Transcript 补充知识：微积分、矢量

普通物理学教程
高等数学补充知识
一、微积分基础知识
1. 函数，导数与微分
函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数的一
些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初
等函数等。
导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量△x时，函数y相应
的有一改变量△y=f(x+ △x )-f(x)，那么当△x趋于零时，若比值△y/
△x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点
x处导数，记作：
dy
y
f ( x  x )  f ( x )
y'  f ' ( x ) 
 lim
 lim
dx x 0 x x 0
x
这时称函数y=f(x)在点x处是可导的。
导数的几何意义：
函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f’(x) 等于
曲线 y=f(x) 在点x处的切线的斜率，即：
f ' ( x)  tan 
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速
度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一
阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加
速度矢量。
注意：以下是易混淆的两个表示：

y
和
y'
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：

dy
y  dt ，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：

2


d y d dy
d y
y
    2
dt dt  dy  d t

后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数y=y(x) ，则
dy
y' 
dx
y
若自变量有多个，则应该用偏导，
是函数y=y(x,t) (同时
t
dy y x y ，对于多
又有x=x(t) )对时间的偏导。（注意： 
 
dt x t t
dy

y
元函数，一般 
）。
dt t
基本求导公式：
(1) (C)0，
(11)
(2) (xm)m xm1，
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x，
(12)
(13)
(14)
(7) (sec x)sec x tan x，
(8) (csc x)csc x cot x，
(15)
(9) (ax)ax ln a ，
(10) (ex)ex，
(16)
1
，
(log a x)
(a>0, a
x ln a
1
(ln x) ，
x
1
(arcsin x)
，
1  x2
1
(arccos x)
，
2
1 x
1
(arctan x)
，
2
1 x
1
(arctan x)  
。
2
1 x
求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则：
(1) (u  v)=u  v，
(2) (Cu)=Cu (C是常数)，
(3) (uv)=uv+u v，
u
uv  uv
(4) ( ) 
(v0)。
2
v
v
反函数求导法：
1
1
[f (y)]
(f (x)0)。
f ( x)
复合函数的求导法则：
dy dy du


，或 yyuux ，其中 y=f(u)，u=(x)。
dx du dx
复合函数的求导法则：
dy dy du


，或 yyuux 。
dx du dx
dy
例1 y=lntan x ，求
。
dx
解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，
dy dy du 1


  sec 2 x  cot x  sec 2 x
dx du dx u
1

。
sin x cos x
dy
例2 y= e ，求
。
dx
u
3
x3
y

e
解：函数
是由 ye ，ux 复合而成，
dy dy du
u
2
x3
 e  3x  3xe 。


dx du dx
x3
2x
dy
例3
，求
。
2
dx
1 x
2x
2x
解： y  sin
是由 ysin u，u 
复合而成，
2
2
1 x
1 x
2(1  x 2 )  (2 x) 2
dy dy du
 cos u 


dx du dx
(1  x 2 ) 2
y  sin
2(1  x 2 )
2x

 cos
。
2 2
2
(1  x )
1 x
微分：若函数 y=y(x) 的改变量可表示为：
y  A( x )dx  0(dx )
式中dx=△x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分，
记作：
dy  A( x )dx
函数y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导
数 y’=f’(x) ，这时函数的微分是：
dy  f ' ( x )dx
2. 不定积分
不定积分：对函数 y=y(x) ，如果在给定区间[a,b]上有
dy
G ( x )  y'  f ' ( x ) 
dx
则其逆运算就是求 G(x) 的不定积分（即：求 G(x) 的原函数）：
dy
 G( x )   y'dx   dx dx   dy  y( x )  C
上式中可以看出： G(x) （被积函数）的原函数为 y(x)+C，不
止一个。其中， C 为积分常数。
3. 定积分
由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数
就是唯一确定的。
几何意义： 由 y=f(x) 的函数曲线，初始条件表示的直线，x 轴
所围成的曲边梯形的面积。
牛顿——莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）：
若函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上连续，或分段连续，则 y=f(x) 在
[a,b]上有原函数，设 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则

b
a
f ( x )dx  F ( x ) ba  F (b)  F (a )
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表

k dx k x C (k是常数)，
(2)

(3)

(4)

(5)

1 m1
x C ，
x dx 
m 1
1
dx ln |x|C ，
x
1
dx arctan x C ，
2
1 x
1
dx arcsin x C ，
2
1 x
(6)

cos x dx sin x C ，
(7)

sin x dxcos x C ，
(1)
m
基本积分表
(8)

(9)

1
2
dx

sec
x dxtan xC ，

2
cos x
1
2
dx

csc
x dxcot x C ，

2
sin x
(10)

sec x tan x dxsec x C ，
(11)

csc x cot x dx csc x C ，
(12)

e x dx e 2C ，
(13)

x
a
a x dx 
C ，
ln a
(14)

sh x dx ch x C ，
(15)

ch x dx  sh x C ．
不定积分的性质
性质1
分的和，即
函数的和的不定积分等各个函数的不定积
 [f(x)g(x)]dx
f(x)dx g(x)dx．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数
因子可以提到积分号外面来，即
 kf(x)dxk
f(x)dx (k 是常数，k 0)．
例4


5
2
1
2
x ( x 2  5)dx   ( x  5 x )dx
5
x 2 dx

7
2
2
x 5·
1
5x 2 dx
3
x 2 C

5
x2
dx 5
1
x2
dx
2 3
10
2
 x x  x x C．

7
3
7
3
x 3  3x 2  3x  1
(( xx 
 1)
1)33
例例5
9 
dx 
dx
dx
2
2
 xx2
x
3
1
  (x 3   2 )dx
x
x
1
1
  x dx 3 dx 3 dx  2 dx
x
x
1 2
1
 x 3x 3 ln | x |   C ．
2
x
x
x x
(
2
e
)
2
e
xx xx
x


C
 C．
例
11  22 ee dx
dx  (2e ) dx
例6
1  ln 2
ln( 2e)
1  (x  x2 )
11 xx  xx22
例
12 
dx 
dx
例7
dx
22
2
xx(1  xx ))
x(1  x )
1
1
1
1
 (

)dx
dx

dx


2
2
x
x
1 x
1 x
 arctan x ln | x | C ．
x4
( x 2  1)( x 2  1)  1
x4 11
例8 
dx  
dx  
dx
2
2
2
1 x
1 x
1 x
1
1
2
2
  (x 1 
)dx   x dx  dx 
dx
2
2
1 x
1 x
1 3
 x x  arctan x  C ．
3
定积分
三、矢量分析基础(由于物理学研究的需要而产生了矢量)
1.矢量的定义：
具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量。

矢量表示： A
 
A B
 
A B
2.矢量的加法、减法：
矢量的加法应满足平行四边形法则，
而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；
如图所示。

B

A
一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减：
 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A  B  ( Ax i  Ay j  Az k )  ( Bx i  B y j  Bz k )  ( Ax  Bx )i  ( Ay  B y ) j  ( Az  Bz )k
 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A  B  ( Ax i  Ay j  Az k )  ( Bx i  B y j  Bz k )  ( Ax  Bx )i  ( Ay  B y ) j  ( Az  Bz )k
3.矢量的数乘


以实数  乘以矢量 A 称为矢量的数乘，记作  A，显然有：







A   ( Ax i  Ay j  Az k )  Ax i  Ay j  Az k
实数  只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸


缩为原来的  倍。  A 的方向为：  0 时，与 A 方向不变；  0时，
与

方向相反。
A
4. 矢量的正交分解
把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢
量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。
5. 矢量的标积和矢积
 


已知两矢量 A 和 B ，夹角记作：( A, B ) ，则：
（1）矢量的标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）：
 
 
 
A  B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz  A  B cos( A, B )（结果为标量 ）
（2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）：



i
j
k
 



A  B  Ax Ay Az  ( Ay Bz  Az B y )i  ( Az B y  Ax Bz ) j  ( Ax B y  Ay B x )k
B x B y Bz
 
∴ 矢积 A  B的结果为矢量；大小为以
A、B为边的平行四边形的面积：
 
 
 
A  B  A  B sin( A, B )
6.矢量对 t 的导数

对矢量函数（简称矢函数）f (t ) ，如果极限：


f ( t  t )  f ( t )
lim
t 0
t


d
f
存在，就称它为矢函数 f (t ) 的导数，记作 f ( t )  ( t ) ，矢函
dt

f (t ) 的导数仍为矢函数，从而还可像标量函数一样求其二阶导

数
数、高阶导数。
对矢量函数求导数，一般是对它的各个分量分别求导，这时矢
量导数就变成了标量函数的求导，但是如果坐标也在变，也必须对
单位矢量求导，如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量。