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一、复习提问：
1.什么是空间共线向量？
若空间向量的基线平行或重合，则这些向
量叫做共线向量或平行向量。记作a // b
注：零向量与任一向量是共线向量。
2.平行向量基本定理：
对于平面内任意两个向量a , b (b  0),
a // b  存在唯一实数使a  b .
作用：在平面内判定向量平行（共线）。
3. 平面向量基本定理：
如果e1和e2是一平面内的两个不共线的向量，
那么该平面内的任一向量a, 存在唯一的一对
实数a1 , a2 , 使a＝a1 e1  a2 e2
一、共线向量定理

二：新授

两个空间向量a，
b, b  0 ，则a // b的充要条件
是存在唯一的实数x，使a  xb.
注：
（1）此为充要条件；
（2）定理中条件 b  0 是必须的，
否则实数
x 就不唯一。
（3）共线向量且基线不重合时可证平行
二.共面向量:
1、向量与平面平行:
已知向量a, 作OA  a, 如果a的基线OA平行于
平面 或在平面内，则称向量a平行于平面，
记作a // 
a
2、共面向量：
平行于同一平面的向量
O

A
b
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间
任意三个向量就不一定共面的了。
3、共面向量定理
如果两个向量
a ,b
不共线,则向量 c 与
向量 a , b共面的充要条件是存在唯一实数
对 x, y 使
c  xa  yb
证明：（）必要性
1
：如果向量c与向量a、
b共面，可以通过平移，
使它们位于同一平面内，由平面向量基本定理知：一定存在唯
一的实数对x, y使c  xa  yb
(2)充分性：如果c满足关系式：
c=xa+yb,则可选定一点O，
作OA  xa, OB  yb, 于是OC=OA+AC=xa+yb=c，
所以OA、
OB、
OC都在平面OAB内，
c
说明c与a、
b共面。
三个向量共面，又称这三个向
量线性相关；反之，如果三个
向量不共面，则称这三个向量
线性无关。
B c
Ob
aA
C
例1、如图，在空间四边形ABCD中，
若AB、CD中点分别为E、F，判断EF
与AD + BC是否共线？
A
G
E
D
B
F
C
解：取AC中点G，连接EG、FG，

1
1
1
∵EF = EG + GF = BC + AD = AD + BC
2
2
2
∴EF与AD + BC共线。

例2、已知斜三棱柱ABC－ABC，使AB  a,
AC  b, AA  c在面对角线AC上和棱BC上
分别取点M和N，使AM  k AC , BN  k BC
MN与向量a, c共面。
 0≤k≤1 , 求证：
A
B
M
A
C
B N
C
4.共面向量定理等价说法
(1)点P在面MAB 内  存在有序实数
对x , y , 使 MP  x MA  y MB
( 2)点P在面MAB内  对于
空间任一定点O , 有
 B p
Mb 
aA
P
OP  OM  x MA  y MB
O
(3)四点MABP共面  空间任意一点O,满足
OP  xOM  yOA  zOB, 且x  y  z  1, x, y, z  R
作用：作为证明点在面内或四点共面的理论依据
归纳小结：
空间四点P、M、A、B共面
 存在唯一实数对（x , y）使得
,
MP  xMA  yMB
 存在唯一实数对  x, y  满足OP  OM  xMA  yMB
 OP  xOM  yOA  zOB(其中，x  y  z  1)
平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线
向量来线性表示.
由二维到三维,由平面到立体,推广:
空间任一向量能用几个不共面的向量
来线性表示呢？
z
P
y
O
x
三、空间向量分解定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对空
间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组
(x，y，z)，使 p  xa  yb  zc
证明存在性：将三个不共面向量平移到
同一起点O，作AB // b, BD // a, BC // c
E
b
p
D
O
C
B
p  OB  BA
A
c
 OC  OD  OE
 xa  yb  zc
下证唯一性:
假设存在实数组
( x, y, z) ,且 x  x
,使
p  xa  yb  zc
那么
即
xa  yb  zc  xa  yb  zc
( x  x)a  ( y  y)b  ( z  z)c  0
因为
x  x
所以
y  y
z  z
a
b
c
x  x
x  x
从而 a, b, c 共面,这与已知 a, b, c 不共面矛盾
因此,有序实数组
( x, y, z )
是唯一的.
基本概念：
1、
a、
b、
c的线性组合（线性表达式）：表达式xa  yb  zc
2、基底:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么空间的每一
个向量都可由向量 a, b, c 线性表示.把 {a, b, c} 称为
空间的一个基底。
3、基向量:基底中的每一个向量叫基向量。
4、正交基底:如果空间一个基底的三个向量是两两互相
垂直,那么这个基底叫做正交基底。
单位正交基底:
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个
基底为单位正交基底。 通常用 {i, j , k}表示
解释说明：
1、空间中任意三个不共面的向量都可以构成空
间的一个基底。
2、三个不共面向量说明它们都不是零向量。
（零向量与任意非零向量共线，零向量与任意两
个非零向量共面）
3、基底与基向量的区别：基底是不共面三个向
量构成的一个向量组，基向量是基底中的某个向
量。
4、如果空间的一个基底确定了，空间中的任意一
个向量都可以由这个基底的线性组合生成。所以
空间所有向量构成的集合为 p p  xa  yb  zc, x, y, z  R


推广：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空
间任一点P，都存在唯一的有序实数组
( x，y，z)，使 OP  xOA  yOB  zOC
说明：
1 、可以根据空间向量基本定理确
定空间任意一点的位置。这样，就
建立了空间任意一点与惟一的有序
实数组（x、y、z）之间的关系，
从而为空间向量的坐标运算作准备，
也为用向量方法解决几何问题提供 A
了可能。
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、
A、B、C四点共面。
O
P
C
P
B
P
知识运用
1、如果a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，
则a与b有什么关系？ 共线
2、判断：O, A, B, C为空间四点，且向量OA, OB, OC不
构成空间的一个基底, 那么点O, A, B, C有什么关系？共面


3、已知向量 a,b,c 是空间的一个基底，从a,b,c
中选哪个向量，一定可以与向量p = a + b,q = a - b
构成空间的另一个基底？
答：向量c，因为如果c与a + b，
a - b共面，那么c与a，
b共面，
这与已知矛盾。
例3、已知平行六面体ABCD - A BCD，


设AB = a，
AD = b，
AA  = c，试用基底 a，
b，
c
 BD，
 CA ，
表示如下向量：
AC，
DB
D’
AC  a  b  c
解：
BD  a  b  c
CA  a  b  c
DB  a  b  c
C’
A’
B’
D
C
c
b
A
a
B
例4：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，
M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且
使MG=2GN，试用基底 {OA, OB, OC}
表示向量 OG
解：在△OMG中，
1
2
OG  OM  MG  OA  MN
2
3
1
2
 OA  (ON  OM )
2
3
O
M
C
G
A
N
B
1
1
1
 OA  OB  OC
6
3
3
三、巩固练习：
1、如图，在平行六面体ABCD－A B C D 中，
AB＝a，
'
'
'
'
AD＝b，
AA'＝c，p是CA '的中点，M是CD '的中点，
N是C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ：QA'＝4:1，
用基底｛a，
b，
c｝表示以下向量：
1)AP；
2)AM
3)AN
4）
AQ
A'
N
Q
B’
c
A
a
B
D'
P
b
C’
M
D
C
2、已知PA  平面ABCD,四边形ABCD
是正方形，G为PDC重心，
AB  i ,


AD  j , AP  k , 试用基底 i , j , k 表示
向量 PG、
BG、
AG.
解： PG  2 PN  2 ( PD  DN )  j  k  1 i
3
3
2


1
1
BG  PG  PB  j  k  i  i  k   i  j
P 2
2
1 1
AG  AP  PG  k  j  k  i  i  j
2 2
G
A
D
N
B
C


给出下列向量组（）
1 a, b, x (2)  x, y, z (3) b, c, z
(4)  x, y, a  b  c 其中可以作为空间的基底的向量组有（ C ）个？
3、设 x  a  b, y  b  c, z  a  c, 且 a, b, c 是空间的一个基底，
A1 B 2
C 3
D 4
A'
B'
构造平行六面体，数
形结合，直观判断。
c
C'
A
D
b
B
D
a
C