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第二章 解析函数
--------复变函数研究的主要内容
§2.1 函数解析性的概念及其判定
§2.2 复变初等函数
1．导数定义：
y
f ( x0  x )  f ( x0 )
lim
 lim
x  0  x
x  0
x
f ( x0 )  lim
x  0
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
f ( x )  f ( x0 )
 lim
x  x0
x
x  x0
f ( x0  x )  f  x0 
x
 f   x0     x 
f ( x0  x)  f  x0   f   x0  x    x  x
2．可导与连续的关系：
可导
连续
3．微分定义：
若
f ( x0  x )  f ( x0 )  ax  o(x ),
则称 f ( x )
在 x0 点可微，ax 称为 f ( x ) 在 x0 点的微分.
记为
dy  ax
f ( x0   x )  f ( x 0 )
a  lim
  x0 

f
x  0
x
f ( x0   x )  f ( x 0 )
  x  
 f   x0 
x
4．导数与微分的关系：
 可微
可导 
dy  f ( x 0 )dx
5．二元函数微分的定义：
设 z  f  x, y  在 U  x0 , y0  内有定义，且 x , y
 x0  x, y0  y  U  x0 , y0 
若 z  f ( x 0  x , y 0  y )  f ( x 0 , y 0 )  a1x  a2 y  o(  )
则称 z  f  x, y  在  x0 , y0  处可微.
z
z
a1 
, a2 
x0 , y0 

x
y  x0 , y0 
第一节 函数解析性的概念及其判定
1.1 复变函数的导数与微分
定义2.1（复变函数的导数）
设函数w=f(z)定义于区域 D  C , 点 z0 , z0  z  D.
若极限
lim
z  0
f ( z 0  z )  f ( z 0 )
f ( z )  f ( z0 )
= lim
z  z0
z
z  z0
存在，则称 f ( z ) 在 z  z0点可导, 并把这个极
限值称为 f ( z ) 在 z  z0 点的导数，记做
dw
f   z0  
dz
z  z0
f ( z0  z )  f ( z0 )
 lim
z  0
z
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内
可导.
注意：趋近方式的任意性
复变函数的微分 设函数w=f(z)在 z0  D 可导，令
f ( z 0  z )  f ( z 0 )
 f   z0 
令   z  
z
则 w  f ( z0  z )  f ( z0 )  f   z0  z +  z  z
其中， lim   z   0
z  0
此时，把  w 的线性部分 f   z0  z 称为函数w=f(z)在 z 0
处的微分，记作
dw  f   z0  z
若函数w=f(z)在z0的微分存在，则称函数在z0可微.
可微与连续的关系 连续是可导(可微)的必要而非充分条件.
可微与可导的关系 函数在一点可微与在一点可导是等价的.
若函数f(z)在区域D内处处可微，则称函数在D内可微.
2
f
(
z
)

z
, 则 f ( z ) 在复平面内
例1 设
处处可导，且 f ( z )  2 z .
例2
证明
f ( z )  z 在复面内处处
连续，但处处不可微.
结论：
对于一个复变函数，即使实部和虚部都可微，但也可能
处处不可微。
求导公式与法则:
(1) (c )  0, 其中c为复常数.
(2) ( z n )  nz n1 , 其中n为正整数.
(3)
(4)

 f ( z )  g( z )  f ( z )  g( z ).
 f ( z ) g( z )  f ( z ) g( z )  f ( z ) g( z ).

 f (z) 
f ( z ) g( z )  f ( z ) g( z )
(5) 

, ( g( z )  0).
2

g (z)
 g( z ) 

(6)  f [ g( z )]  f ( w ) g( z ), 其中 w  g ( z ).
1
(7) f ( z ) 
, 其中 w  f ( z ) 与 z   ( w )
 ( w )
是两个互为反函数的单值函数, 且 ( w )  0.
1.2 解析函数的概念
定义2.2 设 f  z 在区域D有定义.
(1) 设 z0  D , 若存在 z0 的一个邻域，使得
f ( z ) 在此邻域内处处可导, 则称 f ( z ) 在 z0 处解析.
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点.
(2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
若f(z)在 z 0 不解析，则称为f(z) 的奇点.
注意：函数在一点解析与在一点可导不等价.
函数在区域内解析与在区域内可导等价. 解析要求高.
思考题：
（1）有没有这样一个函数，只在一点解析，而在这点的
邻域内不解析？
（2）闭区域解析与闭区域可导是否等价？
（3）如果函数 f(z) 在曲线C上可导，是否在该曲线上解析？
结论：设函数 f ( z ), g ( z )在区域D内解析, 则
f  z
f ( z )  g( z ), f ( z ) g( z ),
（除去分母为0的点）
g z
在区域D内解析。
特别地,
（1）多项式P(z)在全平面内解析.
（2）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析.
例 1 研究下列函数的解析性.
 1 f  z   z 2 ;
 2  g  z   2 x  yi;
1
3

z

    ;
z
 4 h  z   z .
2
1.3 判定函数解析的方法
定理2.1 复变函数 f ( z )  u( x , y )  iv ( x , y )
在点 z  x  iy 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要
条件是二元函数 u( x , y ), v ( x , y ) 在 ( x , y ) 处都
可微，并且满足Cauchy-Riemann方程
u v u
v
 ,
 .
x y y
x
推论2.1：
u
v
f ( z ) 
i
x
x
注意：定理2.1中满足C-R方程仅仅是函数在一点可导的必要条件，
还需要函数U 和V在该点可微.
例 2 证明函数 f  z   xy 在点z=0满足C-R方程，但在点
z=0 不可导.
定理2.2
复变函数 f ( z )  u( x , y )  iv ( x , y )
在区域D内解析的充分必要条件是 u( x , y ), v ( x , y )
在区域 D 内可微, 且在D内满足C-R方程.
推论2.2：如果 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数
连续 (从而可微), 并且满足C-R方程, 则函数f (z)
在区域D解析.
说明：
在讨论函数 f  z   u  x, y   iv  x, y  的极限与连续问题时，
等价于讨论两个二元实变函数的极限与连续问题，对U和V
之间的关系没有任何要求. 但在讨论可导与解析性时，即使
U和V均可导，f(z)也未必可导当然更未必解析。需要考虑C-R.
解析函数的判定方法:
(1) 如果能够用定义、求导公式或求导法则验证复变
函f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接断定f (z)
在区域D内解析.
(2) 验证U和V是否满足C-R方程，以及U和V是否可微.
例3 判断下列函数的可导性与解析性.
1 f  z   z Re(z);
(2) g  z   z z 2 .
x
f
(
z
)

e
(cos y  i sin y )
例4 证明函数
是复平面C上的解析函数，且 f ( z )  f ( z ).
例5
如果 f ( z ) 在区域D内处处为零,
则f (z)在区域D内为常数.
f ( z ) 
u
v v
u
i

i
x
x y
y
定理：设f(z)= U(x,y)+iV(x,y)在D内解析，并满足下列条件之一，
则 f(z)在区域D内恒为常数.
(1) f(z)在区域D内恒取实值；
(2) f  z  在D内解析；
(3) f  z  在D内是一个常数；
(4)argf(z)在D内是一个常数；
(5)au+bv=c,其中a，b与c为不全为0的实常数.
课堂练习
Ex1.
2
2
f
(
z
)

x

y
 2 xyi , 问f ( z )
设
在何处可微? 是否解析?
2
2
2
2
f
(
z
)

x

axy

by

i
(
cx

dxy

y
),
Ex3. 设
其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z)
在复平面上解析.