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第二章 解析函数
--------复变函数研究的主要内容
§2.1 函数解析性的概念及其判定
§2.2 复变初等函数
1.导数定义:
y
f ( x0 x ) f ( x0 )
lim
lim
x 0 x
x 0
x
f ( x0 ) lim
x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0 )
f ( x ) f ( x0 )
lim
x x0
x
x x0
f ( x0 x ) f x0
x
f x0 x
f ( x0 x) f x0 f x0 x x x
2.可导与连续的关系:
可导
连续
3.微分定义:
若
f ( x0 x ) f ( x0 ) ax o(x ),
则称 f ( x )
在 x0 点可微,ax 称为 f ( x ) 在 x0 点的微分.
记为
dy ax
f ( x0 x ) f ( x 0 )
a lim
x0
f
x 0
x
f ( x0 x ) f ( x 0 )
x
f x0
x
4.导数与微分的关系:
可微
可导
dy f ( x 0 )dx
5.二元函数微分的定义:
设 z f x, y 在 U x0 , y0 内有定义,且 x , y
x0 x, y0 y U x0 , y0
若 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) a1x a2 y o( )
则称 z f x, y 在 x0 , y0 处可微.
z
z
a1
, a2
x0 , y0
x
y x0 , y0
第一节 函数解析性的概念及其判定
1.1 复变函数的导数与微分
定义2.1(复变函数的导数)
设函数w=f(z)定义于区域 D C , 点 z0 , z0 z D.
若极限
lim
z 0
f ( z 0 z ) f ( z 0 )
f ( z ) f ( z0 )
= lim
z z0
z
z z0
存在,则称 f ( z ) 在 z z0点可导, 并把这个极
限值称为 f ( z ) 在 z z0 点的导数,记做
dw
f z0
dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 )
lim
z 0
z
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内
可导.
注意:趋近方式的任意性
复变函数的微分 设函数w=f(z)在 z0 D 可导,令
f ( z 0 z ) f ( z 0 )
f z0
令 z
z
则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f z0 z + z z
其中, lim z 0
z 0
此时,把 w 的线性部分 f z0 z 称为函数w=f(z)在 z 0
处的微分,记作
dw f z0 z
若函数w=f(z)在z0的微分存在,则称函数在z0可微.
可微与连续的关系 连续是可导(可微)的必要而非充分条件.
可微与可导的关系 函数在一点可微与在一点可导是等价的.
若函数f(z)在区域D内处处可微,则称函数在D内可微.
2
f
(
z
)
z
, 则 f ( z ) 在复平面内
例1 设
处处可导,且 f ( z ) 2 z .
例2
证明
f ( z ) z 在复面内处处
连续,但处处不可微.
结论:
对于一个复变函数,即使实部和虚部都可微,但也可能
处处不可微。
求导公式与法则:
(1) (c ) 0, 其中c为复常数.
(2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数.
(3)
(4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f (z)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
(5)
, ( g( z ) 0).
2
g (z)
g( z )
(6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ), 其中 w g ( z ).
1
(7) f ( z )
, 其中 w f ( z ) 与 z ( w )
( w )
是两个互为反函数的单值函数, 且 ( w ) 0.
1.2 解析函数的概念
定义2.2 设 f z 在区域D有定义.
(1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域,使得
f ( z ) 在此邻域内处处可导, 则称 f ( z ) 在 z0 处解析.
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点.
(2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析,则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
若f(z)在 z 0 不解析,则称为f(z) 的奇点.
注意:函数在一点解析与在一点可导不等价.
函数在区域内解析与在区域内可导等价. 解析要求高.
思考题:
(1)有没有这样一个函数,只在一点解析,而在这点的
邻域内不解析?
(2)闭区域解析与闭区域可导是否等价?
(3)如果函数 f(z) 在曲线C上可导,是否在该曲线上解析?
结论:设函数 f ( z ), g ( z )在区域D内解析, 则
f z
f ( z ) g( z ), f ( z ) g( z ),
(除去分母为0的点)
g z
在区域D内解析。
特别地,
(1)多项式P(z)在全平面内解析.
(2)有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析.
例 1 研究下列函数的解析性.
1 f z z 2 ;
2 g z 2 x yi;
1
3
z
;
z
4 h z z .
2
1.3 判定函数解析的方法
定理2.1 复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在点 z x iy 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要
条件是二元函数 u( x , y ), v ( x , y ) 在 ( x , y ) 处都
可微,并且满足Cauchy-Riemann方程
u v u
v
,
.
x y y
x
推论2.1:
u
v
f ( z )
i
x
x
注意:定理2.1中满足C-R方程仅仅是函数在一点可导的必要条件,
还需要函数U 和V在该点可微.
例 2 证明函数 f z xy 在点z=0满足C-R方程,但在点
z=0 不可导.
定理2.2
复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在区域D内解析的充分必要条件是 u( x , y ), v ( x , y )
在区域 D 内可微, 且在D内满足C-R方程.
推论2.2:如果 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数
连续 (从而可微), 并且满足C-R方程, 则函数f (z)
在区域D解析.
说明:
在讨论函数 f z u x, y iv x, y 的极限与连续问题时,
等价于讨论两个二元实变函数的极限与连续问题,对U和V
之间的关系没有任何要求. 但在讨论可导与解析性时,即使
U和V均可导,f(z)也未必可导当然更未必解析。需要考虑C-R.
解析函数的判定方法:
(1) 如果能够用定义、求导公式或求导法则验证复变
函f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接断定f (z)
在区域D内解析.
(2) 验证U和V是否满足C-R方程,以及U和V是否可微.
例3 判断下列函数的可导性与解析性.
1 f z z Re(z);
(2) g z z z 2 .
x
f
(
z
)
e
(cos y i sin y )
例4 证明函数
是复平面C上的解析函数,且 f ( z ) f ( z ).
例5
如果 f ( z ) 在区域D内处处为零,
则f (z)在区域D内为常数.
f ( z )
u
v v
u
i
i
x
x y
y
定理:设f(z)= U(x,y)+iV(x,y)在D内解析,并满足下列条件之一,
则 f(z)在区域D内恒为常数.
(1) f(z)在区域D内恒取实值;
(2) f z 在D内解析;
(3) f z 在D内是一个常数;
(4)argf(z)在D内是一个常数;
(5)au+bv=c,其中a,b与c为不全为0的实常数.
课堂练习
Ex1.
2
2
f
(
z
)
x
y
2 xyi , 问f ( z )
设
在何处可微? 是否解析?
2
2
2
2
f
(
z
)
x
axy
by
i
(
cx
dxy
y
),
Ex3. 设
其中 a, b, c, d是常数,问它们取何值时, 函数 f (z)
在复平面上解析.