Transcript 第一节常数项级数概念

第十一章
无穷级数
一、常数项级数
二、幂级数
三、傅立叶级数
引言
无穷级数是用来表示函数、研究函数的
性质以及进行数值计算的一种工具.
本章讨论常数项级数，介绍无穷级数的
一些性质；讨论函数项级数，着重介绍如何
将函数展开成幂级数与三角级数的问题.
第一节
常数项级数的概念
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
引例： 一个人向距他一米远的目标走去,
如果每次前进该距离的一半路程. 记录他
走过的路程之和, 问他在有生之年能够到达
目标吗？
谬论？
1
2

1
2
第1步
2

1
2
3

第3步

1
2
n

第n步
1
不可能达到
1. 级数的定义
由数列 u 1 , u 2 ,  u n  构成的表达式
u1  u2  u3 
 un 
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，

记为  u n , 其中第n项un称为一般项.
n1
1
2

1
2
2

1
2
3


1
2
n



1
 (2)
n1
n
常数项级数举例
1 3 5
1

2
1
1
3
1


3

1
3
2


 ( 2 n  1) 
1
n1
3


n1
1

n1
1
2

1
3


(  1)
n
1
n1



3
1
n1
n1
1  1  1  1    (  1)
1
n1


 ( 2 n  1)

n 1
 
n1




n1


(  1)
n1
(  1)
n
n1
n1
级数的部分和
n
sn  u1  u2    un   ui
i 1
部分和数列 { s n }
s1  u1 , s2  u1  u2 , s3  u1  u2  u3 ,
,
sn  u1  u2 
sn 
1
2

1
2
2

 un ,
1
2
3


1
2
n
2. 级数的收敛与发散:

定义 如果  u 的部分和数列 s n 有极限 s ,
n
n1

s n  s， 则称无穷级数  u n 收敛,
即 lim
n 
n1
这时极限 s 叫做级数的和.并写成
s  u1  u 2    u 3  

如果 s n 没有极限,则称无穷级数
u n 发散.
n1
常数项级数收敛(发散)  lim s n存在(不存在)
n 
常数项级数收敛(发散)  lim s n存在(不存在)
n 
引例中
sn 
1
2
1


2
2
1

1
2
3


1
1
2
n
n1
1( )
1
2

1
2
1
2
lim s n  1, 故  ( ) n 收敛,和为1.
n 
2
又例如 1.  ( 2 n  1)  1  3  5  发散.
n
n1
2
 s n  (1  2 n  1 )  n  
2

为奇数时，
1,
n

n1
sn极限不存在,
sn  
2.  (  1)
n1
 0, n 为偶数时，

n1
故级数发散.
例1 讨论等比级数(几何级数)


aq
n
 a  aq  aq    aq
2
n
 ( a  0 )
n0
的收敛性.
解 如果q  1时,
s n  a  aq  aq    aq
2


,
q

1
n

a  aq
  a

1 q
1  q , q  1

n 1

当 q  1时 , lim s n  
级数发散
n 
当 q  1时 , lim s n 
n 
当 q  1时,
当 q  1时 ,
a
1 q
 aq
n0
级数收敛
sn  n a   ,
级数发散.
当 q   1时 , 级 数 变 为 a  a  a  a 
 lim s n 不 存 在 , 级数发散.
n 
因此
n
a


当 q  1时, 收敛, 和为
;

n
1 q
 aq 
n 0
当 q  1时, 发散.


问级数  ( 
n1
公比 q  
1
1
n
) ,
3

2
2(n1)
3
1 n
n1
的敛散性.

| q | 1,   ( 
,
3
un  2

2( n1)
3
1 n
4
 
3
n1
n1
| q | 1 ,

n1
2 ( n1 )
n
) 收敛.
3
,
已知级数为等比级数， 公比 q 
2
1
3
1 n
发散.
4
3
,
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形,然后在每
条边上对称的产生边长为原边长的1/3的
小正三角形.如此类推在每条凸边上都做
类似的操作,我们就得到了面积有限而周
长无限的图形——“Koch雪花”． 分形
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1  3 ,
面积为 A1 
作分形
3
4
;
观察雪花分形过程
第一次分叉：
周 长 为 P2 
4
3
P1 ,
面积为
A 2  A1  3 
1
9
A1
观察雪花分形过程
第二次分叉：
周长为
4
P3  ( ) P1
3
2
面积为
1
A 3  A 2  3{4 [( ) A1 ]}
9
2
观察雪花分形过程
第三次分叉：
周长为
4
P4  ( ) P1
3
3
面积为
1
A 4  A 3  3{4 [( ) A1 ]}
9
2
3
观察雪花分形过程
第四次分叉：
周长为
4
P5  ( ) P1
3
4
面积为
1
A 5  A 4  3{4 [( ) A1 ]}
9
3
4
观察雪花分形过程
第五次分叉：
周长为
4
P6  ( ) P1
3
5
面积为
1
A 6  A 5  3{4 [( ) A1 ]}
9
4
5
依次类推
第n次分叉：
周长为
4
1
4
n1
Pn  ( ) P1 n  1 , 2 , 
3
1 n1
n2
面积为 A n  A n  1  3 { 4 [( ) A1 ]}
9
1
1 2
1 n1
n2
 A1  3  A1  3  4  ( ) A1    3  4
 ( ) A1
9
9
9
 A1 {1 
4
[1  ( )  ( ) 
3
9
9
4
1( )
1
9 )
 A1 (1 
4
3
1
9
2
4
( )
9
n
n  2 ,3 ,
n 2
]}
于是有
4
lim Pn  lim ( )
n 
n  3
lim A n  A1 ( 1 
n 
n1
P1  
1
3
1
4
发散
)  A1 ( 1 
3
5
)
2 3
5
.
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的,而面积有界.
例2 判别级数
解 Sn  ln
2
1
 ln
的敛散性:
3
2
 ln
4
3

 ln
 (ln 2  ln1)  (ln 3  ln 2) 
n1
n
  ln( n  1)  ln n 
 ln( n  1) 
所以级数发散 .
(n  ）
技巧:
利用
“拆项相消” 求
和
例3
“拆项相消” 求
和 1
判别无穷级数
1
13

1
35

( 2 n  1)  ( 2 n  1)

的收敛性.
解
un 
 sn 
1
1
( 2 n  1)( 2 n  1)
1
13
1

1
35


1
(
1
2 2n  1

1
2n  1
),
1
( 2 n  1)  ( 2 n  1)
1 1 1
1
1
1
 (1  )  (  )    (

)
2
3
2 3 5
2 2n  1 2n  1
1
1 1 1
1
1
1
 (1  )  (  )    (

)
2
3
2 3 5
2 2n  1 2n  1



1
2
1
(1 
1
2n  1
),
lim s n  lim
n 
n 
1
2
(1 
级数收敛 , 和为
1
2
1
2n  1
.
)  1,
2
二、收敛级数的基本性质
线性性

性质 1 如果级数
u
n

收敛,则 kun 亦收敛.
n 1
n 1
级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.


性质 2 设两收敛级数 s 
n 1

则级数  ( u n
 un ,    v n ,
 vn )
收敛,其和为 s  
n 1
n1
收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

5
1 

  n ( n  1 )  2 n  的和.

n1 
例4 求级数
n
sn 
解


n1
5

k 1
n ( n  1)
5
k ( k  1)
 5(1 


收敛，
n1
1
2
n
1
n1
) 5
也收敛.


5
1 

 n 收 敛 .
2 
n  1  n ( n  1)


5
1 

 n 
2 
n  1  n ( n  1)

5

 n( n  1)   2
n1
n1
1
n


n1
5
n ( n  1)



=5，
aq 
n
n0

1
( q  1),  2 n = 1.
n1
1 q
a
5
1 

故 
 n   5  1  6.
2 
n1  n ( n  1)
性质 3
若级数


n 1
n k 1
 un 收敛,则  un 也收敛
( k  1) .且其逆亦真.
证明 u k  1  u k  2    u k  n  
 n  uk 1  uk  2    uk  n
 sn k  sk ,
则 lim  n  lim s n  k  lim s k  s  s k .
n 
n 
n 
类似地可以证明在级数前面加上有限项
不影响级数的敛散性.
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数
仍然收敛于原来的和.
证明 ( u 1  u 2 )  ( u 3  u 4  u 5 )  
 1  s2 ,  2  s5 ,   s ,
3
9
 ,  m  sn , 
则 lim  m  lim s n  s .
m
n 
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如
(1  1 )  (1  1 )  
1111
收敛
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,
则原来级数也发散.
性质5（级数收敛的必要条件）

un  0.
若级数  u n 收敛，则 lim
n
n1
即 收 敛 级 数 的 一 般 项 un趋 于 零 .

证明
s
u
则
,
n
u n  s n  s n 1 ,
n1
 lim u n  lim s n  lim s n  1
n 
n 
n 
 s  s  0.
必要条件的逆否命题
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1

2

3
   (  1)
2 3 4
n 1
lim un  lim ( 1)
n
n
2.必要条件不充分.
例如调和级数
1
1
n1
n
n1

1
n

n1
 0, 故级数发散.
1

1

2 3
n
有 lim un  0, 但级数是否收敛?
n 
讨论
调 和 级 数1 
1

2

s2n  sn 
1
n1
1

3

n2
假设调和级数收敛
n 
便有

0
1
2
的敛散性.

1
2n

n
2n

1
2
, 其和为 s .
s s
(n   )
调和级数发散 .

n
1
于是 lim( s 2 n  s n ) 
1
 0,
这是不可能的
.
,
级数收敛的必要条件的应用

级数
u
n
n1

级数
u
n1
n
收敛  lim un  0.
n
发散  lim un  0.
n
（判定级数发散的方法）
小结
一、常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义, 级数收敛  lim s n  s
n
2.当 lim u n  0 , 则级数发散(必要条件);
n 
（判定级数发散的方法）
3.按基本性质判定.
二、常用级数的敛散性
1.等比（几何）级数

当 q  1时, 收敛
 aq 
n 0

当 q  1时, 发散

1
2. 调 和 级 数  发 散 .
n1 n

n

3. 
n1
1
n ( n  1)
收敛.
作 业
习题1-1
1.(1),(3);
p.192
2.
3.
4.