Transcript 曾第5章

第五章 中心力场
§5.1
§5.2
§5.3
§5.4
中心力场中粒子运动的一般性质
无限深球方势阱
三维各向同性谐振子
氢原子
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
中心力场：粒子所受的力总是通过一个中心，如万有引力场，
原子中电子所受的库仑场，三维各向同性谐振子。
经典力学中中心力场的特点：
(1)势函数仅是径向坐标的函数，即
(2)角动量守恒

V (r )  V (r )
  
l rp



dl dr   dp 1   
  pr
 p  p  r  [ V ( r )]
dt dt
dt μ


 r dV ( r )
[l , Hˆ ]  0
 r 
0
r dr
(3) 中心力场中粒子的运动必为平面运动，平面的法线方向
就是角动量的方向
  
l rp
   
r l  pl  0
5.1.1 角动量守恒与径向方程
设质量为μ的粒子在中心力场V(r)中运动，其哈密顿为
2
2
p

Hˆ 
 V (r )  
 2  V (r )
(1)
2
2
可以证明：

2
[l , H ]  [l , H ]  [lx , H ]  [l y , H ]  [lz , H ]  0
(2)
2
  2  l
p 2   2  2   2
r
 2
r r r r
2
2
2
2
2
2  l
 
l
2 
   2 



r


2
2
2

r
r

r
r
r

r
r


在球坐标下，有
能量本征方程
2
2
  1 

l
r
 V (r )  E

2
2
2r
 2 r r

2
径向动能
(3)
2
离心势能
(4)
2
在中心力场中，l2, l, lx, ly, lz均是守恒量，选守恒量完全集 ( H , l , l z )
其共同本征函数为
ψ (r,θ ,φ )  Rl (r )Ylm (θ ,φ ),l  0,1,2,, m  0,1,2,,l
(5)
代入方程(4)得到径向波函数满足的方程
d2
2 d
l (l  1) 
 2
Rl (r ) 
Rl (r )   2 ( E  V (r )) 
Rl (r )  0
2
2

dr
r dr
r 

令
则有
Rl (r )  χ l (r ) / r
(6)
(7)
l (l  1) 
 2
 l(r )   2 ( E  V (r ))  2   l (r )  0
r 

(8)
显然，能量本征值E与m无关，能级有2l+1重简并。但选用守恒量
2
完全集 ( H , l , l z ) 后， 同一能级的各简并态的标记和它们间的
正交性自动解决
对角动量l=0的情况，(8)式与一维势场的情况相同，只不过
自变量的取值范围不同。
对于非束缚态，E连续变化；对于束缚态，则E取离散值。在求
解径向方程时，将出现径向量子数nr, nr=0,1,2,…,代表径向波函数
节点的个数(不包括0和∞)。能级E依赖于量子数nr和l，记为Enrl。
在给定l的情况下，随nr增大Enrl增大；在给定nr的情况下，随l增
大，Enrl增大。
原子光谱学记号
l  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6，

s, p, d , f , g , h, i,
5.1.2 径向波函数在r →0邻域的渐进行为
假定势函数满足
lim
r 2V (r )  0
(10)
r 0
在r →0时，方程(6)可渐进表示成为
d2
2 d
l (l  1)
Rl ( r ) 
Rl ( r ) 
Rl ( r )  0
2
2
dr
r dr
r
(11)
在正则奇点r =0的邻域，设上述方程的解为 Rl (r )  r s
代入(11)得
解得
s( s  1)  l (l  1)  0
s  l ,(l  1)
(12)
Rl (r )  r l , or, r (l 1)
根据波函数的统计诠释，若 Rl (r )  1 / r s ，则必有 s  3 / 2
显然，当l≥1时， Rl (r )  r (l 1) 的解必须抛弃；但l=0时，
R0 (r )  1 / r 的解并不违反此要求。但若把r=0包含在内
ψ  R0 (r )Y00  1 / r
并不是能量本征方程
 2 2

  V ( r )ψ  Eψ

 2m

(14)

1
  4πδ ( r )
r
2
利用下列公式可进行验证
Rl (r )  r l
因此方程(6)在r →0的解为
或等价地要求径向方程(8)的解满足
lim χ (r )  0
r 0
l
(15)
-------径向方程解的边界条件
的解。
5.1.3 两体问题化为单体问题
两粒子体系的能量本征方程
 2 2 2 2
   

1 
 2  V ( r1  r2 ) ( r1.r2 )  ET ( r1.r2 )

2m2
 2m1

引进质心坐标R和相对坐标r
 m1r1  m2 r2   
R
, r  r1  r2
m1  m2
可以证明
其中
1 2 1 2 1 2 1 2
1 
2   R  r
m1
m2
M
μ
M  m1  m2 , μ  m1m2 /(m1  m2 )
Total mass
Reduced mass
2
2
2
2
2
2






2
 2R 


,

 2 2
r 
2
2
2
2
X
Y
Z
x
y
z
(16 )
(17)
(19)
则方程(16)可化成
 2 2 2 2
 






V
(
r
)

(
r
.
r
)

E

(
r
T
1.r2 )
 2M R 2 r
 1 2


分离变量



(r1.r2 )   ( R) (r )
( 20)
(21)
代入(20)得

2 2 

R ( R)  EC ( R)
(22)
2M
 2 2
 




V
(
r
)

(
r
)

E

(
r
), E  ET  EC (23)
 2 r



方程(22)描述的是质心的运动，是自由粒子的能量本征方程，Ec
是质心运动的能量，与体系的内部结构无关；方程(23)描述的是
相对运动，其形式与单粒子的能量本征方程相同，只不过时把粒
子的质量改为约化质量，E为相对运动能量。
§5.2 无限深球方势阱
无限深球方势阱
V(r)
0, r  a
V (r )  
, r  a
(1)
(1) 对s（l=0）态，径向方程为
2mE
 0( r )  2  0 ( r )  0

边界条件
( 2)
χ 0 (0)  χ 0 (a)  0
0
a
r
(3)
在势阱内(0<r<a)，方程(2)可化成
χ 0(r)  k 2 χ 0 (r)  0
式中
k  2mE / , ( E  0),
由边界条件知： ka  (nr  1)π ,
(4)
(5)
其解为
χ 0 (r ) ~ sin kr
nr  0,1,2,(6)
粒子能量本征值为 2 2
  (nr  1)2
E  Enr 0 
, nr  0,1,2,(7)
2
2m a
归一化的本征函数为
2
(nr  1)πr
χ nr 0 (r ) 
sin
, 0ra
a
a

a
0
[ χ nr 0 (r )]2 dr  1
(8)
(9)
(2) 对l≠0态，径向方程为
Rl( r ) 
2
 2 l (l  1) 

Rl ( r )  k 
Rl ( r )  0, (0  r  a )
2

r
r 

边界条件
Rl (a)  0
(11)
引进无量纲参量 ρ  kr ，则方程(10)可化为
(10)
 l (l  1) 
d2
2 d
Rl 
Rl  1 
 Rl  0
2
2
dρ
ρ dρ
ρ 

(12 )
此为球Bessel方程，其解可取球Bessel函数和球Neumann函数.
ρ 0
jl ( ρ )  ρ l /( 2l  1)!!
n l ( ρ )  ( 2l  1)!! ρ ( l 1)
(13)
若将r=0（ρ = 0）考虑在内，Neumann函数的解在物理上不能
接受，因此在球方势阱内的解应取为
由边界条件得
Rl (r )  jl (kr)
(14)
jl (ka)  0
(15)
来确定 jl (ξ )  0 的根，依次记为
  ka
ξ n l , nr  0,1,2,
r
则粒子能量的本征值为 E
nl
r
2

 , nr  0,1,2, (16)
2 nr l
2a
粒子的能级图
2s
0h
1d
20 9.00
05 8.86
12 8.37
0g
04 6.77
1p
11 6.04
0f
03 4.94
1s
10 4.00
0d
02 3.36
0p
0s
01 2.04
00
1
nr l
Enrl / E00
与能量本征值对应的径向本征函数为
Rnrl (r)  Cnrl jl (knrl r), knrl  ξ nrl / a
1/ 2
 2

Cnrl   3 / jl 1 (k nrl a ) jl 1 (knrl a)
 a

a
2
R
(
r
)
R
r
 nrl nr l dr  δ nr nr
0
当a→∞时，此时粒子无任何限制，为自由粒子，其波函数不能
归一化，此时选径向波函数为
Rkl ( r ) 

a
0
2
π
jl ( kr)
Rkl (r )Rk  r 2dr  δ (k  k )
§5.3 三维各向同性谐振子
V (r) 
势函数
1
m 2 r 2
2
(1)
径向方程是
2
1
l (l  1) 
 2m 
2 2



Rl (r )  Rl (r )   2  E  m r  
Rl (r )  0
2

r
2
r 

 
(2)
选自然单位制   m    1 ，则径向方程可化为
Rl(r ) 
2
l (l  1) 

Rl( r )  2 E  r 2 
Rl ( r )  0
2

r
r 

在r=0处，波函数的渐进行为是
r  0,
在r→∞时，方程(3)可化为
Rl(r )  r 2 Rl (r )  0
其解为
r  ,
Rl (r ) ~ e
Rl (r) ~ r l
r2 / 2
(3)
(4)
(5)
设方程(3)的解是：
l r2 / 2
Rl (r )  r e
u(r )
(6)
2
2
代入方程(3)可得：u  (l  1  r )u  2 E  ( 2l  3)u  0 (7)
r
令
ξ  r2
，则(7)可化为
d 2u
du
ξ
 (γ  ξ )
 αu  0
2
dξ
dξ
(8)
此方程是合流超几何方程，其中参数为
1
α  (l  3 / 2  E ), γ  l  3 / 2  整数
2
( 9)
1γ
方程(8)有两个解： u1  F (α , γ ,ξ ), u2  ξ F (α  γ  1,2  γ ,ξ )
1γ
 r 2l 1 ，则在ξ=0的邻域内，u2在物理上不能接受。
由于 ξ
则方程(8)的解为
u  F (α , γ ,ξ )  F ((l  3 / 2  E ) / 2, l  3 / 2,ξ ) (10)
合流超几何函数的级数形式
α
α (α  1)ξ 2 α (α  1)(α  2)ξ 3
F (α , γ ,ξ )  1  ξ 

 (11)
γ
γ (γ  1)2
γ (γ  1)(γ  2)3!
在ξ→∞时，上述形式的解不能满足束缚态的边界条件，因此
上式必须中断为一个多项式。
令
则
令
α  (l  3 / 2  E ) / 2  nr , nr  0,1,2,(12)
E  (2nr  l  3 / 2)ω,
nr , l  0,1,2,(13)
N  2nr  l
(14)
则三维各向同性谐振子的能级为
E  EN  ( N  3 / 2)ω, N  0,1,2,(15)
相应的径向波函数是 Rnr l ( r )  r e
l
α 2 r 2 / 2
F (  nr , l  3 / 2, α 2 r 2 )
归一化得
Rnr l ( r )  α
1/ 2
2
( 2l  2nr  1)!!
l α 2 r 2 / 2
2 2
(
α
r
)
e
F
(

n
,
l

3
/
2
,
α
r )


r
2
 π nr ![(2l  1)!!] 
l  2  nr
3/ 2

归一化条件

0
[ Rnrl ]2 r 2dr  1
(16)
nr为径向量子数，也是径向波函数的节点数，
如 nr=0,1的径向波函数
R0l ( r )  α
1/ 2


2
l α 2 r 2 / 2
(αr ) e

2
 π [(2l  1)!!] 
l 2
3/ 2
1/ 2
l 3


2
3/ 2
l α 2 r 2 / 2
2 2
R1l ( r )  α 
(
α
r
)
e
[(
l

3
/
2
)

α
r ]
2
 π [(2l  1)!!] 
讨论
1. 能级简并度
7
17/2
36
3p, 2f, 1h, 0j
6
15/2
28
3s, 2d, 1g, 0i
5
13/2
21
2p, 1f, 0h
4
11/2
15
2s, 1d, 0g
3
9/2
10
1p, 0f
2
7/2
6
1
5/2
3
1s, 0d
0p
0
N
3/2
1
0s
EN ( ω )
fN
各向同性谐振子的能级和简并度
nrl
N  2nr  l
对于给定的能级EN
nr= 0,
1,
2, …,
(N-1)/2 或
N/2
l = N-2nr = N, N-2, N-4, …, 1 (N为奇) 或0（N为偶）
N为偶数时
1
f N   ( 2l  1)  ( N  1)(N  2)
2
l 0 , 2 ,, N
N为奇数时
fN 
1
(
2
l

1
)

( N  1)(N  2)

2
l 1, 3,, N
即能级简并度为
fN 
1
( N  1)( N  2)
2
2. Cartesian 坐标系中求解
在直角坐标下
其中
H  Hx  H y  Hz
(19)
2 2 1
2 2
Hx  

μω
x
2
2m x
2
2 2 1
2 2
Hy  

μω
y
2
2m y
2
2 2 1
2 2
Hz  

μω
z
2
2m z
2
选守恒量完全集(Hx, Hy, Hz), 其共同本征态是
n n n ( x, y, z)  ψn ( x)ψn ( y)ψn ( z), nx , ny , nz  0,1,2,(20)
x y z
x
相应的能量本征值是
y
y
Enx n y nz  ( nx  1 / 2)ω  ( n y  1 / 2)ω  ( nz  1 / 2)ω
 ( N  3 / 2)ω
N  nx  n y  nz  0,1,2,
( 21)
类似可求出，对给定的N，能级简并度为
ny+nz
nx= 0,
1,
2, …,
N-1,
N
= N,
N-1,
N-2, …,
1,
0
N-1, …,
2,
1
(ny+nz可能的数目) N+1, N,
即能级的简并度为
1
f N  1  2    N  ( N  1)  ( N  1)( N  2)
2
它高于一般中心力场的简并度(2l+1)
3. 不同力学量完全集之间的关系（表象变换）
不同力学量完全集的共同本征态间通过幺正变换联系在一起
2
(H , l , lz ) :
ψ n lm  ψ 011 , ψ 011 , ψ 010
r
N=1
( H x , H y , H z ) :  nx n y nz  100 ,  010 ,  001
可以证明
ψ 011    1 / 2

 
ψ 011    1 / 2
ψ   0
 010  
 i / 2 0 100 


 i / 2 0  010 

0
1  001 
对N=0的基态，能级不简并，两组对易守恒量完全集的共同本征
态是相同的
ψ n  0 ,l  0 , m  0
r
n
α 3 / 2 α
 3/ 4 e
π
x 0 , n y 0 , n z 0
α 1/ 2 α
 1/ 4 e
π
2 2
r /2
2 2
x
1/ 2
α
/2
 1/ 4 e α
π
2 2
y
1/ 2
α
/2
 1/ 4 e α
π
2 2
z /2
练习 求解二维各向同性谐振子的能级和波函数。
§5.4 氢原子
库仑势
V (r )  e2 / r
 2μ 
e 2  l (l  1) 
径向方程：χ l( r )   2  E   
 χ l (r )  0
2


r 
r 
 
(1)
( 2)
  memp /(me  mp )
χ l (0)  0
边界条件
在自然单位下   e  μ  1
，方程(2)可化为
2 l (l  1) 

χ l( r )  2 E  
χ l (r )  0
2

r
r 

当r→0时，方程(4)的解是
(3)
( 4)
χ l (r)  r l 1
当r→∞时，方程(4)可化为 χ l(r )  2Eχ l (r )  0
( E  0)
其解是：
χ l (r)  e βr ,
β   2E
(6)
 βr
χ
(
r
)

e
, (7)
根据束缚态的边界条件，当r→∞时，取 l
l 1  βr
χ
(
r
)

r
e u(r )
令方程(4)的通解为： l
(8)
代入方程(4)可得：
ru  [2(l  1)  2 βr]u  2[(l  1) β  1]u  0
(9)
令
ξ  2 βr
则得

d2
d
1
ξ
u  [ 2(l  1)  ξ ]
u  (l  1)   u  0
2
dξ
dξ
β

(10)
(11)
对比合流超几何方程
d2
d
ξ
u  (γ  ξ )
u  αu  0
2
dξ
dξ
(12)
则得
γ  2(l  1)  2, α  l  1 
1
β
方程(11)有两个解： u1  F (α , γ ,ξ ), u2  ξ
1γ
 r 2l 1
由于 ξ
(13)
1γ
F (α  γ  1,2  γ ,ξ )
，则在ξ=0的邻域内，u2在物理上不能接受。
则方程(8)的解为u1，为满足束缚态边界条件，合流超几何函数
必须中断为一个多项式。
1
α  l  1   nr , nr  0,1,2,
令
由(6)得
β
n  nr  l  1, n  1,2,3
1 2
1
E β  2
2
2n
因此氢原子的能量本征值是
μe 4 1
e2 1
E  En   2 2  
, n  1,2,3,
2
2 n
2a n
n主量子数
a  2 / μe2 （Bohr 半径）
相应的径向波函数是
Rnl  ξ l eξ / 2 F (nr ,2l  2,ξ )
归一化的径向波函数
Rnl  N nlξ l e ξ / 2 F (  n  l  1,2l  2,ξ )
2r
2
( n  l )!
ξ  , N nl  3 / 2 2
na
a n ( 2l  1)! ( n  l  1)!


0
[ Rnl ( r )]2 r 2dr  1
氢原子束缚态的能量本征函数是
ψnlm (r,θ ,φ )  Rnl (r )Ylm (θ ,φ )
最低的几条能级的径向波函数是
n  1, R10 
2
er / a
a 3/ 2
1 
r  r / 2a
n  2, R20 
1  e
3/ 2
2 a  2a 
1
r r / 2a
R21 
e
3/ 2
2 6a a
2

2
2r 2  r    r / 3a
n  3, R30 
1
   e
3/ 2 
3 3a  3a 27  a  
8
r
r   r / 3a
R31 
1   e
3/ 2
27 6a a  6a 
2
4
 r   r / 3a
R32 
  e
3/ 2
81 30a  a 
∞
Paschen
5
4
25
16
5s,5p,5d,5f,5g
4s,4p,4d,4f
3
9
3s,3p,3d
2
4
2s,2p
Balmer
Lyman
氢原子能级图
1
1
1s
n
fn
nl
讨论
1. 能级简并度
对于给定的能级n一定，l=n-nr-1
l= 0,
1,
2,
3, …,
相应有nr= n-1, n-2, n-3, n-4,
n-1
…, 0
对于给定的角量子数l，磁量子数可以有2l+1个值
能级简并度为
fn 
l  n 1
2
(
2
l

1
)

n

l 0
高于一般中心力场的简并度(2l+1)
2. 径向位置概率分布
在Ψnlm态下，在球壳(r, r+dr)内找到粒子的概率为
wnr (r )dr  r dr  d nlm (r , ,  )  Rnl (r ) r 2dr  [  nl (r )] 2 dr
2
2
2
χnl的节点数为： nr  n  l  1
nr=0(l=n-1)的态称为园轨道,圆轨道无节点。
曲线
2
χ n ,n 1 的极大值所在的位置是 rn  n2a, n  1,2,3,
rn称为最可几半径
如基态
4
10 ( r )  3 r 2e 2 r / a
a
2
d
2
10 ( r )  0
dr
r1  a
较低的几条能级上电子的径向位置概率分布曲线见下图
3. 概率密度随角度的变化
在(θ,φ)方向的立体角dΩ中找到粒子的概率是
wlm ( ,  )d  d

r 0
2
Rnl (r ) Ylm ( ,  ) r dr  Pl (cos ) d
2
2
2
m
显然，该概率与φ无关，即对绕z轴是旋转对称的
角量子数较低的粒子态的概率密度随角度的变化见下图
1
Y00 (θ , φ ) 
4π
z
2
3
Y1, 1 (θ , φ ) 
sin 2 θ
8π
2
2
Y1,0 (θ , φ ) 
3
cos 2 θ
4π
z
Z

y
y
y
x
x
x
4. 电流分布与磁矩
电子的电流密度为
在球坐标下
 ie 

j
(ψ nlmψ nlm  ψ nlmψ nlm
)
2μ
   1  
1

  er
 eθ
 eφ
r
r θ
r sin θ φ
代入电流密度公式可算出
jθ  jr  0
z
ie 1

 

jφ 
(ψ nlm
ψ nlm  ψ nlm
ψ nlm )
2 μ r sin θ
φ
φ
ie 1
em 1
2
2

2im ψ nlm  
ψ nlm
2 μ r sin θ
μ r sin θ
则通过截面dσ的电流元是
dI  jφ dσ
j

o
x
d
r
y
沿z轴方向总磁矩为
1
1
2
2
S
d
I

π
r
sin
θ  jφ dσ


c
c
e m
em
2
2

ψ
2
π
r
sin
θ
d
σ


ψ
nlm
nlm dτ


2 μc
2 μc
Mz 
由波函数的归一化条件得
em
Mz  
  μ B m,
2μc
e
μB 
2μc
高斯单位制
显然对s态有Mz=0.
Mz
e

 g
m
2μc
取
e
Bohr磁子
Gyromagnetic ratio 回转磁比值
2 c 为单位，则有 g  1
5. 类氢离子
原子核外只有一个电子的离子称为类氢离子，如He+, Li++,
Be+++, 等
类氢离子的能级公式
En  
μe 4 Z 2
2
2 n
2
, n  1,2,3,(36)
e  Ze
Pickering线系(1896):与氢原子的Balmer线系类似，但若归于
氢原子光谱会出现分数量子数
Bohr对Pickering线系的解释：He+离子的光谱线
He+(Z=2)从En→Em(n>m)发出的光的波数为
En  Em
1
 1
~
 nm 
 4 R 2  2 ,
hc
m n 
(37)
2π 2 μe 4
R
h 3c
(Rydberg常数)
对m=4(n=5,6,7,…)有
 1 4  n
~
ν 4 n  R  2  
 R / 4
4 n 
氢原子的Balmer 线系(m=2, n=3,4,5,…)有
 1 4  n
~
 2 n  R 2  2  
 R / 4
2 n 
本章小结
1. 中心力场中的守恒量
2. 中心力场中径向方程的一般形式
3. 直角坐标系向质心坐标和相对坐标的转换
4. 无限深球方势阱的解
5. 三维各向同性谐振子的求解
6. 氢原子问题的求解