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§3 泰勒级数
设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以
z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D,
把它记作K, 又设z为K内任一点.
z
z0
K
z
按柯西积分公式, 有
且
1
f (z )
f ( z) 
dz ,

2πi K z - z
1
1
1
1



z - z (z - z0 ) - ( z - z0 ) z - z0 1 - z - z0
z - z0
由于积分变量z 取在圆周K 上, 点z在K的内部,

z - z0
( z - z0 ) n
1
所以
 1,

z - z0
z - z n 0 (z - z0 ) n 1
 1
f (z ) d z 
n
f ( z)   
(
z
z
)
0
n 1 

n  0  2 π i K (z - z0 )

 
1
f (z )
n

( z - z0 )  d z .

n 1

2 π i K  n  N (z - z0 )

N -1
K
z z
z0
由解析函数高阶导数公式,上式可写成
N -1
f ( z)  
n 0
f ( n ) ( z0 )
( z - z0 ) n  RN ( z )
n!
其中
 
f (z )
n
( z - z0 )  d z
n 1
K  n
 N (z - z0 )

如果能证明 lim RN ( z )  0在K内成立, 则
1
RN ( z ) 
2πi
N 

f
(n)
( z0 )
f ( z)  
( z - z0 ) n
K
n!
n 0
在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.
z z
z0
z - z0
z - z0
令

 q ， q与积分变量z无关, 且0q<1.
z - z0
r
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因
此在K上存在正实数 M 使| f (z) |  M.
1
| RN ( z ) |
2π

K
f (z )
n
(
z
z
)
ds

0
n 1
n  N (z - z 0 )

n


1
| f (z ) | z - z0 


ds

2π K n  N | z - z0 | z - z0 


1  M n
Mq N

q  2π r 
N



 0
2π n  N r
1- q

f ( n ) ( z0 )
( z - z0 ) n
因此, 下面的公式在K内成立: f ( z )  
n!
n 0
称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处
的泰勒级数.
圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果
z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则 f (z)在z0的泰勒展
开式在圆域 |z-z0|<d 内成立.
定理(泰勒展开定理) 设 f (z)在区域D内解析, z0为D内的一
点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|<d 时,

f ( z )   cn ( z - z0 ) n 成立 , 其中
n 0
1 (n)
cn  f ( z0 ), n  0,1, 2, .
n!
注： 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式
成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点
a 的距离, 即R=|a-z0|.
y
a
z0
x
任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,
因而是唯一的.
利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:
1 (n)
cn  f ( z0 ) (n  0,1,2,)
n!
把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法
例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez,
(ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有
2
z
e  1 z  
2!
z
n
z
 
n!
.
z  
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成
立, 收敛半径为+.
同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:
z3 z5
sin z  z -  3! 5!
2 n 1
z
 (-1) n

(2n  1)!
z  
z2 z4
cos z  1 -  2! 4!
2n
z
 (-1) n

(2n)!
z  
除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级
数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函
数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0
的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:
1 iz -iz
1   (iz ) n  (-iz ) n 
sin z  (e - e )   
-
2i
2i  n 0 n ! n 0 n ! 

z3 z5
z 2 n 1
n
 z -  -   (-1)
z  
3! 5!
(2n  1)!
n 0
例1 把函数 1 1  z  展开成z的幂级数.
[解] 由于函数有一奇点z-1, 而在|z|<1内处处解析, 所以
可在|z|<1内展开成z的幂级数.
2
1
2

1
z

z
因为
1 z
 (-1) n z n 
, | z | 1.
将上式两边求导得
1
2

1
2
z

3
z
2
(1  z )
 (-1) n -1 nz n -1 
, | z | 1.
例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.
[解] ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,
-1是它的奇点, 所以可在|z|<1展开为z的幂级数.
y
-1
O
x

1
因为 [ln(1  z )] 
  (-1) n z n , 逐项积分得
1  z n 0
z 1
z
z
n n
d


z

d



(
1)
 d  ,
0 1  
0
0
n 1
z 2 z3
z
即 ln(1  z )  z -  -  (-1)n
 | z | 1.
2 3
n 1
推论1：
函数f ( z)在z0解析 
f ( z)在z0的某邻域内可展开为z - z0的幂级数
函数f ( z)在区域D解析 
f ( z)在D内任一点处可展开为z - z0的幂级数
函数f ( z)在区域D解析的等价条件：
注：
(1)函数f ( z)在区域D内可导；
(2)u, v在区域D内可微，且满足C - R条件，
(3)函数f ( z)在区域D内连续且积分与路径无关；
(4)函数f ( z)在区域D内可展开为幂级数
推论2：设函数f ( z)在区域D解析，z0  D, R  dist( z0 , D)
则 f ( z)在 z - z0  R内可展开为z0的幂级数
推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.
(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)

zn
例如： 2  f ( z )
n 0 n
在 z  1上绝对收敛 ,
z
z n-1
但 f ( z )  1    
  ( z  1),
2
n
当z沿实轴从单位圆内部趋近于1时：f ( z)  
即z  1是一个奇点。

f ( z )   Cn ( z - z0 ) n ,
设函数f ( z)在z0解析，且有T aylor展开式：
推论4：
n 0
a是f ( z)的距z0最近的一个奇点，则R  a - z0 为其收敛半径。

1
例如：f ( z )  2
  C n z n , 则其收敛半径R  2;
z  z - 6 n 0

1
f ( z)  2
  C n ( z - i) n , 则其收敛半径R  5.
z  z - 6 n 0
在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中
就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式
1
2
4
n 2n

1
x

x

(
1)
x 
2
1 x
的成立必须受|x|<1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因
为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.
而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数
1
 1-z2+z4-…
2
1 z
它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收
敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即
使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.
§4 洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该
圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在
z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况
在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0
为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
讨论下列形式的级数:

n
c
(
z
z
)

 n
0
n -
 c- n ( z - z0 ) - n 
 c0  c1 ( z - z0 ) 
可将其分为两部分考虑:
 c-1 ( z - z0 ) -1
 cn ( z - z0 ) n 
,

n
c
(
z
z
)
 c0  c1 ( z - z0 ) 
n
0
 cn ( z - z0 ) n 
n 0

-n
-1
c
(
z
z
)

c
(
z
z
)

 -n
0
-1
0
(正幂项部分)
 c- n ( z - z0 ) - n 
n 1
(负幂项部分)
只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的
和. 正幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2：z - z0  R2 .
对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到：


-n
n
2
c
(
z
z
)

c
z

c
z

c
z

 -n 0  -n
-1
-2
n 1
,
n 1
1
这是z 的幂级数, 设收敛半径为R：  R  z - z0  R1
R


则当|z-z0|>R1时, 即| z |<R,  c- nz n   c- n ( z - z0 )- n 收敛。
n 1
n 1
因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
例如级数

n

R2
n
a
z
 n

n
n 1 z
n 0 b
(a与b为复常数)


z 0 R1
n
a
a
a
中的负幂项级数 n     , 当  1,
z
n 1 z
n 1  z 
n

n
z
即 | z || a | 时收敛, 而正幂项级数 n 则当
n 0 b
| z || b | 时收敛. 所以当 | a || b | 时, 原级数在
圆环域 | a || z || b | 收敛; 当 | a || b | 时, 原级
数处处发散.
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数

 c (z - z )
n -
n
0
n

-n
 c- n ( z - z0 ) 
 c0  c1 ( z - z0 ) 
 c-1 ( z - z0 )
 cn ( z - z0 ) n 
-1
,
在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛
域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成
幂级数?先看下例.
1
函数f ( z ) 
在z  0及z  1都不解析, 但在圆环域
z (1 - z )
0 | z | 1及0 | z - 1| 1内都是解析的.先研究0 | z | 1的情形:
1
1
1
1
f ( z) 
 
 1 z  z2   zn  .
z (1 - z ) z 1 - z z
由此可见, f ( z )在0 | z | 1内是可以展开为z的幂级数.
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数:
y

1
1 
1
f ( z) 

z (1 - z ) 1 - z 1 - (1 - z ) 
O
1
1

[1  (1 - z )  (1 - z ) 2   (1 - z ) n  ]
1- z
 (1 - z ) -1  1  (1 - z )  (1 - z ) 2 
 (1 - z ) n -1 
x
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |z-z0| < R2内解析, 则
f ( z) 

n
c
(
z
z
)
 n
0
其中
n -
1
cn 
2πi

C
f (z )
d z . (n  0, 1, 2, )
n 1
(z - z0 )
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.
[证] 设z为圆环域内的任一点,
在圆环域内作以z0为中心的
正向圆周K1与K2, K2的半径R
大于K1的半径r, 且使z在K1与
K2之间.
z
z0
K1
K2
z
z
由柯西积分公式得
f ( z) 
1
f (z )
1
f (z )
d
z
dz


2 π i K2 z - z
2 π i K1 z - z
z - z0
对第一个积分, z 在K 2上, z在K 2内,
 1.
z - z0
和泰勒展开式一样, 可以推得
 

1
f (z )
1
f (z )
n
d
z

d
z
(
z
z
)



0
n 1

2 π i K2 z - z
2
π
i
(
z
z
)
n 0 

0
K2

z
z0 z
K1
K2 z
1
f (z )
第二个积分 d z .由于z 在K1上,

2 π i K1 z - z
1
1
1
z - z0

点z在K1的外部,
 1. 因此
z -z
z - z0 1 - z - z0
z - z0
z - z0
n -1


(z - z0 )
1
-n
 -

(
z
z
)
,

0
n
- n 1
n 1 ( z - z0 )
n 1 (z - z0 )
N -1 

1
f (z )
1
f (z )
-n
d
z

d
z
(
z
z
)
 RN ( z ),



0
- n 1


2 π i K1 z - z
n 1 

 2 π i K1 (z - z0 )
  (z - z0 ) n -1 f (z ) 
1
其中 RN ( z ) 

 dz .
n

2 π i K1  n  N
( z - z0 )

z - z0
r
令q

, 则 0  q  1，因此有
z - z0 | z - z 0 |
n


1
| f (z ) | z - z0 

ds
| RN ( z ) |

2 π K1  n 0 | z - z0 | z - z0 


M1q N
1  M1 n

q 2πr 
. M1是 | f ( z ) | 在K1上的最大值.

2 π n N r
1- q
因为 lim q  0, 所以 lim RN ( z)  0 .
N
N 
N 


n 0
n 1
因此 f ( z )   cn ( z - z0 ) n   c- n ( z - z0 ) - n 

n
c
(
z
z
)
 n 0 ,
n -
1
f (z )
cn 
d z , (n  0,1, 2, ) ;
n 1

2 π i K2 (z - z0 )
R2
1
f (z )
c- n 
d z , (n  1, 2, ) .
- n 1

2 π i K1 (z - z0 )
z0 R 1
C
如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则
根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示:
1
cn 
2πi

C
f (z )
d z , (n  0, 1, 2, )
n 1
(z - z0 )
1
f (z )
于是 f ( z )   cn ( z - z0 ) , cn 
d z ,(n  0, 1, 2, )
n 1

2 π i C (z - z0 )
n -

n
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|z-z0|<R2内的洛
朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内
的洛朗级数.
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项
的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数.
根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以
用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛
朗级数的展开式.
例1 把 f  z  
1
 z -1 z - 2
在复平面上展开为z的幂级数。
解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2;
iii) 2 < |z| < + 内是处处解析的, 应把 f (z)在
这些区域内展开成洛朗级数.
y
O
y
y
1
x
O
1
2
x
O
2
x
1
1
.
先把 f (z)用部分分式表示: f ( z ) 
1- z 2 - z
1
1 1
i)在0 | z | 1内: f ( z ) 
- 

1- z 2 1- z
2
2

 1 3
1
z
z
7 2
2
 (1  z  z  ) - 1   2     z  z 
2 2 2
8
 2 4
.
1
1
1 1
1 1
ii) 在1< |z| < 2内：f ( z ) 
- 

1- z 2 - z
z 1- 1 2 1- z
z
2
2

-1
1 1
1 z z
 (1   2  ) - 1   2  
z
z z
2 2 2

1
1
1 1 z z2
 - n - n -1 - - - - - - .
z
z
z 2 4 8
1
1
1 1
1 1
 

iii) 在2<|z|<+内: f ( z ) 
1- z 2 - z
z 1- 1 z 1- 2
z
z
-1
1 1
1
2 4
 (1   2  )  (1   2  )
z
z z
z
z z
1 3 7
 2 3 4 .
z
z
z
1
例2 把函数 f ( z )  z 3 e z 在0 | z | 内展开成洛朗级数.
2
3
z
z
z
e
[解] 因有  1  z   
2! 3!
1
z
zn


n!
1
1
1
1
z e  z (1  


 )
2
3
4
z 2! z 3! z 4! z
z 1
1
3
2
z z   

0  z  .
2! 3! 4! z
3
3
注意: 一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，也
可在非奇点展开。
函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内
解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开
式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情
形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的
唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展
开式是唯一的.
1 - 2i
例如在 zi 和z-i处展开函数 f ( z ) 
为洛朗级数。
z ( z  i)
在复平面内有两个奇点: z=0与z-i, 分别在以i为中心的
圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.
因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式
有三个:1)在|z-i|<1中的泰勒展开式;
2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式;
i
O
-i
3)在2<|z-i|<+中的洛朗展开式;
在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|zi|=1上.
因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:
1)在0< |zi|<1中的洛朗展开式;
2)在1<|zi|< +中的洛朗展开式。
0
-i
特别的，当洛朗级数的系数公式
1
f (z )
cn 
d z . (n  0, 1, 2, )
n 1

2 π i C (z - z0 )
n  -1时，有 C -1 
1
2 i 
C
f ( z )dz   f ( z )dz  2 i C -1
C
（即可利用Laurent系数计算积分）
其中C为圆环域R1<|z-z0|<R2内的任何一条简单闭曲线,
f (z) 在此圆环域内解析.
例３ 求积分  
解： f ( z )  e
1
z - z0
z - z0  r
e
1
z - z0
( z - z 0 ) -3 dz
( z - z 0 ) -3 在0  z - z 0   内解析，
其Laurent系数C-1  0    2 iC-1  0.
 1
例4 求积分   z 2 ln 1   dz .
 z
 1   (-1)
解：ln1    
 z  n1 n
n -1
z -n 1  z    C-1  1   2 i .
1
z
ze
例 5 求积分 
d z.
1- z
| z|  2 1
ze z
在 1<|z|<+内解析, |z|=2 在此圆环域
解： 函数 f ( z ) 
1- z
内, 把它在圆环域内展开得
-1
1
 1 1
 1

 - 1   2  1  


2
1
z
z
z
2!
z



1z
5
 2

 - 1   2   . 故c -2, 原式=2 ic  -4 i.
-1
-1
 z 2z

f ( z)  e
1
z