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理论物理(二)

电

数学准备知识

动

力

学

主讲：沈静琴 博士、副教授


Slide 2

电动力学

电磁场
电磁波

 
E ( x, t )
矢量场  
B( x, t )

数学描写方法： 矢量分析和矢量场论


散度   E

旋度   B


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本章主要内容
• 矢量代数

• “场”的概念

标量场和矢量场

• 标量场的梯度

∇算符

• 矢量场的散度

高斯定理

• 矢量场的旋度

斯托克斯定理

• ∇的运算公式
• 张量和并失
• “三度”在不同坐标系中的表示


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§ 0-1 矢量代数
一．矢量定义





A （单位矢量）
A  AA, A  A , A 
A
3

在坐标系中 A   Ai ei

直角坐标系

i 1




A  Ax i  Ay j  Az k

Ax  A cos 
方向余弦

Ay  A cos 

Az  A cos 


A  Ax2  Ay2  Az2


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二、矢量运算
加法： A  B  B  A

交换律

( A  B)  C  A  ( B  C )
3

A  B   ( Ai  Bi )ei

结合律
满足平行四边形法则

i 1

乘法：

• 标量积（点乘）

• 矢量积（叉乘）
• 混合积

  
A  (B  C)

 
A B
 
A B


Slide 6

 
为A与B的夹角

3

A  B   Ai Bi  AB cos  Ax Bx  Ay By  Az Bz

点乘：

i 1

点积为标量

交换律

A B  B  A

A  (B  C)  A  B  A  C

 
为A与B的夹角

叉积为矢量

叉乘：

分配律

e1 e2

e3

A  B  AB sin  en  A1 A2 A3

i


j


k

B1 B2 B3

直角坐标系

 
A  B  Ax

Ay




Az  ( Ay Bz  Az By )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j  ( Ax By  Ay Bx )k

Bx

By

Bz


Slide 7

叉乘：

e1 e2

e3

A  B  AB sin  en  A1 A2 A3
B1 B2 B3

 
几何意义：以 A、B为邻边的平行四边形的面积为叉积的大小，


方向 A 旋转到 B的拇指方向。

A  (B  C)  A  B  A  C

分配律

A B  B  A

不满足交换律


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混合积：
A1

A2

A3

A  ( B  C )  B  (C  A)  C  ( A  B)  B1

B2

C1

C2

B3  Bx B y Bz
Cx C y Cz
C3

Ax

Ay

  
几何意义：以 A、B、C 为邻边的平行六面体的体积。

三重失积：
A  ( B  C )  B( A  C )  C ( A  B)  ( A  C ) B  ( A  B)C

A  ( B  C )  ( A  B)  C

Az


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§ 0-2 标量场的梯度（gradient）
一、 什么是“场”？
物理量的某种空间分布，该空间称为该物理量场。
标量场 （如电势场、温度场等）


   ( x, y , z , t )   ( x , t )

矢量场 （如电磁场、速度场等）

 
 
A  A( x, y, z , t )  A( x , t )

与时间t无关——稳恒场，随时间变化——变化场。
本节引进的标量场的梯度，就是用来刻划标量场的变化及其不均
匀性的特征量。


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二. 位置矢量
z


P点用位置矢量 x 表示


x'

“场点”P：要研究，考察的那一点
用位置矢量表示：


 

x  xi  yj  zk

Q


r

P(x,y,z)


x

0
x

“源点”Q：产生场的物质所在点





x '  x' i  y ' j  z ' k


“场点”P相对于“源点”Q的位置矢量：r




  
r  x  x '  ( x  x' )i  ( y  y' ) j  ( z  z' )k

y


Slide 11

三、方向导数
P1

P2


l


l 为场中的任意方向，P1是这
个方向线上给定的一点，P2为
同一线上邻近的一点。

 (P) 表示标量场在P点的值

   ( p 2 )   ( p1 )


从P1沿l 到P2的增量

1、定义：
若极限
存在，


 ( p2 )   ( p1 )
lim
 lim
l 0 l
l 0
l

则该极限为标量值记作


。
l Pl



 (x )在p1处沿
称之为标量场

的方向导数——标量
l


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三、方向导数

1、定义：
l

Pl


 ( p2 )   ( p1 )
 lim
 lim
l 0 l
l 0
l

2、物理意义：


(x
) 在一点处沿任意方向
方向导数是标量函数


l 对距

离的变化率。

四、 梯度


过P1点总可以找到一个方向 n ，在此方向上的方向导数最大

（即增加最快的），此n方向的方向导数 即为梯度的大小。


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四、 梯度

 
grad    
n
n

标量场的梯度是一个矢量



大小： | grad  |
 ( ) max
n
l

方向：

n方向。即过该点取得最大方向导数的某一确定方向。

物理意义：

空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的
空间分布特征。


Slide 14

四、 梯度

 
grad    
n
n
引入“ ”，称“哈密顿算子” 算子——微分算子

     
i
 j k
x
y
z

算符具有
微分性质

算符具有
矢量性质

     
grad     i
j
k
x
y
z


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五、梯度和方向导数的关系：

   

ˆ l

grad


l

n

l l
n
方向导数是梯度在该方向上的投影。

n̂

p0
θ

p1

p2


l

等值面 等值面   c2
  c1


Slide 16

2
2
2
r

(
x

x
'
)

(
y

y
'
)

(
z

z
'
)

r
例：求
，其中

[分析]利用哈密顿算符的表示式，利用其微分性，对复合函数r求
导。
  
 r  r 

r
[求解]：因为   i  j  k
r  i  j  k
x
y
z
x
y
z
2
2
2
令 u  ( x  x' )  ( y  y ' )  ( z  z ' )

r r u 1 1
x  x'


 2( x  x' ) 
x u x 2 r
r
同理有， r  y  y ' , r  z  z '
y  r
z
r




所以， r  r
r  ( x  x')i  ( y  y') j  ( z  z')k

r


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§ 0-3 矢量场的散度 高斯定律


一、通量：矢量 A通过 ds面元的通量

 
d  A  ds  A cosds

 
面元 ds  ds  n，n是
面元的法向单位矢量

物理意义：


单位时间内，沿着矢量场 A方向通过
的流量是dΦ，而dΦ的大小是以ds为底，
以Acosθ为高的斜柱体的体积。


n̂

θ


A

ds


Slide 18


矢量 A 通过封闭曲面S的通量

 
   A  ds


注意：封闭面积分，ds
面的法线方向取外法向

s

Φ>0

Φ<0

Φ=0

Φ>0，场线进入的少，穿出得多，称S面内有正源。
Φ<0 ，场线进入的多，穿出得少，称S面内有负源。
Φ=0，场线进入的与穿出得同样多，称S面内无源。


Slide 19

二、散度（ divergence ）
设封闭曲面s所包围的体积为 V ，则

 
 A  ds / V

单位体积的平均通量。

矢量场的散度是一个标量

s

1、定义：
若极限值
存在



div A    A  lim

V 0

 
 A  ds
s

V

 
称为矢量场 A(x )在该点的散度(div是divergence的缩写)。


Slide 20

二、散度（ divergence ）
1、定义：



div A    A  lim

 
 A  ds
s

V 0

V

2、物理意义： 描述场的源头的强弱性质。


  A  0 该点有散发通量的正源

  A  0 汇聚到该点，负源

  A  0 矢量连续通过，无源


  A  0 必为无源！

  A  0 必为有源！


Slide 21

三、高斯定律
通量

散度的体积分

 

 A  ds     AdV
s

V

物理意义：
矢量场通过闭合曲面S的通量等于此闭合曲面所包围体积
V上每一点的散度在体积V上的三重积分。

作为积分变换用： 体积分↔封闭面积分


Slide 22

“ ”算子既可以作用于标量，也可以和矢量点乘、叉乘。

     
i
 j k
x
y
z


      


  A  (i
j
 k )  ( Ax i  Ay j  Az k )
x
y
z

Ax Ay Az



x
y
z
矢量场的散度是一个标量


Slide 23






例：求   r ，其中 r  ( x  x')i  ( y  y') j  ( z  z')k
[分析]利用哈密顿算符点乘矢量公式，即散度公式。
[求解]



     
  r  (i
 j  k )  (( x  x' )i  ( y  y ' ) j  ( z  z ' )k )
x
y
z

 ( x  x' )  ( y  y ' )  ( z  z ' )



3
x
y
z


'r  3

 x  3


'x '  3

r
 3  0
r

 
   
'  i
j
k
x'
y '
z '


 

x  xi  yj  zk


Slide 24

§ 0-4 矢量场的旋度
斯托克斯定理


Slide 25

一、矢量场的环流 (环量）
 
矢量 A(x )沿曲线L的循环量或流量：

 
A(x )

 
c   A  dl

S

L

c=0，表明在区域内无涡旋状态，不闭合。
c≠0，表明在区域内有涡旋状态存在，闭合。

若极限存在， lim

s 0

 
 A  dl
L

s

单位面积的环量

L


Slide 26

1、旋度的定义：

矢量场的旋度是一个矢量

 
A  dl 


方向：闭合曲线为界的

L
ˆ
rotA    A  lim
n
面积法线方向！
s 0
s

称为矢量场 A 的旋度（rot是rotation缩写）。
2、物理意义：
刻划矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，如果场中处
处


 A
 0
 A  0

必为无旋场！

必为有旋场！


Slide 27

二、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
流量

旋度的面积分

 
 
 A  dl   (  A)  ds
L

s

物理意义：
矢量场沿闭合曲线C的环量等于以闭合曲线C为边界的曲
面S上每一点在S上的面积分。

作为积分变换用：封闭曲线积分↔面积分

 

 A  ds     AdV
s

V

体积分↔封闭面积分

高斯定律


Slide 28



算子叉乘矢量：

e1

e2

e3

A  B  AB sin  en  A1

A2

A3

B1

B2

B3


      


  A  (i
 j  k )  ( Ax i  Ay j  Az k )
x
y
z

i


x
Ax


j

y
Ay


k

z
Az

叉乘在直角坐标
下的解析式

Az Ay  Ax Az  Ay Ax 
(

)i  (

)j (

)k
y
z
z
x
x
y


Slide 29





例：已知 r  ( x  x')i  ( y  y') j  ( z  z')k，求


  r：

[求解]

( z  z ' ) ( y  y' ) 
r  (

)i    0
y
z


'r  0


 x  0

' x  0


  A  0 必为无旋场！


Slide 30

§ 0-5 ▽算符的运算公式


Slide 31

回顾
     
i
 j k
x
y
z

哈密顿算子—微
分算子！
矢量性质！

       ̂
  i
j
k

n
x
y
z n

 Ax Ay Az
 A 


x y
z

i
 
 A 
x
Ax


j

y
Ay


k

z
Az

一、复合函数的梯度、散度、旋度
f (u )  u

df
du



df
  f (u )  u 
du


df
  f (u )  u 
du

标量场的梯度是一个矢量

矢量场的散度是一个标量

矢量场的旋度是一个矢量

f (u )  u ( x, y, z )
（1）用  算符的微分性，按复合函
数的微分法先求导；
（2）再用算符的矢量性，调整 

的位置，调整时不要忘记微分性。


Slide 32

例：求

1
 3 ， r  ( x  x' ) 2  ( y  y ' ) 2  ( z  z ' ) 2
r

[分析]: 因为

令

f (u ) 

1
r3

u  r ( x, y , z )

[求解]：

1

d 3 
1
r
3r
4
r
 3  r 
  (3r )   5
r
dr
r
r


Slide 33

二、二阶微分算符
将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，

   
设  (x )为标量场，g (x ) , f (x )为矢量场。
1. 两个个恒等式
（1）

  ( )  0

任意标量场的梯度恒为无旋场

推论：




若矢量场 A 是无旋场，即   A  0，则该矢量场A 必定


可用一个标量场的梯度来表示，即 A  


Slide 34



q r
例：点电荷q的电场强度： E 
4 0 r 3




q r
q
r
 E  

 3  0
3
4 0 r
4 0
r


E 为无旋场，则 E表示为：


E  

电场强度的方向 ＋q→－q
电势升高最快的方向－q→＋q

 即为电势，为标量势函数。


Slide 35

(2)


  (  A)  0

任意矢量场的旋度恒为无散场



推论：若矢量场 a是无散场，即   a
0

则该矢量场 a必定可用一个矢量场的旋度来
表示，即



a  c

例：在静磁场中很有用的：


B  0




B可表示为 B    A


A 称为矢量势函数，矢势


Slide 36

(3) 拉普拉斯算符
2
2
2






     2 


x
y
z

(4) ▽的运算公式

共有7式 见P343

会用！推导不
需要掌握

( )    



  (g )    g    g



  (g )    g    g





2
  (  f )  (  f )  f (  )  (  f )   f


 


  ( g  f )  f  (  g )  g  (  f )



 
 

 

  ( g  f )  ( g  ) f  (  g ) f  ( f  ) g  (  f ) g

好
理
解





 

 

( g  f )  f  (  g )  ( f  ) g  g  (  f )  ( g  ) f


Slide 37



 


  ( g  f )  f  (  g )  g  (  f )

第5式的证明

哈密顿算子表示成两部分：




 



  ( g  f )  ( g   f )  ( g  f )   g  ( g  f )   f  ( g  f )
利用常矢量公式：

  
  
  
a  (b  c )  b  (c  a )  c  (a  b )


g  (g 


 f  (g 







f )  f  ( g  g )  f  (  g )

 


f )   f  ( f  g )   g  ( f  f )


  g  (  f )


Slide 38

第6式的证明：

  
     
a  (b  c )  (a  c )b  (a  b )c

 

 

  ( g  f )   g  ( f  g )   f  ( g  f )

 

 


 ( g  g ) f  ( f   g ) g  ( f  f ) g  ( g   f ) f

 

 


 (  g ) f  ( f  ) g  (  f ) g  ( g  ) f


注意：( f  ) g
 
实际上 f  g
即   f  g


Slide 39


例：求   r
r3

r  ( x  x' ) 2  ( y  y ' ) 2  ( z  z ' ) 2

[分析]: 题意为对一个标量

1
3 和一个矢量
r


r 的乘积求旋度。

然后利用哈密顿算子的运算公式。




[求解]：利用公式：   (g )    g    g
得



r
1
1 
 3  3 r   3 r
r
r
r


r  0

1

3
1
r
 3  r r  3 5
r
dr
r



d


r
所以，   3  0
r

1 
r  0
3
r


Slide 40

§ 0-6“三度”在各种坐标系中
的表示式


Slide 41

一、矢量微分算子（哈密顿算子）在不同坐标系中的表示

z

0

y

x

直角坐标
   
 
  ex
 ey
 ez
x
y
z

柱坐标系

 x  r cos 

 y  r sin 
z


   
 
  er
 e
 ez
r
r
z


Slide 42

一、矢量微分算子（哈密顿算子）在不同坐标系中的表示

 x  r sin  cos 

 y  r sin  sin 
 z  r cos 

球坐标系

   1  
1

  er
 e
 e
r
r 
r sin  


Slide 43

二、梯度、散度和旋度在不同坐标系中的表示
直角坐标系——
     
  e x
 ey
 ez
x
y
z
 Ax Ay Az
 A 


x
y
z

Az Ay  Ax Az  Ay Ax 
 A  (

)i  (

) j (

)k
y
z
z
x
x
y

 2  2  2



x
y
z
2


Slide 44

二、梯度、散度和旋度在不同坐标系中的表示
球坐标系——

 u  1 u 
1 u
u  er
 e
 e
r
r 
r sin  
 1  2
1

1 A
 A  2
(r Ar ) 
(sin A ) 
r r
r sin  
r sin  

 A 

 
A
(sin

A
)


 


1 
Ar  
  (rA ) 
 e
r  r
 
1
r sin 

  1  1 Ar


e


(
rA
)
  e
 r r  sin   r




2
1


u
1


u
1

u
 2u  2
(r 2 )  2
(sin 
) 2
r r
r
r sin  

r sin 2   2


Slide 45

二、梯度、散度和旋度在不同坐标系中的表示
圆柱坐标系——

 u  1 u  u
u  er
 e
 ez
r
r 
z

 1 
1 A Az
 A 
(rAr ) 

r r
r 
z
 1 Az A 
Ar Az 
 A  (

)er  (

)e
r 
z
z
r
1 
1 Ar  

(rA ) 
ez

r  
 r r
2
2
1


u
1

u

u
2
 u
(r )  2
 2
2
r r r
r 
z


Slide 46

§ 0-7

张量和并矢


Slide 47

没有方向，在坐标变
换下保持不变 u’=u

标量

有取向性，三个分量在坐
标变换下和坐标的变换规
律相同
A'i   ij A j

矢量



并矢：两个矢量 A 和 B 并列，它们之间不作任何运算。记作








AB  ( A1e1  A2e2  A3e3 )( B1e1  B2e2  B3e3 )

  Ai B j ei e j
3

有更复杂的取向性，共有9个

ei e j
分量AiBj和9个基

i , j 1

张量： 张量是具有9个分量的物理量。



   Tij ei e j

张量的物理意义：
用来描述物理性质
的各向异性。

T11 T12
T  T21 T22
T31 T32

T13 
T23 
T33 

张量的矢量形式
张量的矩阵形式


Slide 48

2、张量的运算法则
相应的分量加减

i) 加减法

 

A  B    ( Aij  B ij )i j  

ii) 张量与标量相乘：

 

T  T  (Tij )i j  

每个分量均乘于标量φ

•二阶张量点乘矢量为

iii) 张量与矢量点乘：

 


T  f   Tij ei e j   f l el
ij



  Tij f l ei jl   Tij f j ei
ijl

ij

一阶张量——矢量
•N阶张量点乘矢量为
（N－1）阶张量


Slide 49

iV) 单位张量:

      
I  e1e1  e2e2  e3e3
1 0 0
I  0 1 0
0 0 1

单位张量的矢量形式
单位张量的矩阵形式

a) 单位张量与矢量点乘等于原矢量
 

    
A I  I  A  A

b) 单位张量与张量一次点乘等于原张量

    
T  I  I T  T

c) 单位张量与张量二次点乘等于该张量的迹

   
T : I  I : T  Txx  Tyy  Tzz

 
r  I


Slide 50

附录

小 结
标量场的梯度是一个矢量

（1）“三度”的表
示
     
i

x

j

y

k

哈密顿算子—
微分算子！
矢量性质！

z

       ̂
  i
j
k

n
x
y
z n

 Ax Ay Az
 A 


x y
z

i
 
 A 
x
Ax


j

y
Ay


k

z
Az

矢量场的散度是一个标量

矢量场的旋度是一个矢量

（2）复合函数运算公式

f (u )  u 

df
du


df
  f (u )  u 
du 

df
  f (u )  u 
du

a) 利用微分算子的微分性
作复合函数的求导；
b) 利用其矢量性调整 ∇的
位置。


Slide 51

（3）两个恒等式，两个推论





  ( )  0
若  g  0 , 则g  




若  g  0 , 则g    f
  (  A)  0


必为无旋场！
  A  0 必为无源！
 A  0


必为有旋场！
  A  0 必为有源！
 A  0
（4）积分变换公式
高斯公式：

 

 A  ds     AdV
s

斯托克斯公式：

V
 
 
 A  dl   (  A)  ds

面积分→体积分
线积分→面积分

L

s

（5）∇算子在各个坐标系下的解析式

直角坐标
     
  ex
 ey
 ez
x
y
z

柱坐标系
   
 
  er
 e
 ez
r
r
z

球坐标系
   1  
1

  er
 e
 e
r
r 
r sin  


Slide 52

(6) 梯度、散度和旋度在不同坐标系中的表示
直
角
坐
标
系
圆
柱
坐
标
系
球
坐
标
系

     
  e x
 ey
 ez
x
y
z
 Ax Ay Az
 A 


x
y
z
 2  2  2
2



x
y
z

 u  1 u  u
u  er
 e
 ez
r
r 
z
 1 
1 A Az
 A 
(rAr ) 

r r
r 
z
1 
u
1  2u  2u
2
 u
(r
) 2
 2
2
r r r
r 
z

 Az Ay  Ax Az 
 A  (

)i  (

)j
y
z
z
x
Ay Ax 
(

)k
x
y
 1 Az A 
A A 
 A  (

)er  ( r  z )e
r 
z
z
r
1 
1 Ar  

(rA ) 
ez

r  
 r r


 A 

 u  1 u 
1 u
u  er
 e
 e
r
r 
r sin  
 1  2
1

1 A
 A  2
(r Ar ) 
(sin A ) 
r r
r sin  
r sin  
 2u 



1
r sin 

 
A
(sin

A
)


 




1  1 Ar


(
rA
)

 e
r  sin   r


1 
Ar  

(
rA
)

 e

 u r  r
 

1  2 u
1

u
1
(
r
)

(sin

)

r 2 r
r
r 2 sin  

r 2 sin 2   2
2


 er



Slide 53

（7）张量和并矢



   Tij ei e j
T11 T12 T13 
T  T21 T22 T23 
T31 T32 T33 

张量的运算法则:

张量的矢量形式

张量的矩阵形式

二阶张量点乘矢量为一阶张量——矢量

N阶张量点乘矢量为（N－1）阶张量
    
单位张量与矢量点乘等于原矢量
A I  I  A  A

（8）比较实用的“三度”


r
r 
r


r  3

r  0


r
' r  
r


'r  3


'r  0


1
r
  3
r
r


r
 3  0
r
r
 3  0
r


1 r
'  3
r r