x  y  2后（4）与（3），（2）都是同解的，
所以方程
xy  （
2 x  y  2）
为所求动点M 的轨迹方程.
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二、曲线的参数方程
定义2.1.2
若取 t  a  t  b 的一切可能取值
①由 r  t   x  t  e1  y t  e2  a  t  b  表示的向径r  t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值 t0  a  t0  b 通过 r  t   x  t  e1  y t  e2  a  t  b  完全决定，
那么就把 r  t   x  t  e1  y  t  e2  a  t  b  叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
 x  x  t 
, a  t  b
其坐标式参数方程为： 
 y  y  t 
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例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹
该定点的轨迹称为旋轮线或摆线（cycloid）
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解：取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，
开始时点P恰好在原点O，经过一段时间的滚动，
圆与x轴的切点移到A点，圆心移到C点，这时有
r  OP  OA  AC  CP,
设 
（CP，
CA），于是 （，
i CP） 
（
则CP  ia cos（ 

2
 ） ja sin（ 

2

2
 ），
 ）（
  a sin ）
i （  a cos ）j.
又因为 OA  AP  a，所以OA  a i，
AC  a j，
故r  a   sin   i  a 1  cos   j
即为所求P点轨迹的向量式参数方程，
其中（
       )为参数.
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取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，
开始时点P恰好在原点O，设P点的坐标为（x，y），
可得P点的坐标式参数方程为
 x  a   sin  
，（      )

 y  a 1  cos  
取0     时，消去参数，可得P点轨迹
在0     时的普通方程为
x  a arccos
a y
a
 2ay  y 2 .
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三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，
小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆
在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
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解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴，
过O点垂直于OA的直线为y轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为B，
并设小圆中心为C，则C一定在半径OB上，显然有r  OP  OC  CP，
设 
（，
i OC）， 
（CP，
CB），则OC （
i a - b）cos   （
j a  b）sin ，
且有a  AB  PB  b，所以 
又 CP  b，所以CP  ib cos
ba
 ib cos
b
， （，
i CP）    
  jb sin
b
ab
b
a
ba
  jb sin
b
，

b
a b
b
ba
，
ab  
ab 

r （
a

b
）
cos


b
cos

i

（
a

b
)
sin


b
sin
  j.

 
b
b

此式即为内旋轮线的向量式参数方程，（
      )为参数.
圆的内摆线
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设P点的坐标为（x，y），可得内旋轮线
的坐标式参数方程为
a b

 x （a  b）cos   b cos b 
，（       )

 y （a  b) sin   b sin a  b 

b
圆的内摆线
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特殊的，
当a  4b时，应用公式 cos 3  4 cos 3   3cos ，
sin 3  3sin   4 sin 3 ，
 x  a cos3 ，
内旋轮线的方程化为 
3
 y  a sin  .
这样的内旋轮线称为四尖点星形线.
四尖点星型线
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（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，
小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线（epicycloid）
Rr

x

R

r
cos


r
cos




r
参数方程为： 
,       
R

r
 y   R  r  sin   r sin


r
特别地，当R=r时，得到心脏线
 x  2R cos  (1  cos  )
参数方程为： 
 y  2R sin  (1  cos  )
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（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋
转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切
线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线
（involute）
 x  R  cos    sin  

 y  R  sin    cos  
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（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 y 2
 2 1
2
a
b
 x  a cos 

第一种参数方程以角度 为参数：
,       
 y  b sin 

a  b 2  a 2t 2 
x 

b 2  a 2t 2 ,    t   
第二种参数方程以斜率 t 为参数： 
2ab 2t

y 2

b  a 2t 2
