Transcript 复变函数4

第四章 级数
§1 复数项级数
1
1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,...)为一复数列,
其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数.
如果任意给定e>0, 相应地能找到一个正数
N(e), 使|an-a|<e在n>N时成立, 则a称为复数
列{an}当n时的极限, 记作 lim a n  a
n 
此时也称复数列{an}收敛于a.
2
定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要
条件是 lim a  a, lim b  b
n 
n
n 
n
[证] 如果 lim a  a , 则对于任意给定的e>0,
n
n 
就能找到一个正数N, 当n>N时,
| (an  ibn ) - (a  ib ) | e
则 | an - a || (an - a)  i (bn - b) | e
所以 lim an  a, 同理 lim bn  b.
n 
n 
3
反之, 如果
lim an  a, lim bn  b
n 
n 
则任给e , 存在N , 当n  N时,
| an - a |
e
2
, | bn - b |
e
2
从而有
| a n - a || (an - a)  i (bn - b) |
| an - a |  | bn - b | e
所以
lim a n  a .
n 
4
2. 级数概念 设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复

数列, 表达式
a
n 1
n
 a1  a 2    a n  
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn=a1+a2+...+an
称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛,

则级数 a n 称为收敛, 并且极限 lim sn  s 称
n 1
n 
为级数的和. 如果数列{sn }不收敛, 则级数

a 称为发散.
n 1
n
5

定理二 级数


 a 和 b
n 1
n
n 1
a
n 1
收敛的充要条件是级数
n
都收敛
n
[证] 因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)
+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,
其中sn=a1+a2+...+an, tn=b1+b2+...+bn分别为

a
n 1
n
和

b
n 1
n
的部分和, 由定理一,
{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极
限存在, 即级数

a
n 1
n
和

b
n 1
n
都收敛.
6
定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数
项级数的审敛问题.


n 1
n 1
而由实数项级数 an和 bn收敛的必要条件
lim an  0和 lim bn  0,
n 
n 
立即可得 lim a n  0, 从而推出复数项级数
n 

a 收敛的必要条件是 lim a
n 1
n
n 
n
 0.
7
定理三


n 1
n 1
如果 | a n |收敛, 则 a n也收敛, 且不等式

a
n 1
[证]

n
  | a n |成立
n 1


由于 | an |   a  b ,
n 1
n 1
2
n
2
n
而 | an | a  b , | bn | a  b
2
n
2
n
2
n
2
n
8


n 1
n 1
可知级数 | an |及 | bn |都收敛,因而



 a 和 b 也都收敛, 则a 是收敛的.
n 1
n
n
n 1
n 1
n
a
而又因
k 1
n
lim
n 
a
k 1

k
n
n
k
  | a k |, 因此
 lim
n 
k 1
n
| a
k 1
k


k 1
k 1
|或  a k   | a k |

如果 | a n | 收敛, 则称级数a n 绝对收敛.
n 1
n 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
9
由于 a  b | an |  | bn |,因此
2
n


n 1
2
n


n 1
n 1
a  b   | an |   | bn |,
2
n
2
n



n 1
n 1
n 1
所以当 an与 bn绝对收敛时,  a n也绝对

收敛,因此 a n绝对收敛的充要条件是
n 1


 a 与 b 绝对收敛.
n 1
n
n 1
n
10
另外, 因为

| a
n 1
n
| 的各项都是非负的实数, 所以
它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.
例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.

 1 n
1) a n  1   e ;
 n
i
2) a n  n cos in
11
[解] 1) 因



 1  n  1 
a n  1   e  1   cos  i sin 
n
n
 n
 n 

 1
 1 
an  1   cos ,
bn  1   sin .
n
n
 n
 n
lim an  1,
lim bn  0
i
n 
n 

 1 n
数列 1   e 收敛, 且有 lim a n  1.
n 
 n
i
12
2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时,
an. 所以an发散.
例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?

1 i 
1)  1  ;
n
n 1 n 

n

(8i)
(-1)
1 
2) 
; 3)  
 n i
n
2 
n 0 n !
n 1 



n
1
[解] 1) 因  an   发散 ;
n 1
n 1 n


1
bn   2 收敛,

n 1
n 1 n
故原级数发散.
13
2) 因
(8i ) n 8n
, 由正项级数的比值审敛法知

n!
n!

8n

n 1 n !
收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
(-1) n
3) 因 
收敛;
n
n 1

故原级数收敛. 但因

1

n
2
n 1
(-1)

n
n 1

也收敛,
n
为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛.
14
§2 幂级数
15
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序
列,其中各项在区域D内有定义.表达式

f
n 1
n
( z )  f1 ( z )  f 2 ( z )    f n ( z )   (4.2.1)
称为复变函数项级数. 最前面n项的和
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
称为这级数的部分和.
16
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 )  s( z0 )
n 
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0)
称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一
定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...

s(z)称为级数
f
n 1
n
( z ) 的和函数
17
当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项
级数的特殊情形:

 c ( z - a)
n 0
n
n
 c0  c1 ( z - a)  c2 ( z - a) 
2
   cn ( z - a )  
n
(4.2.2)

或  cn z  c0  c1 z  c2 z    cn z   (4.2.3)
n
2
n
n 0
这种级数称为幂级数.
如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为

n
c
z
 n , 这是
n 0
(4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论
18
定理一(阿贝尔Abel定理)

如果级数 cn z 在z  z0 ( 0)收敛, 则对满足
n
n 0
| z || z0 | 的z , 级数必绝对收敛, 如果在z  z0
级数发散, 则对满足 | z || z0 | 的z, 级数必发散.
y
z0
O
x
19
[证]

因 c z 收敛, 则 lim c z  0,
n 0
n
n 0
n 
n
n 0
则存在M使对所有的n有 | c z | M
n
n 0
|z|
如果 | z || z0 |, 则
 q  1, 而
| z0 |
n
z
n
| cn z || c z | 
 Mq
z0
n
n
n 0
20
n
z
n
| cn z || c z | 
 Mq
z0
n
n
n 0

由于 Mq 为公比小于1的等比级数, 故收敛
n
n 0


因此 | cn z |   Mq 亦收敛
n
n 0
n
n 0

从而级数 cn z 是绝对收敛的.
n
n 0
21

如果级数 c z 发散, 且如果 | z || z0 |
n 0
n
n 0

用反证法, 设级数 cn z 反而收敛, 则根据
n
n 0

前面的结论可导出 c z 收敛, 与所设
n 0
n
n 0

矛盾. 因此只能是 cn z 发散
n
n 0
22
2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂
级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况
不外乎三种:
i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定
理可知级数在复平面内处处绝对收敛.
ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数
在复平面内除原点外处处发散.
iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散
的正实数. 设z=a (正实数)时, 级数收敛, z=b (正实
数)时, 级数发散.
23
显然a<b, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.
y
CR
R
Cb
Ca
O
a
b
x
24
当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点
为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色,
外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂
级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆
的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半
径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心
的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为
中心的圆域. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.
25
例1 求幂级数

z
n
 1 z  z  z 
2
n
n 0
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
1- z
sn  1  z  z    z 
, ( z  1)
1- z
n
2
n
26
1- z
sn  1  z  z    z 
, ( z  1)
1- z
n
2
n
1
当 | z | 1时,由于 lim z  0, 从而有 lim sn 
,
n 
n 
1- z

1
n
即 | z | 1时级数 z 收敛, 和函数为
,
1- z
n 1
n
当 | z | 1时,由于n  时z 不趋于零, 级数发散.
n
收敛范围为 | z | 1, 在此范围内绝对收敛, 并有
1
2
n
 1 z  z  z 
1- z
27
3.收敛半径的求法
定理二(比值法) 如果
c n 1
lim
   0
n 
cn
.则收敛
1
半径
 .
[证] 由于
R 
n 1
| cn 1 || z |
cn 1
lim
 lim
| z |  | z |
n
n  | c || z |
n  c
n
n
故知当
| z |
1


时, 
n0
| c n || z | n
收敛, 根据上
节定理三,

级数 
n0
cn z
n
在圆 | z
|
1

内收敛.
28
再证当
| z |
| z |
1
1


时, 级数 
n0
cn z n
发散. 假设在

外有一点 z0, 使级数 
圆
收敛.

在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
n0
c n z 0n

贝尔定理, 级数  c z 必收敛, 然而 | z
n 1
所以
| cn1 || z1 |
lim
  | z1 | 1
n
n0
n 
n
n
1
1
|
1

,
| cn || z1 |
29

这跟 
n0
| c n || z 1 |
n
收敛相矛盾, 即在圆周 | z
|
1


外有一点 z0, 使级数 
n0

成立. 因而 
n0
cn z n
明了收敛半径 R

c n z 0n
收敛的假定不能
在圆外发散. 以上结果表
1

30
必须注意, 定理中的极限是假定存在的且
不 为 零 . 如 果 =0, 则 对 任 何 z, 级 数

 |c
n0
n
|| z |
n
收敛,

从而级数 
n0
cn z n
在复平面内
处处收敛, 即 R=. 如果 =+, 则对复平

面内除 z=0 外的一切 z, 级数 
n0
| c n || z | n
都不

收敛, 因此 
n0
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
31
定理三(根值法)
敛半径 R

1

lim n | c n |    0
如果 n  
,则收
.
32
例2 求下列幂级数的收敛半径

n
z

1) n 1 n3 (并讨论在收敛圆周上的情形);
( z - 1)n

n
n 1

2)
(并讨论 z=0,2 时的情形);

3)
n
(cos
in
)
z

n 0
33
3
cn 1
 n 
lim
 lim 
1

因为 n cn n  n  2 
,
[解] 1)
1
1
lim | cn |  lim 3  lim
1
n 
n 
n  n 3
n
n
n
n
或
所以收敛半径 R=1, 也就是原级数在圆|z|=1
内收敛, 在圆周外发散. 在圆周|z|=1 上, 级


数
n 1

z
1
 3
3
n
n 1 n 是收敛的, 因为这是一个 p
n
级数, p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处
处收敛的.
34
2)
cn 1
n
lim
 lim
1
n  c
n  n  1
,
n
即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为

1
(-1)

n,
n 1
n
级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为

1

n 1 n ,
发散. 这个例子表明, 在收敛圆周上即
有级数的收敛点,也有级数的发散点.
35
3)
1 n -n
cn  cos in  chn  (e  e )
因为
,
2
所以
n 1
- n -1
cn 1
e e
lim
 lim n - n  e
n  c
n  e  e
n
1
R
故收敛半径
e
36
4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,
复变幂级数也能进行有理运算. 设


f ( z )   an z , R  r1 , g ( z )   bn z , R  r2
n
n 0
n
n 0
在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的
圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相
加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别
就是f(z)与g(z)的和,差与积.
37


f ( z )  g ( z )   an z   bn z
n
n 0
n
n 0

  (an  bn ) z ,
n
| z | R,
n 0

 


n
n
f ( z ) g ( z )    an z   bn z 
 n 0
 n 0


  (anb0  an -1b1    a0bn ) z
n
n 0
| z | R.
R  min( r1 , r2 )
38
更为重要的是代换(复合)运算

如果当 | z | r时, f ( z )   an z , 又设在 | z | R
n
n 0
内g ( z )解析且满足 | g ( z ) | r , 则当 | z | R时,

f [ g ( z )]   an [ g ( z )] .
n
n 0
这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有
着广泛的应用.
39

例 4

1
cn ( z - a )
把函数 z - b 表成形如 n 0
n
的幂
级数, 其中 a 与 b 是不相等的复常数.
[解]
1
把函数 z - b 写成如下形式:
1
1
-1



z - b ( z - a ) - (b - a ) b - a
1
z-a
1b-a
-1
( z - a) ( z - a) 2
( z - a) n

--
2
3
n
b - a (b - a )
(b - a )
(b - a )
收敛半径为 R=|b-a|
40
当|z-a|<|b-a|=R时
级数收敛
y
b
a
O
x
41

定理四 设幂级数 
n0
cn (z - a )n
的收敛半径为 R,
则
1) 它 的 和 函 数
f (z) 


n0
cn (z - a )n
是收敛圆
|z-a|<R 内的解析函数.
2) f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项
求导得到, 即
f ( z ) 


n 1
nc n ( z - a ) n - 1
42
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即

f ( z ) d z   cn  ( z - a) d z , C | z - a | R

n
n 0
C
C
或

z
a

cn
n 1
f (z ) d z  
( z - a)
n 1
n 0
43
44
45
46
47
48