Transcript 对数函数

沂源二中高一数学组
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吴东平
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课本目录
第二章基本初等函数(I)
2.1指数函数
信息技术应用
2.2对数函数
阅读与思考
探究与发现
2.3幂函数
小结
复习参考题
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借助计算机探究指数函数的性质
对数的发明
互为反函数的两个函数图象之间的关系
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2.1
指数函数
(一)《标准》目标表述
１．通过具体实例，如细胞的分裂，考古中所用碳14的衰减，药物在人体内的残留
量的变化等，了解指数函数模型的实际背景。
２．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
３．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，
探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
４．在解决简单实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
（二）《大纲》目标表述
理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质。
掌握指数函数的概念、图象和性质。
两者比较
加强了函数模型的背景和应用的要求。
提出了与信息技术整合的要求。
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(三)教学要求
基本要求
①了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；
②理解n次方根与n次根式的概念，理解分数指数幂的含义，
熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；
③能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，
会进行根式与分数指数幂的相互转化；
④通过经历用有理指数幂逼近无理指数幂的过程，了解实数指数幂的意义；
⑤理解指数函数的概念和含义；
⑥能用描点法或借助计算机（器）画出指数函数的图象，探索并理解
指数函数的性质（单调性、特殊点、定义域、值域）；
⑦在解决简单的实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型；
发展要求
.会求一类与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等；
.了解函数图象的平移与对称变换；
.体会数学的逼近、数形结合等思想；
.体验数学概念的发生、 发展的过程，培养学生的思维能力。
说 明
有关根式的复杂运算及繁琐的根式化简不必多练。
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（四）教学建议
1．课时分配（6课时）
2.1.1 引言、指数与指数幂的运算
2.1.2 指数函数及其性质
约3课时
约3课时
传统课时（４＋３）
2．重点难点
重点:指数函数的概念、图象和性质。
难点:对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。
3．分析说明
.用实例说明学习指数函数、对数函数、幂函数以及扩张指数范围的必要性。
.通过复习和举实例理解n次方根及运算性质,培养学生探究精神和感受分类讨论思想。
.通过举实例和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化。
.建议利用计算器或计算机进行实际操作，亲历有理指数幂向无理指数幂逼近的过程。
.通过实例抽象概括出指数函数的一般形式。
.引导学生多画几个具体的指数函数的图象,再通过观察图象归纳概括指数函数的性质.
.例7是用指数函数的单调性比较两个值（幂）的大小:
（1） 1.72.5 ,1.73（2）0.8-0.1, 0.8-0.2 （3）1.70.3 ,0.93.1.
.例8的教学应体现从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，以及归纳、总结的一般方法:
截止到1999年，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么
经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）
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2.2 对数函数
（一）《标准》目标表述
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化
成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及
其对简化运算的作用。
2．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理
解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助
计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的
单调性和特殊点。
3．知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0，且a≠1）。
（二）《大纲》目标表述
理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
掌握对数函数的概念、图象和性质。
两者比较
降低要求的：对于反函数只要求知道，不要求形式化的理解其概念，也
不要求求已知函数的反函数。
提高要求的：加强了函数模型的背景和应用的要求；
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(三)教学要求
基本要求
①经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数
式的互化；
②理解对数的运算性质，并能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化
简与计算；
③了解对数的换底公式，能将一般对数化成自然对数或常用对数；
④了解对数的发明史以及对数在简化运算中的作用；
⑤理解对数函数的概念；
⑥能用描点法或借助计算机（器）画出对数函数的图象，探索并掌握对数函数
的性质（定义域、值域、特殊点、单调性）；
⑦通过实例，体会对数函数是一类重要的函数模型；
⑧了解指数函数y=ax (a﹥0，a≠1)与对数函数y=logax (a﹥0，a≠1)是互为反
函数。
发展要求
①能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等；
②知道指数函数y=ax (a﹥0，a≠1)与对数函数y=logax (a﹥0，a≠1)的
图象关于直线y=x对称；
③掌握化归、数形结合、类比、分类讨论等数学思想方法。
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(四)教学建议
1．课时分配（6课时）
2.2.1对数与对数运算
约3课时
2.2.2对数函数及其性质
约3课时
2．重点难点
重点：对数函数的概念、图象和性质。
难点：理解对数的概念，以及对数函数性质的归纳。
分析说明
. 先通过具体实例，让学生知道研究对数的必要性。
. 有关对数恒等式(公式)的教学,可先通过具体实例验证，再作证明.
. 通过换底公式的应用，让学生再次体会化归思想
. 通过例5、例6的教学，使学生感受对数在有关方面的实际应用。
. 以生物体内碳14的衰减规律为实际背景，引入对数函数.
. 可对比指数函数的图象和性质的探索方法，得出对数函数的图象和性质。
. 通过例9溶液酸碱度的测量使学生进一步明白对数函数是重要的函数模型。
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2.3幂函数
（一）《标准》目标表述
1.通过实例，了解幂函数的概念；
2.结合函数：
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y  x, y  x , y  x , y  , y  x 2
x
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的图象，了解它们的变化情况。
（二）《大纲》目标表述
无
两者比较:幂函数减肥后重出江湖
(三)教学要求
基本要求
①了解幂函数的概念。
②掌握以下五种幂函数的图象和性质
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y  x, y  x 2 , y  x 3 , y  , y  x 2
x
发展要求:了解幂函数（为有理数）的图象特征
说 明: 不必在一般的幂函数上作引伸和作过多的介绍。
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(四)教学建议
1．课时分配（2课时）
2.3幂函数
约1课时
小结
约1课时
2．重点难点
重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的基本性质。
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
3．分析说明
•“幂函数”教学时，只要求掌握
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y  x, y  x , y  x , y  , y  x 2
x
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图象和性质。
•在一次函数、二次函数中，有幂函数?
• 例1是用定义证明函数 的单调性，教学时，引导学生从感性认识
向理性认识转化。
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二、教学感受
1、新教材的几大亮点
 问题性：每节开篇以问题开始；以思考、探究、“问号型”
图
标提出问题；在小结和复习题中提出拓展性问题。
（两章中：22个“思考”、11个“探究”、6个“？”）
 亲和力：主编寄语、章头图，正文中的观察、探索、旁批等
强调数学知识的背景和应用，数学是自然的。
 应用性：“神舟”五号、炮弹发射、臭氧层空洞面积、恩格
尔
系数、公共汽车票价、玻意耳定律、烟花、生物体
内碳14的衰减、GDP及人口增长率、地震震级、
PH值的变化等。
 思想性：函数思想、几何直观、数形结合、渗透逼近思想、
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类比、推广、特殊化 等。
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2、主要问题
课时比较紧张
教学不知深浅
部分内容脱节
技术条件制约
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以下是教学中值得注意的地方
注重几何直观
◆ 注重几何直观
 指数、对数、幂函数性质的研究：
几何直观
自然语言
形式化定义
 如借助图形直观来了解函数的凹凸性。
图象
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性质
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对重点的传统知识要适当拓广
1、必要性：什么知识点应适当拓广——依据新课程、高考
2、可能性：什么时机进行拓广合适——水到渠成防止“越位”
如二次函数，它是历年高考的重点内容，是第一章研究
函数及其性质的主要载体。如闭区间上二次函数的最值；二
次函数含参数讨论最值；利用二次函数判断方程根的分布；
由二次函数构成的复合函数等等。因此拓广和加深二次函数
是必要的。
又如：函数图象变换，函数图象是函数性质的直观反映，
是解决函数问题的有力工具。
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淡化的知识内容不宜拓展
 函数的定义域、值域。
函数的定义域值域
为了防止教师在集合与函数教学中，在求解定义域、
值域等“细枝末节”上对学生进行大量的人为的、繁琐的
训练，把二次不等式的内容放到“必修5”，这是一种“釜
底抽薪”的办法。把重点放在函数概念的本质的理解上、
函数性质的讨论上。
但有关函数问题首先考虑“定义域”的认识必须到位．
 “反函数”只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，
不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知
函数的反函数。
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“幂函数” 只要求通过实例，了解幂函数的概念；掌握五
个幂函数的图像和性质。
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◆
研究教材中的例题、习题
1、准确把握练习的质和量
新教材例、习题存在一些问题① 习题与例题不配套，总体而言，
例题容易，习题难，学完例题，不会做作业；② 教材某些知识内容没
有相应的巩固习题，而部分习题又用到没有学过的知识；③ 层次性不
够，A组的题目有些比B组的还要难；④ 部分题目的解答需要运用信息
技术．
许多学生不适应新教材的教学，很大程度上来自课后练习。
2.教辅资料不能作为教学的依据
高中数学教学中一直存在一个问题，就是教材与高考的能力要求
差异，教学中必然要把有关知识拓广和加深，提升能力。导致学生课
后做大量的教辅材料的习题，教师被教辅材料牵着走，如何把握课标
，如何处理教材中的习题，这正是需解决的问题。
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函数的思想性
映射
推广
数
类比
函 数
联系
方程、数
列、不等
式、导数
等
特殊化
一次、二次函数、
反比例函数、指数
、对数函数、幂函
数、三角函数等
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