Transcript 3.2 柯西积分定理

第二节 柯西积分定理
• 一、单连通区域的柯西积分定理
• 二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式
• 三、多连通区域上的柯西积分定理
一、单连通区域的柯西积分定理
1. 问题的提出
观察上节例1,
被积函数 f ( z )  z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关.
1
,
观察上节例2, 被积函数当 n  1 时为
z  z0
它在以 z0 为中心的圆周C 的内部不是处处解析的,
此时 
c
1
dz  2i  0.
z  z0
虽然在除去 z0 的 C 的内部函数处处解析,
但此区域已不是单连通域.
考虑被积函数 f ( z)  z  x  iy,
由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内
处处不解析.
此时积分值  zdz 与路线有关.
c
由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可
能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.
2. 单连通区域的柯西积分定理
定理3.2.1(Cauchy积分定理) 设f ( z )是单连通区域D
内的解析函数，且f ' ( z )在D内连续. 若L是D内任一条
简单闭曲线，取反时针方向，则

L
f ( z )dz＝0.
证 设L所围成的区域为G. 由于f ( z )＝u( x, y)  iv( x, y)
在单连通区域D内解析，且f ' ( z )在D内连续.
所以在闭区域G上，ux , u y , vx , v y都连续，且满足
C.  R.条件：ux＝v y，u y＝－vx ,
因此，
 udx  vdy＝ (v
L
x
 u y )dxdy  0,
G
 vdx  udy＝ (u
L
x
 v y )dxdy  0,
G
故

L
f ( z )dz＝ udx  vdy  i  vdx  udy＝0.
L
L
注：定理3.2.1是Cauchy于1825年建立的积分定理.
在定理中, 除假设f ( z )在D内的解析函数外, 还要
假设f ' ( z )在D内连续.
Gousat于1900年改进了Cauchy的证明，去掉f ' ( z )
在D内连续的假设, 得到Cauchy－Gousat积分定理.
定理3.2.2(Cauchy－Goursat积分定理) 设f ( z )是
单连通区域D内的解析函数. 若L是D内任一条简单
闭曲线，取反时针方向，则

L
Goursat
f ( z )dz＝0.
例1 计算积分
 z 1
1
dz .
2z  3
1
3
在 G : z  内解析,
解 函数
2z  3
2
| z | 1是 G 内的一条简单闭曲线,
根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理, 有
 z 1
1
dz  0.
2z  3
ze z
dz.
例2 计算I  
| z| 1 z 2  2
ze z
在 G :| z | 2内解析，
解 因为 2
z 2
z | 1是 G 内的一条简单闭曲线,
根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理, 有
ze z
I 
dz＝0.
2
| z| 1 z  2
例3 计算积分

zi 
解
1
dz .
2
1 z ( z  1)
2
1
1 1 1
1 
  

,
2
z ( z  1) z 2  z  i z  i 
1
1
3
因为 和
都在 G : z  i  上解析,
z
z i
4
1
z  i  是 G 内的一条简单闭曲线,
2
根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理得
及上节例2知,

zi 

1
dz 
2
1 z ( z  1)
2

zi 
1

2
1
1
dz 
2
1z
2

zi 

zi 

zi 
1 1 
1 1 1

 
 dz
2z i 2zi
1 z
2
1
1
dz 
2
1zi
2

zi 
1
dz
1zi
2
0
1
1
dz    2i  i .
2
1zi
2
定理3.2.2' 设L是一条简单闭曲线, f ( z )在以L为
边界的有界闭区域上解析，则

L
f ( z )dz＝0.
定理3.2.3(推广的Cauchy积分定理) 设D是简单
闭曲线L所围成的区域. 若f ( z )在D上解析，在
D  D  L上连续, 则

L
f ( z )dz＝0.
定理3.2.4 设f ( z )在单连通区域D内解析，L是在D内
连接z0 及z两点的任一条简单曲线, 则沿L从z0到z的积分
的值由z0 及z所决定，而不依赖于曲线L。这时积分也
z
可记作 f ( )d .
z0
证 设L1是D内连接z0及z两点的另一条简单曲线, 如图
在D内作一条连接z0及z两点
的简单曲线L2 , 使得L2与L1及
L都不相交(端点除外),
则L  L2和L1  L2 都是单
连通区域D内的简单闭区域.
于是根据Cauchy  Goursat定理得,

L  L2


L1  L2

所以
即

L

L
f ( )d   f ( )d   f ( )d  0,
L
L2
f ( )d   f ( )d   f ( )d  0.
L1
L2
f ( )d   f ( )d   f ( )d ,
L2
L1
f ( )d只与z0及z有关, 而与路径L无关.
z
此时可将 f ( )d记为 f ( )d . 证毕.
L
z0
推论3.2.1 设f ( z )是单连通区域D内连续，且对D内
任一简单闭曲线L有

L
f ( z )dz  0,
L1是在D内连接z0 及z两点的任一条简单曲线, 则沿L1
从z0到z的积分的值由z0 及z所决定，而不依赖于曲线
L1。这时积分也可记作

z
z0
f ( )d .
二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式
1. 原函数
定义3.2.1 设f ( z )及F ( z )是区域D内确定的函数,
F ( z )是D内的解析函数，并且在D内有F ' ( z )  f ( z ),
则称F ( z )为f ( z )在区域D内的一个原函数.
注：
(1) f ( z)的任意两个原函数的差是一个常数；
(2) f ( z )为单连通区域D内的解析函数时，f ( z )
在D内具有原函数.
定理3.2.5 设f ( z )是单连通区域D内连续，且对D内
任意闭曲线L有

L
f ( z )dz＝0，
则f ( z )在D内有原函数.
证 取定z  D, z  D. 根据推论3.2.1知，
0
z
F ( z)   f ( )d .
z0
是在D内确定的一个函数. 下证F ' ( z)  f ( z), z  D.
任意取定z1  D，令L为D内连接z0与z1的一条简单曲线，
并取z  D与z1充分接近，记L1  L  z1z, 则
z
z1
z0
z0
F ( z)  F ( z1 )   f ( )d   f ( )d
  f ( )d   f ( )d   f ( )d ,
L1
L
z1 z
f ( )  f ( z1 ) d .

zz
于是F ( z )  F ( z1 )  ( z  z1 ) f ( z1 )  
1
因为f ( z)在z1处连续，
则  0,   0, 当z  D且 z  z1   时，有
f ( z )  f ( z1 )   .
因此当z  D且 z  z1  时有
f ( )  f ( z1 )  d 

zz
F ( z )  F ( z1 )  ( z  z1 ) f ( z1 ) ＝ 
1

z1 z
f ( )  f ( z1 ) d
   d   z  z1 ，
z1z
即当z  D且 z  z1  时有
F ( z )  F ( z1 )
 f ( z1 )  ，
z  z1
故
F ( z )  F ( z1 )
F ( z )  lim
 f ( z1 ).
z  z1
z  z1
而z1  D是任意的，得F ( z)为f ( z)在D内的一个原函数.
'
推论3.2.2 设f ( z )是单连通区域D内解析，则f ( z )在D内
有原函数.
2. 牛顿－莱布尼兹公式
Newdon
Leibniz
定理3.2.6 设f ( z )是区域D内连续函数，且在D内有
原函数F ( z ). 若，  D，且L是D内连接 及的一条
光滑曲线或分段光滑曲线，则

L
f ( z )dz  F (  )  F ( ).
证 设L是光滑曲线z  z(t )(a  t  b), z (a)   , z (b)   , 则

L
f ( z)dz   F ( z(t ))z (t )dt  F ( z (t )) a
b
'
'
b
a
 F ( z(b))  F ( z (a))  F ( )  F ( ).
若L是分段光滑曲线，则可把积分分成几段计算，
再求和。
z1
例4
求  zdz 的值.
解
1 2
因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z ,
2
z0
由牛顿-莱布尼兹公式知,
z1
1 2
1 2
2
z
d
z

z

(
z

z
1
0 ).
z0
2 z0 2
z1
例5
i
求  z cos z 2dz 的值.
0
解 因为z cos z 2是解析函数，所以
i
0
1 i
z cos z dz   cos z 2dz 2
2 0
2
i
1
1
1
2
2
 sin(  )   sin  2 .
 sin z
2
2
2
0
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
i
例6 求  z cos zdz 的值.
0
解
i
i
0 z cos zdz  0 zd(sin z )
i
 [ z sin z ]   sin zdz
i
0
0
 [ z sin z  cos z ]0i  e 1  1.
此方法使用了微积分中“分部积分法”
例6
i
求  z cos zdz 的值.
0
另解 因为 z cos z 是解析函数,
它的一个原函数是 zsinz  cosz ,
由牛顿-莱布尼兹公式知,
i
0
z cos zdz  [ zsinz  cosz ]0i
 i sin i  cos i  1
e 1  e e 1  e
i

 1  e 1  1.
2i
2
三、多连通区域上的柯西积分定理
1. 问题的提出
实例 , 计算

z 1
1
dz.
z
因为 z  1 是包含 z  0 在内的闭曲线,
根据本章第一节例2可知,
1
 z 1 z dz  2 i.
由此希望将柯西积分定理推广到多连通域中.
2. 多连通区域上的柯西积分定理
设有n  1条简单闭曲线L0 , L1 ,
L1 ,
, Ln，其中曲线
, Ln中的每一条都在其余曲线的外部，但都在
L0的内部，曲线L0 及L1 ,
, Ln围成一个有界多连通
区域D.记区域D的全部边界为
L  L0  L1 
 L n , D  D
L.
边界L关于D的正向是指：沿L0按反时针方向，沿
L1 ,
, Ln按顺时针方向，即当点沿着L按所选定
的方向运动时，区域D附近总在它的左侧.
D
D
单连通区域
多连通区域
定理3.2.7(多连通区域上的柯西积分定理) 若f ( z )在
有界多连通区域D内解析，在D上连续，则

L
f ( z )dz＝0.
这里L是D的全部边界，积分沿着L的正向取的. 即

L
f ( z )dz＝ f ( z )dz＋ － f ( z )dz＋ ＋ － f ( z )dz＝0,
L0
L
L
1
n
或

L0
f ( z )dz＝ f ( z )dz＋ ＋ f ( z )dz.
L1
Ln
证
如右图， 用线段ab,
cd , ef 将L0 , L1 , L2连接起来,
得到两条闭合曲线
 : amfendcpba与
 ' : abp 'cdn'efm' a.
根据单连通区域上的柯西积分定理得,
 f ( z )dz  0,
所以

L

'
f ( z )dz  0,
f ( z )dz   f ( z )dz   ' f ( z )dz  0.


ez
例7 计算积分  L dz , L 为正向圆周 C1 : z  2 和负
z
y
向圆周C2 : z  1 所组成.
C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域,
C2
o
ez
函数
在此圆环域和其边界
z
上处处解析,
根据多连通区域上的柯西积分定理得

L
ez
dz  0.
z
1
2
x
例8 设a为有线条简单闭曲线所围成的多连通区域D
内一点，L为D的边界，则
n  1,
2 i,
dz
L ( z  a)n   0, n  1, n  .
证明
以a为心，充分小的r为半径作圆周L'，
使L'全含于L的内部，
根据多连通区域上的柯西积分定理得
n  1,
2 i,
dz
dz
L ( z  a)n =L' ( z  a)n   0, n  1, n  .
2z 1
dz, L 为包含圆周 z  1
例9 计算积分  L 2
z z
在内的任何正向简单闭曲线.
y
2z  1
解 因为函数 2
在复平面
z z
内有两个奇点z  0 和 z  1,
依题意知, L 也包含这两个奇点，
o

1

x
在L 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周
C1 和 C2 ,
C1 只包含奇点z  0,
C2 只包含奇点z  1,
根据多连通区域上的柯西积分定理得
y

L
2z 1
dz 
2
z z
2z  1
2z  1
C z 2  z dz  C z 2  z dz
1
2
1
1
1
1

dz   dz  
dz   dz
z 1
z
z 1
z
C1
C1
C2
C2
 0  2i  2i  0  4i .
C2
C1
o

1

x
Edouard Goursat
1858 - 1936
Edouard Goursat was a French
mathematician who is best known
for his version of the CauchyGoursat theorem stating that the
integral of a function round a
simple closed contour is zero if the
function is analytic inside the
contour.
Edouard Goursat
Sir Isaac Newton
1643 - 1727
Isaac Newton was the greatest
English mathematician of his
generation. He laid the foundation
for differential and integral
calculus. His work on optics and
gravitation make him one of the
greatest scientists the world has
known.
Sir Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
1646 - 1716
Gottfried Leibniz was a
German mathematician who
developed the present day
notation for the differential
and integral calculus though
he never thought of the
derivative as a limit. His
philosophy is also important
and he invented an early
calculating machine.
Gottfried Wilhelm
von Leibniz