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第八章 不定积分
习题课
一、主要内容
原
选
择
u
有
效
方
法
函
数
分部
积分法
不 定 积 分
积分法
第一换元法
第二换元法
直接
积分法
几种特殊类型
函数的积分
基
本
积
分
表
1、原函数
定义 如果在区间I 内,可导函数F ( x ) 的导函数为
f ( x ) , 即 x I , 都 有 F ( x ) f ( x ) 或
dF ( x ) f ( x )dx ,那么函数F ( x ) 就称为 f ( x ) 或
f ( x )dx 在区间I 内原函数.
I 内连续,那
原函数存在定理 如果函数 f ( x ) 在区间
么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ,使 x I ,都有
F ( x ) f ( x ) .
即:连续函数一定有原函数.
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内,函数 f ( x ) 的带有任意常数项
的原函数称为 f ( x ) 在区间I 内的不定积分,记
为 f ( x )dx .
f ( x )dx F ( x ) C
函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
f ( x )dx f ( x )
d[ f ( x )dx] f ( x )dx
F ( x )dx F ( x ) C
dF ( x ) F ( x ) C
d
dx
(3) 不定积分的性质
10
20
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
kf ( x )dx k f ( x )dx (k 是常数,k 0)
3、基本积分表
(1)
kdx kx C
( k 是常数)
(7)
sin xdx cos x C
1
dx
x
2
(
8
)
sec
xdx tan x C
( 2) x dx
C ( 1)
2
cos x
1
dx
dx
( 3) ln x C
(9) 2 csc2 xdx cot x C
x
sin x
1
( 4)
dx arctan x C
2
1 x
1
dx arcsin x C
2
1 x
( 5)
( 6)
cos xdx sin x C
(10)
sec x tan xdx sec x C
(11)
csc x cot xdx
(12)
x
x
e
dx
e
C
csc x C
x
a
C
(13) a x dx
ln a
(14)
shxdx chx C
(15)
ch xdx shx C
(16)
tan xdx ln cos x C
(17)
cot xdx ln sin x C
(18)
sec xdx ln(sec x tan x ) C
( 20)
1
1 xa
( 21) 2
dx ln
C
2
x a
2a x a
1
1 a x
( 22) 2
dx ln
C
2
a x
2a a x
( 23)
( 24)
(19)
csc xdx ln(csc x cot x ) C
1
1
x
dx
arctan
C
a2 x 2 a
a
1
x
dx arcsin C
2
2
a
a x
1
dx
2
2
x a
ln( x x 2 a 2 ) C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不
定积分的方法.
5、第一类换元法
定理 1 设 f (u) 具有原函数,u ( x ) 可导,
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式(凑微分法)
常见类型:
f (ln x )
3.
dx;
x
f ( x)
2.
dx;
x
1
f( )
4. 2x dx;
x
5. f (sin x ) cos xdx;
6. f (a x )a x dx;
1. f ( x
n1
n
) x dx;
2
7. f (tan x ) sec xdx;
f (arctan x )
8.
dx;
2
1 x
6、第二类换元法
定理
设 x (t ) 是单调的、可导的函数,并
且 ( t ) 0 ,又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数,
则有换元公式
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
t ( x )
第二类换元公式
其中 ( x ) 是 x (t ) 的反函数.
常用代换:
1. x (at b) , R.
2.三角函数代换
如f ( x ) a 2 x 2 , 令x a sin t .
3.双曲函数代换
如f ( x ) a 2 x 2 , 令x asht .
4.倒置代换
1
令x .
t
7、分部积分法
uvdx uv uvdx
udv uv vdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数;
I----反三角函数;
A----代数函数;
T----三角函数;
E----指数函数;
哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
(1)有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an
Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
其中m 、n 都是非负整数; a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数,并且a 0 0 ,b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
Adx
A
Adx
C;
1.
A ln x a C ; 2.
n
n 1
( x a)
(1 n)( x a )
xa
Mx N
M
3. 2
dx ln x 2 px q
x px q
2
N Mp 2
q
p2
arctan
4
x
p
q
p2
C;
2
4
Mx N
M
( 2 x p )dx
N Mp 2
4. 2
dx
2
dx
n
2
n
n
( x px q )
2 ( x px q )
( x px q )
此两积分都可积,后者有递推公式
(2) 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之.一般记为 R(sin x , cos x )
x
令 u tan
2
x 2 arctan u
2
2u
1 u
sin x
cos x
2
1 u
1 u2
2
dx
du
2
1 u
2u 1 u 2
R(sin x , cos x )dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du
2
(3) 简单无理函数的积分
ax b
R( x ,
)
cx e
讨论类型: R( x, ax b )
n
n
解决方法:作代换去掉根号.
令t ax b;
n
ax b
令t
;
cx e
n
二、典型例题
x x
2
3
例1 求
9 x 4 x dx.
解
3 x
3 x
3 x
令
(
) t
d( )
( )
1
dt
2
1
2
2
原式
dx
2
3
t
1
3 2x
3 3 2x
ln
( ) 1
ln
( ) 1
2
2
2 2
1
t 1
1
1
ln
C
(
)dt
3 t 1 t 1
2(ln 3 ln 2) t 1
2 ln
2
1
3x 2x
ln x
C.
x
2(ln 3 ln 2) 3 2
1
x
e
(
1
sin
x
)
例2 求
1 cos x dx.
解
x
x
e x (1 2 sin cos )
2
2 dx
原式
2 x
2 cos
2
1
x
x
x
(e
e tan )dx
x
2
2 cos 2
2
x
x
x x
x
x
[(e d (tan ) tan de ] d (e tan )
2
2
2
x
e tan C .
2
x
例3 求
ln( x 1 x 2 ) 5
dx.
2
1 x
2
[ln(
x
1
x
) 5]
解
1
1
2x
,
(1
)
2
2
2
1 x
x 1 x
2 1 x
原式 ln( x 1 x 2 ) 5 d [ln( x 1 x 2 ) 5]
3
2
[ln( x 1 x 2 ) 5]2 C .
3
例4 求
x1
dx.
2
2
x x 1
1
解 令x ,
(倒代换)
t
1
1
1
1 t
t
原式
( 2 )dt
dt
2
1 12
t
1 t
(
)
1
t2 t
1
d (1 t 2 )
2
arcsin
t
1
t
C
dt
2
2
1 t
2 1 t
x2 1
1
arcsin C .
x
x
例5
求
x
6
dx
x
2
x
3
1 e e e
解 令 e t,
x
6
.
6
x 6 ln t , dx dt ,
t
1
6
6
原式
dt
dt
3
2
2
1 t t t t
t (1 t )(1 t )
6
A
B
Ct D
设
2
t (1 t )(1 t ) t t 1 1 t 2
6 A(1 t )(1 t 2 ) Bt (1 t 2 ) (Ct D)t (t 1)
解得 A 6,
B 3, C 3,
D 3.
6
3
3t 3
原式 (
)dt
2
t 1 t 1 t
3
6 ln t 3 ln(1 t ) ln(1 t 2 ) 3 arctan t C
2
x
6
x
x
3
x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan e 6 C .
2
例6
求 x arctan x ln(1 x 2 )dx .
解 x ln(1 x 2 )dx 1 ln(1 x 2 )d (1 x 2 )
2
1
1 2
2
2
(1 x ) ln(1 x ) x C .
2
2
1
1 2
2
2
原式 arctan xd[ (`1 x ) ln(1 x ) x ]
2
2
1
[(`1 x 2 ) ln(1 x 2 ) x 2 ] arctan x
2
2
1
x
[ln(1 x 2 )
]dx
2
2
1 x
1
arctan x[(`1 x 2 ) ln(1 x 2 ) x 2 3]
2
x
x
2
ln(1 x ) C .
2
2
例7
求
dx
.
10
x( 2 x )
解 原式
1
d ( x 10 )
x 9 dx
10
10
10
10
10
x
(
2
x
)
x (2 x )
1
[ln x 10 ln( x 10 2)] C
20
1
1
ln x ln( x 10 2) C .
2
20
例8
求
3
dx
.
2
4
( x 1) ( x 1)
x 1 4
) ( x 1) 2 .
解 ( x 1) ( x 1) (
x1
2
x 1
则有 dt
dx ,
令t
,
2
( x 1)
x1
1 43
dx
原式
t dt
x 1 4
2
2
3 (
) ( x 1)
x1
33 x 1
3 13
C.
t C
2 x 1
2
3
2
4
3
x sin x
例9 求
dx.
1 cos x
解
x
x
x 2 sin cos
2
2 dx
原式
2 x
2 cos
2
x
x
dx tan dx
2
2 x
2 cos
2
x
x
x
x tan tan dx tan dx
2
2
2
x
x tan C .
2
f ( x ) f 2 ( x ) f ( x )
]dx.
例10 求 [
3
f ( x )
f ( x)
解
原式
f ( x ) f 2 ( x ) f 2 ( x ) f ( x )
dx
3
f ( x)
f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x )
dx
2
f ( x )
f ( x)
f ( x)
f ( x)
d[
]
f ( x ) f ( x )
1 f ( x) 2
[
] C.
2 f ( x )
例11
解
求 max{1, x }dx .
设 f ( x ) max{1, x },
x , x 1
则 f ( x ) 1 , 1 x 1,
x, x 1
f ( x )在( ,)上连续, 则必存在原函数F ( x ).
1 2
2 x C 1 , x 1
F ( x ) x C 2 , 1 x 1.
1
x 2 C3 , x 1
又 F ( x )须处处连续,有
2
1 2
lim ( x C 2 ) lim ( x C1 )
x 1
x 1
2
1
即 1 C 2 C1 ,
2
1 2
lim ( x C 3 ) lim ( x C 2 )
x 1 2
x 1
1
即 C3 1 C2 ,
2
联立并令 C1 C ,
1
可得 C 2 +C , C 3 1 C .
2
1 2
2 x C , x 1
1
故 max{1, x }dx x C , 1 x 1.
2
1 2
2 x 1 C , x 1