Transcript 第二章 解析函数
复变函数论
主讲:王明华
第二章 解析函数
§1:解析函数的概念与C-R方程
§3:初等多值函数
1、复变函数的导数与微分
1、根式函数
2、Cauchy-Rieman方程
2、对数函数
3、解析函数概念
3、一般幂函数与一般指数函数
4、解析函数简单性质
§2:初等解析函数
1、指数函数
2、三角函数与双曲函数
4、反三角函数
5、具有多个有限支点的情形
§1 解析函数的概念与C-R方程
1、复变函数的导数与微分
定义1:设 w f (z ) 是在区域D内确定的单值函数,并且,z0 D。如果极限
lim
z z 0 , zD
f ( z ) f ( z0 )
z z0
存在,为复数a,则称 f (z ) 在 z0 处可导或可微,极限 a称为 f (z )
df
dw
在 z0 处的导数(微商),记作 f ' ( z0 ),或 dz
注1:
z z0
或 dz
。
z z0
z z0 的方式是任意的
'
注2: 若 w f (z ) 在z处可导,则 f z dz 为w
即 dw df z f ' z dz 。
注3: w f (z ) 在z处可微
f (z ) 在z处的微分。记为 dw, df z
w f (z ) 在z处连续,但反之不成立。
在复变函数中,处处连续但处处不可微的函数是随手可得,而实函数则不然。
定义2:若 w f (z ) 在D内处处可微,则 w f (z ) 在D内可微。
例1:讨论 f z Re z 在z平面的连续性与可微性。
解:显然 f z Re z x 在 z 平面处处连续。但是
由于
f z z f z
f
x
z
z
x iy
f
f
f
lim
1, lim
0
lim
z 0 z
z 0 z
,故
不存在,从而 f
z 0
y 0
x 0
z
例2:证明w z n
n
dz
在 z 平面可微,且
n
dz
nz n1
z Re z 在 z
平面处处不可微。
。
证明:(略)
2、Cauchy-Rieman方程
定理1(可微的必要条件):若 f z u x, y iv x, y 在
1) u x , u y , vx , v y 在 x, y 存在
z x iy处可微,则
2) u , v 在 x, y 满足:u x v y , u y vx ——Cauchy-Rieman方程
证明:(略)
'
注4:若 f z 可导,则 f z ux ivx vy iu y
注5:C –R方程是可微的必要条件,而非充分条件。(P53,例2.6)
定理2(可微的充要条件):若 f z u x, y iv x, y 在 z x iy 处可微
u , v 在 x, y 可微且满足C –R方程。
证明:(必要性)设 f (z ) 在 z x iy D 有导数 a ib ,根据导数的定义,当
z z D 时( z 0)
f ( z z ) f ( z ) z o(| z |) (a ib )( x iy ) o(| z |)
其中,z x iy 。比较上式的实部与虚部,得
u ( x x, y y ) u ( x, y ) ax by o(| z |)
v( x x, y y ) v( x, y ) bx ay o(| z |)
因此,由实变二元函数的可微性定义知,u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微,并且有
u
x
a,
u
y
因此,柯西-黎曼方程成立。
b, vx b, yv a
(充分性)设u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微,并且有柯西-黎曼方程成立:
u
x
设
u
x
v
y
u
y
v
x
a, vx b, 则由可微性的定义,有:
u ( x x, y y ) u ( x, y ) ax by o(| z |)
v( x x, y y ) v( x, y ) bx ay o(| z |)
令z x iy,当 z z D (z 0) 时,有
f ( z z ) f ( z ) z o(| z |) (a ib )( x iy ) o(| z |)
令 a ib ,则有
lim
z 0
f ( z z ) f ( z )
o(| z |)
lim (
)
z 0
z
z
所以, f z 在点 z x iy D 可微的。
推论(可微的充分条件):设 f z u x, y iv x, y 在 z x iy 处满足
1)
u x , u y , vx , v y 在 x, y 连续
2) u , v 在 x, y 满足C –R方程。
则
f z u x, y iv x, y 在
z x iy 处可微
例3:证明 xy 在 z 0 满足C –R方程,但不可微。
证明:(略)
3、解析函数概念
定义3:若 w f (z ) 在区域D内可微,则称 f z 为区域D内的解析函数,或称 f z
在区域D内解析。
注6:解析函数与相伴区域密切联系的。
定义4:若 w f (z ) 在 z0 的某领域内解析,则称 f z 在 z0 解析。
注7:函数在区域内解析与可微等价,而在一点解析要比在一点可微强的多。
注8: f z 在闭区域 D上解析是指 f z 在包含D 的某区域解析。
定义5:若 f z 在 z0 不解析,但在 z0 的任一领域内总有 f z 的解析点,则
z0 为 f z 的奇点。
4、解析函数简单性质
定理3:若 f z , g z 在区域D内解析,则 f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z ), f ( z ) / g ( z )
(分母不为零)也在区域D内解析,且有
( f ( z ) g ( z ))' f ' ( z ) g ' ( z )
[ f ( z ) g ( z )]' f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z )
f (z)
g(z)
'
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z )
定理4:(复合求导法则):设
[ g ( z )]2
w F ( )
f (z ) 在z平面上的区域D内解析,
在 平面上的区域D1内解析,而且当 z D 时, f ( z) D1,那么复合
函数w F [ f ( z )] 在D内解析,并且有
dF[ f ( z )] dF ( ) df ( z )
dz
d
dz
定理5:设函数 f z u x, y iv x, y 在区域D内解析 u , v在D内可微,且
u , v 满足C-R方程。
推论:若 f z u x, y iv x, y 在区域D内满足
1)
u x , u y , vx , v y 在区域D内连续;
2) u , v在区域D内满足C –R方程。
则 f z 在区域D内解析。
例4:讨论下列函数的解析性
n
1)P( z) a0 a1z ... an z an 0
P( z ) a0 a1 z ... an z n
2) Q z b b z ... b z m an 0, bm 0
0
1
m
3) f z ex cos y i sin y
2
4) f z x iy
注9:判别函数解析的方法
1)定义;2)运算法则;3)C –R条件
例5:若 f ' z 0, z D ,则 f z c 常数
证明:因为 f ' z ux ivx vy iu y ,所以 u x u y 0, vx v y 0 ,从而
u x, y , v x, y 在D内为常数,故 f z 为常数。
例6:若 f z 在区域D内解析且非常数,则 f z 在D内不解析。
证明:(略)。
§2 初等解析函数
1、指数函数
1.1 定义
z
x
z
定义:对复数 z x iy,如下定义指数函数 e :e e cos y i sin y
1.2 性质
z
z
x
z
1) e 0; e e , arg e y
'
z
2) e 在全平面解析,且 e z e z
z1 z2
e e ,e
3) 加法定理成立即 e
z
4) e 是以 2 i 为周期的周期函数
z1
z2
z1 z2
e z1
z2
e
e z 不存在。
5) lim
z
注1:定义中令 x 0 得到欧拉公式:eiy cos y i sin y
注2: ez
1
ez2 z1 z2 2k i; k 1, 2
2、三角函数与双曲函数
2.1 定义
定义2:对复数 z x iy,如下定义正弦函数sin z 、余弦函数 cos z
eiz eiz
eiz eiz
sin z
, cos z
2i
2
注3:合理性:因为 e
iy
cos z
eiy eiy
2
cos y i sin y ,e
iy
eiy eiy
,
cos y i sin y,所以 sin y
2i
。
2.2 性质
'
1)、 sin z ,cos z 在全平面解析,且有 sin z cos z , cos z sin z ;
2)、 sin z 为奇函数,cos z 为偶函数。且遵从三角恒等式;
'
3)、 sin z ,cos z 以 2 为周期;
4)、 sin z 以 z n , n 0, 1 为零点,cos z 以 z n 2 , n 0, 1 为零点。
5)、 sin z ,cos z 可大于1,且可趋于无穷大(分析中 sin x 1 cos x 1)
注4:规定:tan z
sin z
cos z
1
1
;cot z
,sec z
, csc z
cos z
sin z
cos z
sin z
e z e z
e z e z
sinh z
注5:规定:sinh z 2 , cosh z 2 , tanh z cosh z
coth z
cosh z
1
1
,sec hz
, csc hz
sinh z
cosh z
sinh z
注6:由定义2有:eiz cos z i sin z(Euler公式推广)
例:求 sin 1 2i 的值 。
解:
ei1 2i e i1 2i e 2i e 2i e
sin 1 2i
2i
2i
2
cos1 i sin1 e2 cos1 i sin1
2i
e2 e2
e2 e2
sin1 i
cos1 cosh 2sin1 i sinh 2cos1
2
2
§3
初等多值函数
I.预备知识
定义1:设 w f z , z D。若 z1 , z2 D, z1 z2 ,有 f z1 f z2 。则称
w f z 在D内是单叶的,D称为 f z 的单叶性区域。若z1 , z2 D, z1 z2 ,
但 f z1 f z2 ,则称 w f z 在D内是多叶的。
II.要求掌握
1)、多叶函数与多值函数的关系
2)、函数产生多值的原因
3)、如何从多值函数分出单值分支
1、根式函数
根式函数 w n z为幂函数的 z w 的反函数。
n
1.1 幂函数的影射性质及单叶性区域
1) z w :在w 平面单值解析,把扩充 w 平面变成扩充z平面,是多叶的;
n
2)w z :w z n z e
n
n
i
arg z 2 k
n
, k 0,1,
n 1 在z平面多值(n值);
(每一 z 0 ,对应于w平面上的n个点,分布在原点为心的正n角形顶点上);
n
n
i
i
3) z w :令 z re , w e ,则 r , n (见课本P45)
2
2 k
2 k
,
所以 z w 把w 平面夹角为 n 的角形区域 k :
n
n
n
n
k 0,1, n 1 变成z平面出去原点和负实轴的区域。 ……………(*)
n
注:(*)是 z w 的单叶性区域的一种分法,一般,以原点为顶点,夹角不超过
n
2
n
的角形区域均是 z w 的单叶性区域。
n
1.2 分出 w n z 的单值解析分支
w n z n ze
i
arg z 2 k
n
, k 0,1,
n 1
w n z 出现多值的原因是由于z给定后,Argz 不唯一确定
1) 在几何上:在z平面从原点0到 任引一无界简单曲线将z平面割破,
记此区域为G,在G内可得 w n z 的几个连续单值分支:
wk
z
n
ze
n
i
arg z 2 k
n
k
2) 代数上:
w z
n
n
ze
i
arg z 2 k
n
, k 0,1,
, k 0,1,
n 1 , z G
n 1
指定Argz ,因而指定数k,从而确定出 w n z 的连续单值分支。由于k取
0,1,
n 1后,其余的结果与前重复,故可确定几个连续单值分支。
注1: d
z
n
dz
k
1
n
z
n
z
k
, z G
1.3 w n z 的支点及其割线
(图见课本P68)
定义2:若动点 z 绕 a 一周后,多值函数从一支变到另一支,即动点回到原来
位置时,函数值与原值不同,则称 a 为此多值函数的支点。
定义3:用来割破 z 平面,借以分出多值函数的单值分支的割线,称为多值函数
的支割线。
注2: w n z 以 0 , 为支点。
注3:若取负实轴为支割线,而得出w n z 不同的单值分支,对其中
w0
z
n
0
n
ze
i
arg z
n
arg z 为其主值支。
注4:一般割线分为两岸,每一单值分支在两岸取值不同。
如 w n z 的主值支,上岸的点 z x x 0的辅角为,下岸的点 z x x 0
的辅角为
注5:w n z 表示多值函数的总体,有时也用来表示某一特定分支。
例1:设w 3 z 定义在沿负实轴割破 z 平面上,且w i i, 求w i .
解:w
3
z
3
ze
i
arg z 2 k
3
arg z
, k 0,1, 2 ,
1)由 w i i, 确定 w 3 z是哪一支
w i 3 i 3 i e
i
arg i 2 k
3
ik 2
2)求 w i
w i 3 i
3
i e
i
arg i 2 k
3
e
4
i 2
3
3 i
2
2、对数函数
2.1 定义
w
定义4:规定对数函数w L n z 为指数函数 z e z 0, 的反函数。
i
i
u iv
u iv
注1:令z re ,w u iv ,则 re e e e ,从而
u ln r v 2k ,k 0, 1, 。所以 Lnz ln r i 2k , k 0, 1,
即
Lnz ln z i arg z 2k ln z iArgz, k 0, 1,
注2: ln z ln z i arg z, arg z ------Lnz 的主值支;
故
Lnz ln z i2k
k 0, 1,
注3:若 a 0,则 Lna ln a i 2k , Ln a ln a i 2k , k 0, 1,
2.2 性质
1) w L n z 多值(无穷多值)
2)负数有对数
z
3) L n z1 z2 Lnz1 Lnz2 ; Ln z1 Lnz1 Lnz2
2
2.3 指数函数的映射性质及单叶性区域
(图见课本P76)
一般,z e 把宽为 2 的带形区域 Bk : 2k 2k , k 0, 1,
w
变成
z 平面除去原点和负实轴的区域。
注4:宽不超过 2 的带形区域均是 z e w的单叶区域,Bk : 2k 2k ,
k 0, 1, 是单叶区域的一种分法。
2.4 分出 w L n z 的单值解析分支
w Lnz ln z i arg z 2k , k 0, 1,
wk Lnk z ln z i arg z 2k , k 0, 1,
出现多值的原因是由于 z 给定后,Argz不唯一确定。
1)从几何上:在 z 平面从原点 o 到 任引一条无界简单曲线将 z平面割破(一
般割破负实轴),记此区域为G,则在G上可以分出 Lnz 的无穷多个不同的连续
单值分支。
2)代数上:指定 Argz ,即指定 k
d
1
注5: wk Lnk z 在G内解析,且 dz Lnk z z , z G, k 0, 1,
注6:以0, 为支点,支割线为连接 o和 任一条无界简单曲线
3、一般幂函数与一般指数函数
3.1 一般幂函数
定义5:对复数 z z 0, ,如下定义一般幂函数:w z a eaLnz a 0, 的复常数
性质:
1)a为整数时,z a是单值的;
2)a为有理数时,即 a 既约分数 z a 是p值的;
q
p
3)a为无理数或虚数时,z a是无穷多值的;
4) z a是多值时,其单值解析分支方法与 Lnz 相同,且仍以 z 0, 为支点,
dz a
a 1
且 dz az (对单值分支)。
3.2一般指数函数
z
zLna
定义6:对复数 z z 0, ,如下定义一般指数函数:w a e a 0, 的复常数
注7:w a 是无穷多个独立,在 z 平面单值解析的函数。
z
例1:求 21i
解:
21i e
1i Ln 2
e
1i ln 2i 2 k
e
ln 22 k i ln 2 2 k
eln 22k cosln 2 i sin ln 2 , k 0, 1,
4、反三角函数
定义7:规定反正弦函数 w Arc sin z为正弦函数 z sin w 的反函数。
eiw eiw i 2 w
, e 2izeiw 1 0
注8:因为 z sin w ,有z
2i
解出 eiw iz
所以 w i Ln iz
1
例2:求 Arc tan 2i
1 z 2 ,iw Ln iz 1 z 2
1 z2
例3:Bernoulli诡论:z 0, 有 Ln z Ln z
2
2
2
证明:因为1) z z 2 ,2)Ln z Lnz ,3)Ln z Ln z Lnz Lnz
4) 2Ln z 2Lnz ;5)Ln z ln z。
说明:由3)不能推出4): 2 Lnz Lnz Lnz , Lnz Lnz 2Lnz
5、具有多个有限支点的情形
例4:试证 f z 3 z 1 z 在将z平面适当割开后能分出三个单值解析分支,并求出在
z 2 取负值的解析分支在 z i 的值。
例5:作出一个含 i 的区域,使得函数
w z( z z)( z 2)
在这个区域内可以分解成解析分支;求一个分支在 i 点的值。
解:由于
1
2
w | z ( z 1)( z 2) | e
i
[ Argz Arg ( z 1) Arg ( z 2)]
2
1
2
我们先求函数w的支点。因为 z 的支点是0及无穷远点,所以函数w可能的
支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线C,使其不经过0、 1、2,
并使其内区域含0,但不包含1及2。设 z1是C上一点,我们确定Argz、Arg(z-1)
及Arg(z-2)在这点的值分别为 arg z1, arg( z1 1), arg( z1 2)。当z从 z1 按反时针方向
沿C连续变动一周时,通过连续变动可以看到,arg z1 增加了2 ,而
arg( z1 1), arg( z1 2) 没有变化,于是w在
z1的值就从
1
2
| z1 ( z1 1)( z1 2) | e
i
[arg z1 arg( z1 1)arg( z1 2)]
2
w1
连续变动到
1
2
| z1 ( z1 1)( z1 2) | e
i
[arg z1 2 arg( z1 1)arg( z1 2)]
2
因此0是函数w的一个支点;
w1
同时,任作一条简单连续闭曲线C,使其不经过0、1、2,并使其内区域含1,但
不包含0及2。设 z1 是C上一点,我们确定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在这点的值分别为
arg z1, arg( z1 1), arg( z1 2) 。当z从 z 按反时针方向沿C连续变动一周时,通过连续变动
1
可以看到,arg( z1 1) 增加了2 ,而 arg z1, arg( z1 2)
没有变化,于是w在 z1 的值就从
1
2
| z1 ( z1 1)( z1 2) | e
连续变动到
1
2
| z1 ( z1 1)( z1 2) | e
i
[arg z1 arg( z1 1)arg( z1 2)]
2
w1
i
[arg z1 arg( z1 1)2 arg( z1 2 )]
2
w1
因此,1也是函数w的一个支点;
同理,2和无穷远点也是它的支点。
支点确定后,我们作区域,把函数分解成单值解析分支。
首先,在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为
割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如可取 [0,) 作为复平面上这样
的割线,得区域D。
其次,任作作一条简单连续闭曲线 C1 ,使其不经过0、1、2,并使其内区域包含
这三个点中的两个,但不包含另外一点。设 z2 是C1 上一点,确定w在 z2 的一个值,
同样的讨论,有当z从 z2 沿 C1 连续变化一周回到 z2 时,连续变化而得的值没有变化。
所以,我们可以作为割线如下,取线段[0,1]及从2出发且不与[0,1]相交的射线为
割线,也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内,可以把w分解成连续分支。
例如可取[0,1]及 [2,) 作为复平面上的割线,得区域 D1 。
求w在上述区域中的一个解析分支
w z( z z)( z 2) (w(1) 6i)
在z=i的值。
在z=-1,取
arg z , arg( z 1) , arg( z 2) ,
于是在D或 D1 内,w可以分解成两个解析分支
1
2
i
[arg z arg( z 1) arg( z 2 ) 2 k ]
2
1
2
i
[arg z arg( z 1) arg( z 2 )] ki
2
w | z ( z 1)( z 2) | e
| z ( z 1)( z 2) | e
(k 0,1)
由于所求的分支在z=-1的值为 6i ,可见这个分支是
1
2
w | z( z 1)( z 2) | e
i
[arg z arg( z 1)arg( z 2)]
2
由下图可以得到,在D或 D1 内z=i处,
3
,
2
4
1
arg( z 2) arctan ,
2
因此w的所求分支在 z=i 的值是
arg z
10e
4
, arg( z 1)
i
1
( arctan )
2 4
2
10e
4
i
1
arctan
2
3
本章《完》