Transcript 在实变函数中不管是一元还是多元，都是先介绍初等函数

第二节 复变初等函数
在实变函数中不管是一元还是多元，都是先介绍初等函数，
再介绍其连续性和可导性。为什么复变中先处理完导数和解析性
之后再介绍初等函数呢?同学们在学习中如果能带这问题来体会，
就会明白为什么要这样。
定义复变初等函数是一个创造性的工作，什么叫复指数函数，
什么叫做复对数函数？这里既要继承指数函数和对数函数中最本
质的东西，又要把实变的东西在复变中加以推广，实现起来是需
要一定的基础和技巧的。
因此，将实变函数中的初等函数推广到复变函数，应把实变
函数的本质特性作为推广的基础,这样使推广具有了目标和方向。
2.1 指数函数
复习：f  x   e x 满足下列条件：
（1）在整个实数集内可导；（2） e x   e x .
1.指数函数的定义当函数f(z)在复平面内满足以下条件：
(1) f(z)在复平面内处处解析；
(2) f   z   f  z  ;
(3) 当Im(z)=0时，f(z)=ex,其中x=Re(z).
x
此函数称为复数z的指数函数，记为 exp z  e  cos y  i sin y 
指数函数的定义等价于关系式：

 其中k为任意整数
Arg  z   y  2k 
exp z  e x
注意： e z 没有乘幂的含义，只是一个记号.
exp z  e z
2.指数函数的性质：
(1) e z是单值函数.
(2) e z1  z2  e z1  e z2 , 从而 (e z )n  e nz , 其中n正整数;
(3) e  0, 当 Im( z )  0 时, f ( z )  e , 其中 x  Re( z );
x
z
(4 e z 是周期函数, 其周期是 T  2n i , n非零整数,
)
z  2 n i
 ez;
即e
(5 e z  1 的充分必要条件是 z  2n i , n为整数.
1
)


1 2 z
z
z
例1 设 z  x  iy , 求(1) e ;(2) e ;(3) Re  e 
2

例2
例3

z
求 exp(e )的实部与虚部.
求下列复数的幅角主值：1 e ;  2 e
2 i
3 4 i
.
2.2 对数函数
指数函数的反函数称为对数函数.
1.对数函数的定
w
义
即把满足方程 e  z ( z  0) 的函数 w  f ( z ) 称
为z的对数函数，记作 w  Lnz .
i
w
w

u

iv
,
z

re
,
e
令
则由  z ( z  0),
可以得到， u  ln z , v  Argz
w  ln z  iArgz  ln z  i (arg z  2k )
 k  0, 1, 2,  .
多值函数
若幅角取主值，且记 ln z  ln z  iargz 称为Lnz的主值
Lnz  ln z  2ik
 k  0, 1, 2,  .
对于每个固定的k，上式确定一个单值函数，称为Lnz的一个分支.
z  x  0 时，就是实变对数函数.
例 4 求Ln2,Ln(-1)以及与它们相应的主值.
2.对数函数的性质：
 1 Ln( z1 z2 )  Lnz1  Lnz2 ,
是集合意义下的相等
Ln( z12 )  Lnz1  Lnz2 ( z1 , z2  0, z1 , z2  ).
z
(2)Lnz的各个分支在除去原点与负实轴的复平面内处处连续、
处处解析.且
1
1


 Lnz   ,  ln z  
z
z
注意：
（1）在实变函数中，负数不存在对数；但在复变函数中，
负数的对数是有意义的；复变中正实数的对数也是
无穷多值的；
 2
Lnz  nLnz
n
Ln n z 
1
Lnz
n
如z=-1,n=2
注意：既要注意到复变是实变的推广，继承了实函中非常多重要的运算性质，
但也有一些性质不能保持成立，就需要认真的体会，不要搞乱了。
例5
求 L n[( 1  i )(1  i )] 的值.
2.3 乘幂与幂函数
1.乘幂的定义
b
设a为非0复数，b为任意一个复数，乘幂 a 定义为 e bLna
即
a b  e bLna
具有q个不同的值.
特殊情况：
1）当b=n(n为正整数)时
a e
n
nLna
e
Lna  Lna  Lna
e
Lna
e
Lna
e
Lna
 aa
2）当b=1/n(n为正整数)时
(其中，k=0,1,2……,n-1)
zb
例6
a
2.幂函数的解析性
n 
z
   nz n1
(1)幂函数zn在复平面内是单值解析的，且
(2)幂函数z1/n是多值函数，具有n个分支. 它的各个分支在除去
原点和负实轴的复平面内是解析的，且
 n1 
z  
 

1
  n Lnz 
z  e



 
n
e
1
Lnz
n
1 1 1
   z
n z n
1
1
n
它的各个分支在除去
原点和负实轴的复平面内是处处解析的.
 z   bz
b
b 1
2.4 三角函数与双曲函数
1.三角函数的定义
iz
 iz
e e
; 偶函数
余弦函数 cos z 
2
e e
sin z 
2i
iz
正弦函数
 iz
; 奇函数

周期函数，周期为 2
正弦函数和余弦函数在复平面内是解析函数，且
 sin z   cos z,  cos z    sin z
(2)当z为纯虚数yi时，
e y  e y
cos yi 
2
e y  e y
sin yi 
2i
注意：这一点是与实变函数完全不同的.
例7
解方程
sin( iz )  i .
2.其他复变三角函数的定义
与sinz和cosz类似，可以讨论它们的周期性、奇偶性和解析性.
3.双曲函数的定义
e z  e z
chz 
2
e z  e z
shz 
2
e z  e z
thz  z
e  e z
4.双曲函数的性质
（1）
（2） (shz )  chz ,
(chz )  shz .
（3） cos iy  chy,
sin iy  ishy
cos  x  iy   cos xchy  i sin xshy 


sin  x  iy   sin xchy  i cos xshy 


chiy  cos y,
shiy  isiniy

ch  x  iy   chx cos y  ishx sin y 

sh  x  iy   shx cos y  ichx sin y 
2.5 反三角函数与反双曲函数
1.反三角函数的定义
记作

w  Arc cos z  iLn z  z 2  1

Arcsinz  iLn iz  1  z 2

w  Arc cos z

i
1+iz
Arctanz   Ln
2
1-iz
2.反双曲函数的定义

Arcchz  Ln  z 

z  1
Arcshz  Ln z  z 2  1
1 1+z
Arcthz  Ln
2
1-z
2
均是多值函数