Transcript 第一节常数项级数概念
第十一章
无穷级数
一、常数项级数
二、幂级数
三、傅立叶级数
引言
无穷级数是用来表示函数、研究函数的
性质以及进行数值计算的一种工具.
本章讨论常数项级数,介绍无穷级数的
一些性质;讨论函数项级数,着重介绍如何
将函数展开成幂级数与三角级数的问题.
第一节
常数项级数的概念
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
引例: 一个人向距他一米远的目标走去,
如果每次前进该距离的一半路程. 记录他
走过的路程之和, 问他在有生之年能够到达
目标吗?
谬论?
1
2
1
2
第1步
2
1
2
3
第3步
1
2
n
第n步
1
不可能达到
1. 级数的定义
由数列 u 1 , u 2 , u n 构成的表达式
u1 u2 u3
un
称为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,
记为 u n , 其中第n项un称为一般项.
n1
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
n
1
(2)
n1
n
常数项级数举例
1 3 5
1
2
1
1
3
1
3
1
3
2
( 2 n 1)
1
n1
3
n1
1
n1
1
2
1
3
( 1)
n
1
n1
3
1
n1
n1
1 1 1 1 ( 1)
1
n1
( 2 n 1)
n 1
n1
n1
( 1)
n1
( 1)
n
n1
n1
级数的部分和
n
sn u1 u2 un ui
i 1
部分和数列 { s n }
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,
,
sn u1 u2
sn
1
2
1
2
2
un ,
1
2
3
1
2
n
2. 级数的收敛与发散:
定义 如果 u 的部分和数列 s n 有极限 s ,
n
n1
s n s, 则称无穷级数 u n 收敛,
即 lim
n
n1
这时极限 s 叫做级数的和.并写成
s u1 u 2 u 3
如果 s n 没有极限,则称无穷级数
u n 发散.
n1
常数项级数收敛(发散) lim s n存在(不存在)
n
常数项级数收敛(发散) lim s n存在(不存在)
n
引例中
sn
1
2
1
2
2
1
1
2
3
1
1
2
n
n1
1( )
1
2
1
2
1
2
lim s n 1, 故 ( ) n 收敛,和为1.
n
2
又例如 1. ( 2 n 1) 1 3 5 发散.
n
n1
2
s n (1 2 n 1 ) n
2
为奇数时,
1,
n
n1
sn极限不存在,
sn
2. ( 1)
n1
0, n 为偶数时,
n1
故级数发散.
例1 讨论等比级数(几何级数)
aq
n
a aq aq aq
2
n
( a 0 )
n0
的收敛性.
解 如果q 1时,
s n a aq aq aq
2
,
q
1
n
a aq
a
1 q
1 q , q 1
n 1
当 q 1时 , lim s n
级数发散
n
当 q 1时 , lim s n
n
当 q 1时,
当 q 1时 ,
a
1 q
aq
n0
级数收敛
sn n a ,
级数发散.
当 q 1时 , 级 数 变 为 a a a a
lim s n 不 存 在 , 级数发散.
n
因此
n
a
当 q 1时, 收敛, 和为
;
n
1 q
aq
n 0
当 q 1时, 发散.
问级数 (
n1
公比 q
1
1
n
) ,
3
2
2(n1)
3
1 n
n1
的敛散性.
| q | 1, (
,
3
un 2
2( n1)
3
1 n
4
3
n1
n1
| q | 1 ,
n1
2 ( n1 )
n
) 收敛.
3
,
已知级数为等比级数, 公比 q
2
1
3
1 n
发散.
4
3
,
无穷级数收敛性举例:Koch雪花.
做法:先给定一个正三角形,然后在每
条边上对称的产生边长为原边长的1/3的
小正三角形.如此类推在每条凸边上都做
类似的操作,我们就得到了面积有限而周
长无限的图形——“Koch雪花”. 分形
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为 A1
作分形
3
4
;
观察雪花分形过程
第一次分叉:
周 长 为 P2
4
3
P1 ,
面积为
A 2 A1 3
1
9
A1
观察雪花分形过程
第二次分叉:
周长为
4
P3 ( ) P1
3
2
面积为
1
A 3 A 2 3{4 [( ) A1 ]}
9
2
观察雪花分形过程
第三次分叉:
周长为
4
P4 ( ) P1
3
3
面积为
1
A 4 A 3 3{4 [( ) A1 ]}
9
2
3
观察雪花分形过程
第四次分叉:
周长为
4
P5 ( ) P1
3
4
面积为
1
A 5 A 4 3{4 [( ) A1 ]}
9
3
4
观察雪花分形过程
第五次分叉:
周长为
4
P6 ( ) P1
3
5
面积为
1
A 6 A 5 3{4 [( ) A1 ]}
9
4
5
依次类推
第n次分叉:
周长为
4
1
4
n1
Pn ( ) P1 n 1 , 2 ,
3
1 n1
n2
面积为 A n A n 1 3 { 4 [( ) A1 ]}
9
1
1 2
1 n1
n2
A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4
( ) A1
9
9
9
A1 {1
4
[1 ( ) ( )
3
9
9
4
1( )
1
9 )
A1 (1
4
3
1
9
2
4
( )
9
n
n 2 ,3 ,
n 2
]}
于是有
4
lim Pn lim ( )
n
n 3
lim A n A1 ( 1
n
n1
P1
1
3
1
4
发散
) A1 ( 1
3
5
)
2 3
5
.
9
雪花的面积存在极限(收敛).
结论:雪花的周长是无界的,而面积有界.
例2 判别级数
解 Sn ln
2
1
ln
的敛散性:
3
2
ln
4
3
ln
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2)
n1
n
ln( n 1) ln n
ln( n 1)
所以级数发散 .
(n )
技巧:
利用
“拆项相消” 求
和
例3
“拆项相消” 求
和 1
判别无穷级数
1
13
1
35
( 2 n 1) ( 2 n 1)
的收敛性.
解
un
sn
1
1
( 2 n 1)( 2 n 1)
1
13
1
1
35
1
(
1
2 2n 1
1
2n 1
),
1
( 2 n 1) ( 2 n 1)
1 1 1
1
1
1
(1 ) ( ) (
)
2
3
2 3 5
2 2n 1 2n 1
1
1 1 1
1
1
1
(1 ) ( ) (
)
2
3
2 3 5
2 2n 1 2n 1
1
2
1
(1
1
2n 1
),
lim s n lim
n
n
1
2
(1
级数收敛 , 和为
1
2
1
2n 1
.
) 1,
2
二、收敛级数的基本性质
线性性
性质 1 如果级数
u
n
收敛,则 kun 亦收敛.
n 1
n 1
级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数 s
n 1
则级数 ( u n
un , v n ,
vn )
收敛,其和为 s
n 1
n1
收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
5
1
n ( n 1 ) 2 n 的和.
n1
例4 求级数
n
sn
解
n1
5
k 1
n ( n 1)
5
k ( k 1)
5(1
收敛,
n1
1
2
n
1
n1
) 5
也收敛.
5
1
n 收 敛 .
2
n 1 n ( n 1)
5
1
n
2
n 1 n ( n 1)
5
n( n 1) 2
n1
n1
1
n
n1
5
n ( n 1)
=5,
aq
n
n0
1
( q 1), 2 n = 1.
n1
1 q
a
5
1
故
n 5 1 6.
2
n1 n ( n 1)
性质 3
若级数
n 1
n k 1
un 收敛,则 un 也收敛
( k 1) .且其逆亦真.
证明 u k 1 u k 2 u k n
n uk 1 uk 2 uk n
sn k sk ,
则 lim n lim s n k lim s k s s k .
n
n
n
类似地可以证明在级数前面加上有限项
不影响级数的敛散性.
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数
仍然收敛于原来的和.
证明 ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 )
1 s2 , 2 s5 , s ,
3
9
, m sn ,
则 lim m lim s n s .
m
n
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如
(1 1 ) (1 1 )
1111
收敛
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,
则原来级数也发散.
性质5(级数收敛的必要条件)
un 0.
若级数 u n 收敛,则 lim
n
n1
即 收 敛 级 数 的 一 般 项 un趋 于 零 .
证明
s
u
则
,
n
u n s n s n 1 ,
n1
lim u n lim s n lim s n 1
n
n
n
s s 0.
必要条件的逆否命题
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1
2
3
( 1)
2 3 4
n 1
lim un lim ( 1)
n
n
2.必要条件不充分.
例如调和级数
1
1
n1
n
n1
1
n
n1
0, 故级数发散.
1
1
2 3
n
有 lim un 0, 但级数是否收敛?
n
讨论
调 和 级 数1
1
2
s2n sn
1
n1
1
3
n2
假设调和级数收敛
n
便有
0
1
2
的敛散性.
1
2n
n
2n
1
2
, 其和为 s .
s s
(n )
调和级数发散 .
n
1
于是 lim( s 2 n s n )
1
0,
这是不可能的
.
,
级数收敛的必要条件的应用
级数
u
n
n1
级数
u
n1
n
收敛 lim un 0.
n
发散 lim un 0.
n
(判定级数发散的方法)
小结
一、常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义, 级数收敛 lim s n s
n
2.当 lim u n 0 , 则级数发散(必要条件);
n
(判定级数发散的方法)
3.按基本性质判定.
二、常用级数的敛散性
1.等比(几何)级数
当 q 1时, 收敛
aq
n 0
当 q 1时, 发散
1
2. 调 和 级 数 发 散 .
n1 n
n
3.
n1
1
n ( n 1)
收敛.
作 业
习题1-1
1.(1),(3);
p.192
2.
3.
4.