Transcript 第零章矢量分析
第 零 章 第0章 矢量分 析 Vector Analysis 矢 量 分 析 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式 返 回 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.1 标量场和矢量场 Scalar Field and Vector Field 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。 例如，在直角坐标下： 5 ( x, y , z ) 4π [( x 1) 2 ( y 2) 2 z 2 ] 标量场 如温度场、电位场、高度场等； A( x, y, z ) 2 xy2e x x 2 ze y xyze z 如流速场、电场、涡流场等。 矢量场 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 形象描绘场分布的工具——场线 (1) 标量场--等值线 (面) 其方程为: h ( x, y, z ) const 思考 图0.1.1 等高线 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 矢量场--矢量线 其方程为： A dl 0 在直角坐标下： 二维场 Ay Ax dx dy 三维场 Ay Ax A z dx dy dz 图0.1.2 矢量线 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 l 的方向导数为 ( , , ) (cos , cos , cos ) l x y z 设 g ( , , ), el (cos , cos , cos ) x y z 式中 , , l 分别是任一方向 g el | g | cos( g, el ) 则有： l 当 ， ( g , el ) 0 最大 l 与 x, y, z 轴的夹角 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 ex ey e z grad x y z ——梯度(gradient) 式中 ( , , ) x y z ——哈密顿算子 图0.1.3 等温线分布 梯度的意义 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即 最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 例 0.2.1 三维高度场的梯度 高度场的梯度与过该点的等 高线垂直； 数值等于该点位移的最大变 化率； 图0.2.1 三维高度场的梯度 指向地势升高的方向。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 例 0.2.2 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。 图0.2.2 电位场的梯度 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢量场的通量与散 度 Flux and Divergence of Vector 0.3 矢 量 分 析 0.3.1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分 Φ S E dS 若 S 为闭合曲面Φ E dS S 图0.3.1 矢量场的通量 根据通量的大小判断闭合面中源的性质： = 0 (无源) < 0 (有负 源) 图0.3.2 矢量场通量的性质 > 0 (有正源) 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.3.2 散度 ( Divergence ) 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以 任意方式缩小到点 P 时： lim V 0 1 V S A dS div A div A A Ax x Ay y Az z ———散度 (divergence) 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 散度的意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 A 0(无源） A (正源) A (负源) 图0.3.3 通量的物理意义 在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 • A=0 ， 称之为无源场。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem ) A lim 1 V 0 V S A dS 通量元密度 Φ A dS lim S S 图0.3.4 散度定理 AVn V AdV n n 1 Vn 0 A dS AdV V ——高斯公式 矢量函数的面积分与体积分的相互转换。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.4 矢量场的环量与旋度 Circulation and Rotation of Vector Field 0.4.1 环量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空间有 向闭合曲线 L 的线积分 Γ A dl L ——环量 图0.4.1 环量的计算 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环 线旋转趋势的大小。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 例：流速场 图0.4.2 流速场 水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡 旋运动。 流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.4.2 旋度 ( Rotation ) 1. 环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记 为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限 dΓ 1 lim S 0 S dS Α dl L ——环量密度 环量密度是单位面积上的环量。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 2. 旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最 大值；其方向为最大环量密度的方向 rot A A ——旋度(curl) 它与环量密度的关系为 dΓ ( A) en dS 在直角坐标下: en－ S 的法线方向 ex A x Ax ey y Ay ez z Az 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 3. 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其 方向是最大环量密度的方向。 在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场 （或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。 若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 4. 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ) dΓ ( A) en dS dΓ ( A) en dS ( A) dS l A dl S ( A) dS 图 0.4.3 斯托克斯定理 ——斯托克斯定理 矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.5 亥姆霍兹定理 Hymherze Theorem 亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及 边界条件惟一地确定。 已知： 矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件 电荷密度 在电磁场中 电流密度 （矢量 J A 惟一地确定） 场域边界条件 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 例 0.5.1 试判断下列各图中矢量场的性质。 F 0 F 0 F 0 F 0 F 0 F 0 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 0.6 特殊形式的电磁场 Special Forms of Electromagnetic Field 1. 平行平面场 如果在经过某一轴线( 设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f（x，y）， 则称这个场为平行平面场。 如无限长直导线产生的电场。 0 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 2. 轴对称场 如果在经过某一轴 线 ( 设为 z 轴 )的一族子 午面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f（r,），则 称这个场为轴对称场。 如螺线管线圈产生的 磁场；有限长直带电导线 产生的电场。 返 回 上 页 下 页 第 零 章 矢 量 分 析 3. 球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原点）， 场 F 的分布都相同 ，即 F= f（r），则称这个场 为球面对称场。 如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。 0 返 回 上 页 第 零 章 作 矢 量 分 析 业 试证明下列各题: , r r 1. 3 , r r r r, 1 2. 0 3. A 0 式中： r xe x ye y ze z r xe x ye y z e z ( x, y , z ) A Ax e x Ay e y Az e z 返 回 上 页