Transcript 3.5 二维随机变量的函数分布

概率论与数理统计
课件制作：应用数学系
概率统计课程组
第五节 二维随机变量的函数分布
3.5.1 和的分布
3.5.1.1 离散型随机变量和的分布
3.5.1.2 连续型随机变量和的分布
3.5.2 一般函数
3.5.4
Z  g( X ,Y )
的分布
最大值、最小值的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分
布，现在我们进一步讨论:
当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时，
如何求出它们的函数
Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m
的分布?
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，
然后将其推广到多个随机变量的情形.
和的分布：Z = X + Y
一、离散型分布的情形
例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…,
P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,
求Z=X+Y的概率函数.
解:
P( Z  r)  P( X  Y  r)
r
此即离散
卷积公式
  P ( X  i ,Y  r  i )
由独立性
i 0
r
  P ( X  i ) P (Y  r  i )
i 0
=a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为
1, 2 的泊松分布,
证明Z=X+Y服从参数为 1  2 的泊松分布
.
解：依题意
P ( X  i) 
e
 1

i
1
i!
e  2 2j
P (Y  j ) 
j!
由卷积公式
r
i=0,1,2,…
j=0,1,2,…
P ( Z  r )   P ( X  i ,Y  r  i )
i 0
由卷积公式r
P ( Z  r )   P ( X  i ,Y  r  i )
i 0
r
  e-1
i 0


e
1i
i!
 ( 1  2 )
r!
e
 ( 1  2 )
r!
 e-2
r2-i
(r - i)!
r
r!
i r -i
12

i 0 i! (r - i)!
(1  2 ) ,
r
r=0,1，…
即Z服从参数为 1  2 的泊松分布.
例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),
求Z=X+Y 的分布.
我们给出不需要计算的另一种证法:
回忆第二章对服从二项分布的随机变
量所作的直观解释:
若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试
验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的
概率都为p.
同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现
的次数,每次试验中A出现的概率为p.
故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验
中事件A出现的次数，每次试验中A出现
的概率为p,于是Z是以（n1+n2，p）为参数
的二项随机变量
即:若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，
则 X+Y～B(n1+n2,p)
二项分布的可加性
类似已知:若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则
X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
和的分布：Z = X + Y
一、连续型分布的情形
例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度
解: Z=X+Y的分布函数是:
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
  f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z}
是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ ( z ) 
 f ( x, y)dxdy
x  y z
化成累次积分,得

z y


FZ ( z )   [ 

z y 
  [  
f ( x, y)dx ]dy
f ( x , y )dy]dx

fZ ( z )  F ( z )   f ( z  y, y)dy
'
Z

由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成

fZ ( z )  F ( z )   f ( x, z  x )dx
'
Z

以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘
密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:

f Z ( z )   f X ( z  y ) fY ( y )dy


f Z ( z )   f X ( x ) fY ( z  x )dx

这两个公式称为卷积公式 .
例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度
1, 0  x  1
f ( x)  
求Z=X+Y的概率密度 .
 0, 其它
解: 由卷积公式

fZ ( z )   f X ( x ) fY ( z  x )dx

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
 0 x1

0  z  x  1
即
 0 x1

x  z  x  1

fZ ( z )   f X ( x ) fY ( z  x )dx

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
 0  x 1
 0  x 1
即 

0  z  x  1
x  z  x  1
如图示:
于是
 z dx  z,
0  z 1

 0
 1
f Z ( z )    dx  2  z, 1  z  2
z 1

0,
其它


可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求
密度函数两种方法求和的分布
y
解法二 从分布函数出发
1
FZ ( z )  P( X  Y  z )


f ( x, y )dxdy
x y z
  f X ( x ) fY ( y )dxdy
x y z
当z < 0 时， FZ ( z )  0
1
x
当0  z < 1 时，
z
z x
0
0
FZ ( z )   dx 
y
1dy
  ( z  x )dx
1
z
0
2
z

2
f Z ( z)  z
•z
•z
1
x
当1 z < 2 时，
1
zx
FZ ( z )  ( z  1)   z dx
1 0
y
1dy
z
•
1
1
 z  1   z 1 ( z  x)dx
2
z
 2z  1
2
f Z ( z)  2  z
z-1 1•z
x
y
当2  z 时，
2
FZ ( z )  1
1
f Z ( z)  0
1
 0,

f Z ( z )   z,
 2  z,

z  0或z  2
0  z 1
1 z  2
2
x
例6 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.
如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀
分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到
13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另
一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先
到的概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45), Y~U(0,60)
解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻
以12时为起点，以分为单位，依题意，
X~U(15,45), Y~U(0,60)
1
1
 , 15  x  45
 , 0  x  60
f X ( x )   30
fY ( y )   60
 0,
其它
 0,
其它
由独立性
先到的人等待另一人
甲先到
1

到达的时间不超过5分钟

, 15  x  45,0  y  60 的概率
f ( x, y ) 的概率
 1800

0,
其它
所求为P( |X-Y | 5) 及P(X<Y)
解一：
P(| X-Y|  5)
=P( -5< X -Y <5)
x 5
1
  [
dy]dx
15
x 5 1800
45
=1/6
y
60 
40
x  y  5
xy5


10 
0
15
y
60 
45
P(X<Y)   [ 
15
=1/2
60
x
1
dy]dx
1800
40
x
45
xy


10 
0
15
45
x
解二：P(| X-Y|  5)
1
 
dxdy
1800
|x  y|5
y
60 
40

1


[60  30  2(10  30  30  30 / 10
2)]
1800
0
=1/6
被积函数为常数，
直接求面积
P(X <Y) =P(X >Y)
=1/2
x  y  5
xy5
15
y
60 
40
x
45
xy


10 
0
15
45
x
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船
各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到
达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船
需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试
求其中一艘船要等待码头空出的概率.
把长度为a的线段在任意两点折断
成为三线段，求它们可以构成三角形的
概率.
长度为a
例7 设随机变量X1和X2相互独立,且均服从标准正
态分布N~(0,1),求Y= X1+X2的概率密度函数.
x1 2
x2 2


1
1
2
2
解 由题意得 f ( x ) 
e
,
f
(
x
)

e
1
1
2
2
2
2
X1和X2相互独立,故
fY ( y)  


y2

4
1
f 1 ( y  x ) f 2 ( x )dx 
2
y
  ( x  )2
2

x2
 
2


e
e
( y  x )2

2
dx
t
y   u2
1
 x  (  e du   )

e  e
dx 令
2 
2
2
2
y2
t2
y

 
1
1 4
4
2

e  e dt
Y ~ N (0,2)
e

2 2
2 
结论: 两个独立的正态分布的随机变量的和
仍服从正态分布.
.即:若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X1,X2独立,则
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
更一般地, 可以证明:
有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.
推论: 有限个独立的正态分布的线性函数
仍服从正态分布.
即:若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2,...n), X1,X2, ...Xn相互
独立,实数a1,a2,...,an不全为零,则
n
a X
i 1
i
i
n
n
i 1
i 1
~ N ( a i  i ,  a i  i )
2
2
特别, 若X1,X2, ...Xn独立同正态分布N(μ,σ2) ,
记:
1 n
X   Xi ,
n i 1
则
X ~ N ( ,
2
n
)
设二维随机变量 ( X , Y ) 在矩形
例8
G  {( x, y) | 0  x  2,0  y  1}上服从均匀分布，
试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度函数 f S (s)
 1
, ( x, y )  G
解
易知，( X , Y ) 的联合概率密度为f ( x, y )   2
 0, ( x, y )  G
因为
 
s
h
(
xy
)
f
(
x
,
y
)
dxdy
 
 
2 x
1
1
2 xs
  [  h( xy )  dy ]dx    h( s ) dsdx
0
0
0 0
2
2x
x
2
2
2 1
2
1
0
  h( s )(
dx)ds   h( s ) ln x | ds
0
s 2x
0
 ln 2  ln s
2
s
,0  s  2
f
(
s
)

所以 S

2
2
1
  h( s )  (ln 2  ln s )ds
 0
, 其他
0
2
2
1
三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，
它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),
求M=max(X,Y) 及N=min(X,Y)的分布函数.
M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，
故有
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
又由于X和Y 相互独立,
于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:
FM(z)=P(M≤z)
=P(X≤z,Y≤z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
=1- P(X>z)P(Y>z)
即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
下面进行推广
设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,
它们的分布函数分别为 FX i ( x ) (i =0,1，…, n)
与二维情形类似，可得:
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
FM ( z )  FX ( z )…F X (z )
1
n
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
FN ( z )  1  [1  FX 1 ( z )]…[1  FX n ( z )]
特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数
F(x)时，有 FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n
需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且
具有相同分布函数F(x)时, 常称
M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)
为极值 .
由于一些灾害性的自然现象，如地震、
洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要
的作用和实用价值.
下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散
型r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.
例9 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几
何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, … ( i =1,2)
求Y=max(X1,X2)的分布 .
解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)
记1-p=q
=P(X1=n, X2≤n)+P( X2 =n, X1 <n)
 pq
n 1
n
 pq
k 1
k 1
 pq
n1
n1
 pq
k 1
1 q
2 n1 1  q
pq
pq
1 q
1 q
n1
n
n1
 pq (2  q  q )
2 n 1
n
k 1
n1
解二: P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)
=P(max(X1,X2) ≤ n )-P(max(X1,X2) ≤n-1)
=P(X1≤ n, X2≤n)-P( X1 ≤ n-1, X2 ≤ n-1)
n
 [ pq
n1
]  [ pq k 1 ]2
k 1 2
k 1
k 1
n
n1
1

q
1

q
 p2 [
]2  p2 [
]2
1 q
1 q
n1 2
 (1  q )  (1  q )
n 2
n1
n1
 pq (2  q  q )
n
那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)
的分布，应如何分析？
留作同学课后思考
练习. 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，
联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设
L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别
为
e x x  0
f X ( x)  
x0
 0
 e   y
y0
fY ( y )  

0
y0
其中>0，>0,试分别就以上两
种联结方式写出L的寿命Z的概率
密度．
这一讲，我们介绍了求随机向量函数
的分布的原理和方法，需重点掌握的是：
1、已知两个随机变量的联合概率分布，会
求其函数的概率分布；
2、会根据多个独立随机变量的概率分布求
其函数的概率分布．