Transcript 第八章无穷级数

第八章 无穷级数
本章主要内容
§8.1
常数项级数
§8.2
常数项级数的审敛法
§8.3
幂级数
* §8.4
傅立叶级数
* §8.5
周期为2L的函数展开成傅立叶级数
*§8.6
傅立叶级数的复数形
2
学习目标
1、理解常数项级数收敛、发散及收敛级数和的概念，会根据级数收敛的定
义判定简单的级数的收敛性。
2、理解级数的基本性质，会用级数收敛的必要条件判定级数发散。
3、理解正项级数的比较审敛法与比值审敛法。
4、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛与收敛的关
系；理解交错级数的莱布尼兹判别法 。
5、理解幂级数的收敛半径、收敛域及和函数概念，掌握收敛半径及收敛域
的求法，了解幂级数的运算性质，会将简单函数展开成马克劳林级数，知道幂级
数在近似计算中的简单应用。
6、了解傅立叶级数及其复数形式，会将周期为及2L的函数展开为傅立叶级
数
3
8.1 常数项级数
 un 
1、定义：给定无穷数列{un },则和式 u1  u2 

un
叫作常数项无穷级数，简称级数，记作


n 1
即  un  u1  u2    un  
n 1
u n :级数的一般项
前n项和（部分和）：
收敛：
并称S为级数的和，记作
发散：
余项: 当级数收敛时，称差值
为级数的余项.
4
例1、 讨论等比级数（又称几何级数）
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
q  1 则部分和

a a q n
1 q
qn
a
当 |q|1
由于 lim
 0 ,从而 lim S n  1 q
n  1  q
n 
因此级数收敛, 其和为 a ;
1 q
从而 lim S n   ,
n 
因此级数发散 .
5
2). 若q  1 则
当 q  1时,
因此级数发散 ;
当q=-1级数成为
因此
从而
a,

Sn  
 0,
n 为奇数
n 为偶数
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q  1 时, 等比级数收敛 ;
q  1 时, 等比级数发
散 .
6
例2. 判别下列级数的敛散性:
解:
3
4
n 1
(1) 2
S n  ln  ln  ln    ln
1
2
3
n
 (ln 2  ln1)  (ln 3  ln 2)    ln(n  1)  ln n 
 ln(n  1)   ( n  ）
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
所以级数 (1) 发散 ;
7
(2)
1
1
1
1
Sn 



1 2 2  3 3  4
n  (n  1)
1
1 1 1 1 


 1               1  1 
 2
 2 3  3 4 
 n n  1
1
 1
 1 ( n  ）
n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
8
机动
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结束
例3 无穷级数
1 1
1
1       
2 3
n 称为调和级数.试证明它是发散的．
证 由图8-1知,各个小矩形的面积比同底的小曲边梯形面积大.
图中n个小矩形的面积和为
sn  A1  A2  A3    An
1 1
1
 1      ;
2 3
n
1
和直线 x  1, x  n  1, y  0
x
n 1 1
所围成的曲边梯形的面积为  n  1 dx  ln  n  1 .
曲线 y 
x
于是, sn   n  ln  n 1 因为 lim ln  n  1  
n 
sn  
所以 lim
n 

1
即调和级数  发散.
n 1 n
9
二、级数的基本性质

性质1. 若级数
收敛于 S ,S   u n , 则各项
n 1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 ,其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数


  vn
S  un ,
n 1
n 1


则级数
 ( un  vn ) 也收敛,
n 1

其和为S   .
10
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n  vn )
必发散 . (用反证法可证)
但若二级数都发散 ,
n 1
不一定发散.
例如, 取 un  (1) 2n , vn  (1) 2 n 1 ,
11
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.（会改变和）

性质4(级数收敛的必要条件)如果级数  un收敛,则通项un
n 1
un  0
的极限为零,且 lim
n 
推论:
例如,
若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
12
注意:
lim u n  0 并非级数收敛的充分条件.
n 
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
其一般项为
例如,
不趋于0, 因此这个级数发散.
13
本节主要讲述了级数的定义、和函数的定义、级数收敛与
发散的定义、级数的基本运算性质及级数收敛的必要条件。
重点掌握和函数的定义、级数收敛与发散的定义、级数收敛的
必要条件。

n
aq

(a0)的敛散性，|q|1
记住两个常用结论 （1）等比级数
n 0

a
n
aq
如果|
q
|1
则级数

发散；
其和为
则级数收敛,
1 q
n 0
1 1
1
1





 是发散的。
（2）调和级数
2 3
n
练习 ：1、 2、 3（1）（2）
作业：3、（3）（4） 4（1)（2）
14
8.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
15
一、正项级数及其审敛法

若
un  0 , 则称  un 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “
“
又已知
”若
收敛 ,
”
∴部分和数列
有界,
收敛 ,从而
故有界.
单调递增,
也收敛.
16


定理2(比较审敛法) 设两个正项级数 un  vn 且 un  vn  n  1,2, 
n 1
n 1


n 1

n 1

(1)如果级数 vn收敛,则级数 un 收敛；
(2)如果级数 u n 发散,则级数 vn 发散．
n 1
n 1
证
n
n
k 1
k 1
设  n   vk , sn   uk 当un  vn时,则有sn   n

(1)当级数 vn 收敛时,数列 n 有界,从而数列 n 有界,
n 1
所以级数

s

u
n 1
n
收敛．
(2)当级数  u n 发散时,数列 n 无界,从而数列 n 无界,
n 1
所以级数
s

 v 发散．
n 1
n
17

1
1 1
1
 p  p    p    p  0 

例1. 讨论 p 级数
p
1 2
n
n 1 n
的敛散性.
解: 1) p  1, 因为对一切
若

1
而调和级数  发散 ,
n 1 n
由比较审敛法可知 p 级数
1

n
发散 .
18
1
1
2) 若p  1, 因为当
时, p  p , 故
n
x
n 1
n 1
1
1 
1
1 

dx 
dx 
 p 1
p
p
p
p

1


n 1 n
n 1 x
p  1  (n  1)
n
n

1
1 

考虑强级数 
 p 1 的部分和
p

1
 1

1  n 2  1(n  1) 1  n
1

1  p 1    p 1  p 1      p 1 
p 1 
2
2
3 
(nn
1)  
n
n
1
1
1


 n    p 1 
 1
p 1 
p 1


k
(
k

1
)
(
n

1
)
k 1
故大级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
1
19
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N  Z  , 对一切 n  N ,

则  un 收敛.
n 1
20
例2
判定下列级数的收敛性：


1
1
（1）　（2）　

2
n

n

1
n1
ｎ＝１ n(n  1)
解
(1)因为当 n  2有
１
n2 n＋１
 n21n  n（1n1）（n11）2

1
而正项级数 
2 收敛（本节例1及级数性质3）
（
n

1
）
ｎ＝２

1
所以根据比较审敛法,级数  n 2  n １ 收敛.
ｎ＝１
21
(2)
1

n (n  1)
1
(n  1)
2

而级数
1
发散
 
k 2 k
根据比较审敛法可知,所给级数发散 .
22
定理3 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
u n 1
设
 , 则
为正项级数, 且lim
n  u n
(1) 当   1 时, 级数收敛 ;
(2) 当   1 或    时, 级数发散 .
(3)当   1

 u 可能收敛也可能发散．
n 1
n
证明：（1）（2）略
u n 1
lim

例如, p – 级数
n  u n
p  1, 级数收敛 ;
但
p  1, 级数发散 .
1
( n 1) p
lim 1
n 
np
1
23
例3
判定下列级数的收敛性．


n
3n  n!
1  n1 .　 2  n .
n 1 2
n 1 n
解
(1)因为
un  1
n  1 2n1
1 n 1 1
lim
 lim n 
 lim 
  1,
n u
n  2
n

n
2 n
2
n
所以级数收敛．
3n 1  n  1 ! n n
un 1
 n 
lim

lim


lim
3


(2)因为 n u
n 1
n
n 
n 
3
n
!
n

1


n

1
 
n
n
1
3
 3lim
  1.
n
n 
e
 1
1  
 n
所以级数发散．
24

1
的收敛性
例4 判别级数 
n (2n 1)  2n
解 提示
因为
un1
(2n 1)  2n
 lim
1
n un
n (2n 1)  (2n  2)
lim
1
 12
(2n 1)  2n n
比值审敛法失效

1
而级数  n2 收敛
n 1
因此由比较审敛法可知所给级数收敛
25
二 、交错级数及其审敛法
设 un  0 , n  1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 .
定理4. ( Leibnitz 判别法) 若交错级数满足条件:
1) un  un1 ( n  1, 2 , ) ;
2)
lim un  0 ,
n 

则级数
n 1
(

1
)
un

n 1
收敛 , 且其和 S
rn  u n 1 .
 u1 , 其余项满足
26
例5、用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1
n 1 1
1) 1       (1)

收敛
2 3 4
n
1 1 1
n 1 1
收敛
2) 1       (1)

2! 3! 4!
n!
1
2
3
4
n 1 n
3)
 2  3  4    (1)


10 10 10 10
10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?



1
1)  ;
n 1 n
1
2)  ;
n 1 n !
n
3)  n .
n 1 10
发散
收敛
收敛
27
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数
若
收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数
条件收敛 .

例如 ：  (1) n 1
n 1
1 为条件收敛 .
n

 (1)
n 1
n 1
n
10n
均为绝对收敛.
28
定理5.
证:
绝对收敛的级数一定收敛 .
收敛 , 令
设
1
vn  ( u n  u n )
2
显然
( n  1 , 2 , )

vn  0 , 且 vn  u n , 根据比较审敛法  vn 收敛,
n 1
u n  2 vn  u n

 un
n 1

,
 2 vn
收敛
n 1

 un
n 1
也收敛
29
例6. 证明下列级数绝对收敛 :
sin n
(1) 
;
4
n
n 1


2
n
(2)  (1) n n .
e
n 1
sin n
1
 4, 而
证: (1) 
4
n
n



n 1
sin n
4
n

1
 n 4 收敛 ,
n 1
收敛

sin n
因此 
4
n
n 1
绝对收敛 .
30
(2)
令
(n  1) 2
u n 1
n 1
 lim
 lim e
n  u n
n 
n2
n
e
2
1  n  1 1
 lim 
  1
n  e  n 
e



n 1
注意 虽然每个绝对收
敛级数都是收敛的,但并
不是每个收敛级数都是
绝对收敛的.例如,级数
1 1 1
n 1 1
1        1   
2 3 4
n
收敛
1 1 1
1
1         发散
2 3 4
n
2
2

n
(1) n n 收敛, 因此  (1) n n 绝对收敛.
n
e
e
n 1
31
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim un  0
不满足
n 
发
散
满足
比值审敛法
 比较审敛法
1
不定 
用它法判别  部分和极限

un 1

lim u  
n  n
 1
 1
收
敛
发
散
32
3. 任意项级数审敛法
为收敛级数
概念:
绝对收敛
条件收敛
Leibniz判别法:
un  un 1  0
lim u n  0
n 

则交错级数
n
(

1
)
 un 收敛
n 1
33
§8.3 幂级数
一、幂级数的概念
二、幂级数的运算性质
三、函数展开成幂级数
一、 幂级数的概念
设 un ( x) (n  1, 2 ,) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散点的全体称为其发散域 .
发散 , 称 x 为其发散点, 所有
0
35
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数
称它
为级数的和函数 , 并写成
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项
则在收敛域上有
36
例如, 等比级数
它的收敛域是
当 x  (1,1) 时, 有和函数
它的发散域是 ( ,  1 ] 及 [1,)
当 x  1 时收敛，
又如, 级数
但当 0 
或写作 x  1 .
x  1 时，
所以级数的收敛域仅为
级数发散 ;
37
定义2 形如
a0  a1x  a2 x2   an xn  的级数,称为幂级数
其中常数 a0 , a1 , a2 , , an ,  称为幂级数的系数
幂级数的一般形式是
a0  a1  x  x0   a2  x  x0     an  x  x0   
2
n
只要作代换 t  x  x0 就可把它化为幂级数
a0  a1x  a2 x2   an xn  的形式
下面着重讨论
的情形

1
, x  1 即是此种情形.
例如, 幂级数 x 
1 x
n 0
n
38
定理1. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R 1 ;

R ;
2) 当 ＝0
时,
3) 当 ＝∞时,
R  0.
说明：据此定理级数的收敛半径
an
的收敛半径为 R  lim
n  an 1
39
例1. 求下列幂级数的收敛域 :
解: (1)
an
 R  lim
n  an 1
1
n!
 lim 1
n 
(n  1) !
所以收敛域为 ( ,   ) .
an
 lim n !
(2)  R  lim
n  an 1
n  (n  1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
规定: 0 ! = 1

0
40

( 2n) ! 2 n
x
例2. 求幂级数 
2
n  0 ( n !)
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,故直接由
比值审敛法求收敛半径.
u n 1 ( x)
lim
 lim
n  u n ( x )
n 
[ 2 (n  1) ] !
[ (n  1) ! ]2
x 2 ( n 1)
[ 2n] ! 2n
x
2
[n! ]
( 2 n  1)(2 n  2) 2
2
 lim
x  4x
2
n 
( n 1 )
当4 x2  1
时级数收敛
当4 x2  1
时级数发散
1
R .
2
故收敛半径为
41
例4.
( x  1) n
的收敛域.
例3.求幂级数  n
2 n
n 1

解: 令
级数变为
1
an
 R  lim
 lim 2 n n
n  an 1
n 
当 t = 2 时, 级数为
2 n 1 (n  1)
 lim
1
2
n
n


2 n
2 n 1 (n  1)
此级数发散;
当 t = – 2 时, 级数为
因此级数的收敛域为
此级数条件收敛;
 2  t  2 , 故原级数的收敛域为
即 1  x  3 .
42
二、幂级数的运算
定理2.
及
设幂级数
的收敛半径分别为
R1 , R2 , 令 R  min R1 , R2  , 则有 :



  an x
n 0

n
(为常数 )

n
n
n
a
x

b
x

(
a

b
)
x
 n n
 n n ,
n 0
n 0
n 0
x  R1
x R
以上结论可用部分和的极限证明 .
43
定理3
若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:



S ( x)    an x n    nan x n 1 , x  ( R , R )
n 0

n 1
 0 S ( x) d x   
x
n 0
x n
an x
0

an n 1
x , x  ( R , R )
dx  
n 0 n  1
(证明见第六节)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
44
例如,由等比级数的收敛性知
1
 1  x  x 2    x n  　 1  x  1 .
1 x
逐项求导,得
1
1  x 
2
 1  2 x  3x2    nxn1  　 1  x  1 .
x
x
x
dx
n

1
dx

xdx



x
0 1  x 0
0
0 dx  
x
逐项积分,得
即
x 2 x3
x n1
 ln 1  x   x     
 　 1  x  1 .
2 3
n 1
可以看到,逐项求导或积分后,所得级数的收敛半径
没有改变.但应注意,收敛区间可能会改变．
45
x n 1
例6 求幂级数   1
的和函数．
n 1
n 0

解
n
设幂级数的和函数为s(x),则
n 1

n x
s  x     1
, 且s  0   0.
n 1
n 0
逐项求导,得 n 1


n x
s '  x      1 
'

n  1
 n 0
n 1



n x
n n
   1 
'    1 x

n  1  n 0
n 0 

1
 1  x  x  x     1 x   
, x   1,1 .
1 x
2
3
n
n
46
两边积分,得

x
0
1
s '  x dx  
dx  ln 1  x  .
0 1 x
x
 s '  x dx  s  x   s  0  s  x  ,
x
因为s(0)=0,所以
0
x n1
所以,和函数s  x   ln 1  x  即 ln 1  x     1  n  1, x   1,1
n 0
n 1


n
x
收敛
当x=1时,幂级数   1 
n 1
n 0
n
x n1
ln 1  x     1 
, x   1,1.
n 1
n 0

所以
n
47
内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .
2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
求收敛半径时直接用比值法或根值法,
也可通过换元化为标准型再求 .
2. 幂级数的性质
两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算
48
2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
练习：1、（1）（3） 2、（1）（3）
3、（1） 4、（1）
作业：1、（2）（4） 2、（2）（4） 3、（2）
49
三、函数展开成幂级数

如果幂级数  an x n 在区间(-R,R)内收敛 ,且其和函数
n 0
恰好就是给定的函数f(x),即

f ( x)   an x n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...　x  ( R, R)
n 0
称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,并称该幂级数为
f(x)的幂级数展开式．
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 此级数的各项系数如何确定 ?
50
定理4. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
唯一的 , 且 a n  1 f ( n ) (0) n  0,1,2......
n!
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
a0  f (0)
则
n 1

f ( x)  a1  2a2 x    nan x   ;
a1  f (0)
n2


f ( x)  2!a2    n(n  1)an x   ; a 2  21! f (0)
f
( n)
( x )  n ! an   ;
显然结论成立 .
a n  n1! f ( n ) (0)
51
f ' (0)
f '' (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
x  ...　x  ( R, R)
1!
2!
n!
上式称为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)展开式,右边的幂级数
称为麦克劳林级数．
如果f(x)不能展成幂级数,则级数
f '  0
f ''  0  2
f    0 n
f  0 
x
x   
x   不一定收敛
1!
2!
n!
n
如果收敛, 也不一定等于f(x).
52
x   (0) 内具有
定理5 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成麦克劳林级数的充要
条件是 f (x) 的麦克劳林公式中的余项满足: lim

证明: f ( x)   f
n 0
令
n 
(n)
(0) n
x ,
n!
Rn ( x)  0 .
x   (0)
n
Sn1 ( x)  
k 0
f ( k ) (0) k
x
k!
f ( x)  S n 1 ( x)  Rn ( x)
lim Rn ( x)  lim  f ( x)  S n 1 ( x)  0 , x   (0)
n 
n 
53
函数展开成幂级数 的方法
展开方法
直接展开法 — 利用泰勒公式
间接展开法 — 利用已知其级数展开式
的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数f(x)展开成幂级数的步骤如下：
第一步
求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步
写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步
判别在收敛区间(－R, R) 内lim Rn ( x) 是否为0
n 
54
展开成 x 的幂级数.
例9. 将函数
解:  f ( n) ( x)  e x , f ( n) (0)  1 (n  0 ,1,), 故得级数
1 2 1 3
1 n
1  x  x  3! x    x  
n!
2!
1
1
其收敛半径为
R  lim n !
n 
(n  1) !
对任何有限数 x , 其余项满足

n
e
n 1
x
e x
(n  1)!
( 在0与x 之间)
1 2 1 3
1 n
故 e  1  x  x  x    x  ,
2!
3!
n!
x
55
展开成 x 的幂级数.
例10. 将
解:  f ( n ) ( x) 
f
(n )
n  2k
0,

(0)  
 (1) k , n  2 k  1
(k  0 , 1, 2 ,)
1 x 2n 1  
( 2n 1) !
其收敛半径为 R  , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(  (n  1) 2 ) n 1
n
得级数:
x  31! x 3 51! x 5    (1) n 1
(n  1)!
x
 sin x  x  1 x 3  1 x 5    (1) n 1 1 x 2n 1  
3!
5!
( 2n 1) !
56
1 3 1 5
1
n 1
sin x  x  x  x    (1)
x 2n 1  
3!
5!
(2n  1) !
类似可推出:(逐项求导)
1 2 1 4
n 1 1
2n
cos x  1  x  x    (1)
x 
2!
4!
( 2n) !
57
例11. 将函数 f ( x)  (1  x) a 展开成 x 的幂级数, 其中 a
为任意常数 .
解: 易求出
f (0)  1, f (0)  a f (0)  a(a  1) ,
f ( n) (0)  a(a 1)(a  2)(a  n  1) , 
于是得 级数
a
(
a

1
)
a(a  1) (a  n  1) n
2
1  ax 
x  
x 
n!
2!
an
n 1
由于
R  lim
 lim
1
n


n an 1
an
因此对任意常数 a, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
58
Rn  x   0
可以证明,当x∈(-1,1)时,极限 lim
n 
所以有展开式
1  x 

 1  x 
   1
x 2   
2!
   1    n  1 n
x  　x   1,1 .
n!
上式通常称为二项展开式．
59
常用函数的幂级数展开式
1 2
1 n
x
 e  1  x  x    x  ,
2!
n!
x  ( ,  )
n
(

1
)
1 2 1 3 1 4
n 1

x

x
 ln(1  x)
 x  x  x 

n 1
2
3
4
x  (1,  1]
2 n 1
x3
x5 x7
x

   (1) n

 sin x  x 
3!
5! 7 !
(2n  1) !
x  ( ,  )
60
2n
x2 x 4 x6
x
n






(

1
)

 cos x  1
2 ! 4 ! 6!
( 2n) !
x  ( ,  )
a(a  1) 2
a
 (1  x)  1  a x 
x

2!
a(a  1) (a  n  1) n

x 
x  (1, 1)
n!
当 a = –1 时
1
 1  x  x 2  x 3    (1) n x n  , x  (1, 1)
1 x
61
2. 间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,
将所给函数展开成 幂级数.
例12. 将函数
解:
展开成 x 的幂级数.
因为
1
2
n n
1

x

x



(

1
)
x   ( 1  x  1 )

1 x
把 x 换成x
2
,得
1
2
4
n 2n

1

x

x



(

1
)
x 
2
1 x
( 1  x  1 )
62
例l3
解
1 x
将 ln
展开为幂级数．
1 x
因为
n
x 2 x3
n 1 x
ln 1  x   x       1   　x   1,1
2 3
n
x 2 x3
xn
ln 1  x    x       　x  1,1 .
2 3
n
所以,由幂级数的运算法则,得
1 x
2 3 2 5
2
ln
 ln(1  x)  ln(1  x)  2 x  x  x  ... 
x 2 n 1  ...
1 x
3
5
2n  1
x  (1,1)
63
例15
解
1
将函数 f  x   在x=1处展开成泰勒级数．
x
因为
1
n n
2
 1  t  t     1 t  　t   1,1 ,
1 t
1
1
2
 1   x  1   x  1   
所以,得 f  x   
x 1   x  1
 1  x  1  　x   0, 2  .
n
n
64
例16. 将
展成 x－1 的幂级数.
1
1
解: x 2  4 x  3  ( x  1)( x  3)
x 1
2
x 1
4
( x 1  2 )
x  1 (x  1)
n ( x  1)

   (1)

1
2
n
2
2
2
1



8 
2

  (1)
n 0
n

1
2
n2

1
2
2n 3
n
 ( x  1) n
( 1  x  3 )
65
幂级数展开式在近似计算上的应用举例
解
例l6 计算e的近似值．
2
n
x
x
x
因为 e  1  x      　x   ,   ,
2!
n!
所以,将x=1代入上式,得
1
1
e  1  1      ,
2!
n!
取级数的前n+1项作为e的近似值,得
1
1
e  1  1     ,
2!
n!
截断误差(即级数的余项的绝对值)为
66
rn 
1
1
1

  
 
 n  1!  n  2 !
 n  k !

1 
1
1
1


  
 
1 
2
k 1
n

1
!
n

1
  
 n  1
 n  1


1
1
1

.
1
n !n
 n  1! 1 
n 1
于是,根据上述误差估计公式,可计算出任意精确度的e值.
10
10
如要精确到
由于
13! 13  8 1010  1010
1
1
所以只须取n=13,即 e  1  1    
2!
13!
(可在计算机上求得此值为e=2.718 281 828 459 0…).
67
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法— 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法— 利用幂级数的性质及已知展
开 式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
练习：5（1）（2） 6、作业：5（3）（4）
68