Transcript 复数与方程

高三复习课
复数与方程
上海市上南中学
教师：王孟琛
引例
1.设z∈C，解方程： z  | z | 2  i
2.在复数集上分解因式：x2-2x+10
3.关于x的方程：
x2 +(-5+i)x+6-2i=0
(1)若x∈R，解这个方程；
(2)若x∈C，解这个方程。
引例1：设z∈C，解方程： z  | z | 2  i
解：令Z=a+bi(a,b∈R)代入原方程
得
(a  a  b )  bi  2  i
2
2
3


a  a  b  2
a 

4



b  2
b  2
2
∴方程的解是
2
3
Z   2i
4
引例2:在复数集上分解因式：
x2-2x+10
解1:方程x2-2x+10的Δ=-36，
∴方程的两根是:x1=1+3i，x2=1-3i
∴
x2-2x+10=(x-1-3i)(x-1+3i)
解2：x2-2x+10=[(x-1)2 +9]
= [(x-1)2–(3i )2 ]
=(x-1-3i)(x-1+3i)
引例3.关于x的方程：
x2 +(-5+i)x+6-2i=0
(1)若x∈R， (x2-5x+6 ) +(x–2)i=0
由复数相等的条件，得：
x2-5x+6 =0，且x–2=0，
∴方程的实数解是： x=2
(2)若x∈C，
方程一根是： x=2 ，设另一根为x2，
由根与系数的关系：2+ x2=5-i，∴ x2=3-i
∴方程的数解是： x1=2, x2=3-i
问题讨论
1.如何解含有复数共轭和模的方程 ？
2.如何在复数集中解实系数一元二
次方程？实系数一元二次方程有哪些
性质？
3.虚系数一元二次方程有哪些性质？
复习
一.含有未知数 z 和|z|的复数方
程的解法，通常设z=x+yi,代入
原方程，再利用复数相等的条
件化为方程（组）解决，就是
把复数问题实数化。
二.在复数集中,一元二次程:ax2+bx+c=0
(a≠0)(a，b，c都是实数)，有如下性质：
(1)△≥0时，方程有两个实根： x1,2
b  b2  4ac

2a
(2)△<0时，方程在C上有
b  4ac  b2 i
x1,2 
两个互为共轭虚根：
2a
(3)根与系数的关系：无论△≥0还是△<0都有:
b
c
x1  x2   , x1 x2 
a
a
(4)实系数一元二次方程的虚根成双出现；
三.若a，b，c不全都是实数，则为虚
系数一元二次方程，有如下性质：
1.如果求实数根，可实部与虚部分
离，利用复数相等的条件来解；
2.用判别式△来判断方程根的情况
无效；
3.违达定理仍然适用；
4.虚根成双出现的性质无效。
例1：设z∈C，解方程：
|z|2- z =(2-i)z
分析：这个方程次数不高，又含有z, z
,|z|，
∴可设z=x+yi，代入方程后，利用复数相等的条件。
解：设z=x+yi，（x，y∈R），
代入方程：x2+y2-(x-yi)=(2-i)(x+yi)
x2+y2-x+yi=2x+y+(2y-x)i
x 2  y 2  x  2x  y

y  2y  x

 x1  0  x 2  2
或

 y1  0  y 2  2
∴原方程的解:z=0或z=2+2i。
例2：在复数集上解方程:
x2-5|x|+6=0
思路分析:
(1)方程含有复数的模|x|,设x=a+bi
(a,b∈R),把复数问题实数化.
(2)方程变为x2=5|x|-6,从中可知x必
是实数或纯虚数.
例3: 若关于x的方程x2+5x+m=0的两个
根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数m的
值．
思路分析:这是实系数一元二次方程,
若Δ≥0, x1，x2是两实数根,
则|x1-x2|2=(x1-x2)2 = (x1+x2)2-4
x 1x 2
若Δ<0, x1，x2是两共轭虚数根,
则|x1-x2|2=- (x1+x2)+4 x1x2
注意:|a|2=a2在a为实数时成立。
例4：方程x2-2x+1-4a=0(a∈R)的两
根为α、β ，求：f(a)=|α|+|β|
的解析式：
分析:Δ=4-4(1-4a)=16a
    2

由根与系数的关系
    1  4a
分类：(1)a<0时, α、β共轭虚数；
(2)a≥0时， α、β是实根；
0≤a≤1/4时， α、β 同为非负实数；
a>1/4 时，α、β为异号两实数。
例5：在复数范围内分解因式：
x3-x2+3x+5
例6: 已知实系数一元二次方程2x2＋rx
＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的值．
例7：方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一
实根，求实数m的值和这方程的解．
例8.复数集上解方程: z z  3i z
 1  3i
例9:已知方程x2+mx+1+2i=0
（m∈C）有实根，求|m|的最小值．