Transcript 第五节 对坐标的曲面积分

第五节
对坐标的曲面积分
第十一章
一、有向曲面及曲面元素的投影
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
机动
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面
曲面分内侧和
外侧
单侧曲面
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和
右侧
曲面分上侧和
下侧
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦
侧的规定
cos 
cos 
cos 
封闭曲面
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
外侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
内侧
• 设  为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
( S ) x y ,
的面积为
(  ) x y ,
( S ) x y 
则规定
当cos   0时
 (  ) x y , 当cos   0时
0,
当cos   0时
机动
类似可规定
(S ) yz , (S ) zx
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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面  的流量 .
分析: 若  是面积为S 的平面,
v
n
法向量:
流速为常向量:

S
则流量
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对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
ni
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
vi
n
进行分析可得   lim  vi  n i Si
 0
i 1

设 ni  (cos  i , cos  i , cos  i ) , 则
n
  lim   P( i ,i ,  i ) cos  i  Q( i ,i ,  i ) cos  i
 0 i 1
 lim
 0
n
 R( i ,i ,  i ) cos  i  Si

i 1
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2. 定义. 设  为光滑的有向曲面, 在  上定义了一个
向量场 A  ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )), 若对 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n

i 1
 Q( i ,i ,  i )(Si ) z x
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
 Pd y d z  Qd z d x  Rd x d y
P, Q, R 叫做被积函数;  叫做积分曲面.
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 P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
 R d x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面  的流体的流量为
   Pd y d z  Qd z d x  Rd x d y

若记  正侧的单位法向量为 n  ( cos  , cos  , cos  )
令 d S  n d S  (d yd z, d zd x, d x d y)
A  ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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 P d y d z  Q d z d x  R d x d y
  A  n d S   A  d S


3. 性质
(1) 若
之间无公共内点, 则
 A  d S
 i A  d S
(2) 用ˉ 表示  的反向曲面, 则
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面
取上侧,
是  上的连续函数, 则
 R( x, y, z ) d x d y   D
证:
 R( x, y, z ) d x d y
R ( x, y, z ( x, y )) d x d y
xy
 lim
 0
n

i 1
∵ 取上侧,  (Si ) x y  ( i ) x y
 i  z ( i , i )
n
 lim
 R(i ,i ,
 
R ( x, y, z ( x,y )) d x d y
  0 i 1
Dx y
) (  i ) x y
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说明: 如果积分曲面  取下侧, 则
 R( x, y, z ) d x d y   Dx y R( x, y, z ( x, y)) d x d y
•若
则有
 P( x, y, z ) d ydz   D y z P( x( y, z ) , y, z ) d y d z
(前正后负)
•若
则有
 Q( x, y, z ) d z d x   Dz x Q (x, y( z, x) , z ) d z d x
(右正左负)
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例1. 计算  ( x  y ) d y d z  ( y  z ) d z d x  ( z  x) d x d y

其中  是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
原式  3 ( z  x) d x d y
y
x

 的顶部 1 : z 
a
2
( x  a , y  a ) 取上侧
2
2
 的底部  2 : z   a2 ( x  a2 , y  a2 ) 取下侧
 
2
 
( z  x) d x d y 
Dx y
 3 a 
Dx y
(
a
2
 x) d x d y 
d xd y
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例2. 计算曲面积分  xyz d x d y, 其中  为球面 x 2 

 y  z  1 外侧在第一和第八卦限部分.
2
2
z
思考: 下述解法是否正确:
2
根据对称性  xyz d x d y  0
oD
xy

x
解: 把  分为上下两部分
2
1 : z   1  x  y
2 : z 
2
1 x  y
( x, y )  D x y
1
1
y
2
2
 x2  y2  1
:
x  0 , y  0
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
 x y z d x d y  
1
  
Dx y
 2 


0
Dx y
Dx y
xy
2
2
1 x  y d x d y
2
2
xy 1 x  y d x d y
z
r sin  cos 
2
Dx y
2
x yz d x d y
xy ( 1  x 2  y 2 ) d x d y
 
 2 
x y z d x d y  
2 sin 2
d
1 3
0 r
2
1  r rd rd 
2
oD
xy
2
1 r d r
x
1
1
y
2
15
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例3. 设S 是球面
I  
S
的外侧 , 计算
2d y d z
2


d xd y
2
z cos z
x cos x
解: 利用轮换对称性, 有
 
2d xd y
2
z cos z
S
 I  
S
d xd y
2
z cos z
2
1
 2  d

0
0
2
 cos 2 y   cos 2 z  0
S
S
2
2
x  y 1
1  r cos
2
2
1  x  y cos
2
1
rdr
2
d xd y
d xd y

2
,
d zd x
1 r
2
  4
2
1 x  y
d 1 r
 cos 2
2
1 r
0
2
 4 tan 1
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2
四、两类曲面积分的联系
 Pd y d z  Qd z d x  Rd x d y
n

P( i ,i ,  i )(Si ) y z  Q( i ,i ,  i )(Si ) z x

 0
 lim
i 1
 R( i ,i ,  i )(Si ) x y

曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
 lim
 0
 


i 1
 Pcos   Qcos   Rcos   d S
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 Pd yd z  Qd zd x  Rd xd y
 

 Pcos   Qcos   Rcos   d S
令 A  ( P, Q, R), n  (cos , cos  , cos  )
dS  n dS  (d ydz, dzdx, dxd y )
向量形式
 A  d S   A  n d S
A n  A  n ( A 在 n 上的投影)
  A n dS

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例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为
求E 通过球面  : r = R 外侧的电通量  .
解:    E  d S
q。

  E  n d S  


 

q
r
2
dS 
q
r
3
r
r
dS
r
q
dS

2

R
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例5. 设
是其外法线与 z 轴正向
夹成的锐角, 计算
z
解: I   z 2 cos  d S
1

 
2
Dx y

2
0
1 y
1
2
(1  x  y ) d x d y
1
n
x
d   (1  r ) r dr
2
0
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例6. 计算曲面积分  ( z 2  x) d y d z  z d x d y, 其中

旋转抛物面
z
介于平面 z= 0
2
及 z = 2 之间部分的下侧.
解: 利用两类曲面积分的联系, 有

o
2
( z  x) d y d z
  ( z  x) cos  dS
2

  ( z  x)
2
cos 

∴ 原式 =
 ( z
2
cos 
d xd y
cos  
cos  
y
x
x
1 x  y
1
2
2
2
2
1 x  y
 x) (  x)  z d x d y
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2
z
2
将 z  1 ( x  y ) 代入, 得
2
2
1
原式 
=  
Dx y
  ( x  y )  x  ( x)
Dx y

2
0
2 2
4

 
2
1
(x
2
2
o
 y ) d x d y
2
y
x
 x 2  12 ( x 2  y 2 ) d xdy
d
2
0
(r cos   12 r ) r dr
2
2
2
 8
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内容小结
1. 两类曲面积分及其联系
定义:
•
n
f ( i , i ,  i ) S i

 f ( x, y, z ) d S  lim
0
i 1
•
 P d y d z  Q d z d x  R d x d y
n
 lim   P ( i , i ,  i ) Si  y z
 0
i 1
 Q( i , i ,  i ) Si  z x
 R( i , i ,  i ) Si x y 
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性质:


Pd yd z  Qd zd x  Rd xd y
   P d y d z  Q d z d x  R d x d y

联系:
 P d y d z  Q d z d x  R d xdy
 

 P cos   Q cos   R cos   dS
思考:
两类曲线积分的定义一个与  的方向无关, 一个与 
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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2. 常用计算公式及方法
面积分
第一类 (对面积)
第二类 (对坐标)
(1) 统一积分变量
(2) 积分元素投影
(4) 确定积分域
转化
二重积分
代入曲面方程
(方程不同时分片积分)
第一类： 面积投影
第二类： 有向投影
把曲面积分域投影到相关坐标面
注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.
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当
时，
 f ( x, y, z ) d S   f ( x, y, z ( x, y))

1
2
zx

2
zy
d xd y
Dx y
 R( x, y, z ) d x d y    R( x, y, z ( x, y )) d x d y

Dx y
（上侧取“+”, 下侧取“”)
类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .
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思考与练习
1. P167 题2
提示: 设
则
 取上侧时,
 
Dx y
R ( x , y , 0 ) d xdy
 取下侧时,
 
Dx y
R( x , y , 0 ) d x d y
2. P184 题 1
3. P167 题3(3)
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是平面
P167 题3(3). 设
在第四卦限部分的上侧 , 计算
I  


f ( x, y , z )  x  d y d z
  f ( x, y , z )  z  d x d y
提示: 求出  的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分
I 

1
3

( x  y  z) d S 
1
1
d
3 0

x
0
x 1
3d y 
1
3
 d S
1
2
作业
P167
3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)
第六节
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备用题 求 I   
d yd z

:
x
a
解:
2
2

y
b

2
2

z
c
x
2
2

d zd x

d xd y
y
z
, 其中
 1 取外侧 .
d xd y
z
Dx , y :
x
2
2

y
注意±号
2
2
1
a
b
x  a r cos , y  b r sin  , d x d y  abr d r d 
1
1
1
1
dxdy 
dxdy

2

1

2
D
2
r
2
c
2
D x , y1
x, y
y
2
c
x
y
 1ab
dr 
xabc

4

 02 d 20
1

 2
2
2
c
2
1 r
a
b
c
a
b
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
d xd y
z
1

c
2
 4 abc
利用轮换对称性
1

d yd z
x
a

dzdx
1
y


b
 4 abc
2
2
 4 abc
 I  4 abc 
1
a
2

1
b
2

1
c
2

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