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第三章
指数函数和对数函数
5．3 对数函数的图像和性质
第三章
指数函数和对数函数
学习导航
学习目标
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用，指数
函数与对数函数之间的关系．
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指数函数和对数函数
新知初探·思维启动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像
a＞1
0＜a＜1
和 性 质 ， 底 数 要 分
为 _________
和
_________两种情况，如下表：
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函数
图像
指数函数和对数函数
y＝logax(a＞1) y＝logax(0＜a＜1)
第三章
函数
指数函数和对数函数
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0＜a＜1)
(0，＋∞)
定义域：_____________
R
值域：___________
(1,0)
0
过点_______，即x＝1时，y＝______.
＞
＞
x______1时，y＜0;
性质 x______1时,y＞0;
0＜x＜1
0＜x＜1
_________时,y＜0.
_________时,y＞0.
单调性：在(0，＋
∞)上是增函数.
单调性：在(0，＋
∞)上是减函数.
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指数函数和对数函数
想一想
1.函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像
是什么关系？
提示：y＝ax 与y＝logax互为反函数，其图
像关于y＝x对称．
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指数函数和对数函数
想一想
1
2.函数 y＝logax 与 y＝log x 的图像有什么对称
a
性？
1
提示：y＝log x＝－logax 与 y＝logax 关于 x
a
轴对称．
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指数函数和对数函数
做一做
1.函数y＝logax＋1(a＞0，a≠1)的图像过
定点(
)
A．(1,1)
B．(1,0)
C．(0,1)
D．(0,0)
解析：选A.当x＝1时，y＝1.
第三章
2．函数 y＝ log2x－2的定义域是(
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
指数函数和对数函数
)
解析：选D.使函数有意义，需log2x－2≥0，
即log2x≥2＝log24，∴x≥4.
3．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y
＝a－x与y＝logax的图像是(
)
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指数函数和对数函数
1x
解析：选 D.0＜a＜1，y＝a ＝( ) 为增函数，
a
y＝logax 为减函数．
－x
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典题例证·技法归纳
题型探究
题型一
例1
比较对数值的大小
比较大小．
(1)log23.4 ， log28.5 ； (2)log0.31.8 ，
log0.32.7；
(3)log67 ， log76 ； (4)log3π ， log20.8 ；
(5)log712，log812.
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【解】
指数函数和对数函数
(1)考查对数函数y＝log2x，
∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
∴log23.4＜log28.5.
(2)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0＜0.3＜1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8＞log0.32.7.
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指数函数和对数函数
(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，
∴log67＞log76.
(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，
∴log3π＞log20.8.
(5)在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝
log8x的图像，如图，由底数
变化对图像位置的影响知：
log712＞log812.
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【方法小结】
指数函数和对数函数
(1)若底数为同一常数，则
可由对数函数的单调性直接判断；
(2)若底数不同，真数相同，则可用换底公
式化为同底，再进行比较；
(3)若底数、真数都不相同，则常借助1,0等
中间量进行比较．
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指数函数和对数函数
变式训练
1．比较下列各组中两个值的大小；
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141.
解：(1)(单调性法)因为y＝log3x在(0，＋∞)
上是增函数，所以log31.9＜log32.
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指数函数和对数函数
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0,log0.32
＜0,
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定
义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是
减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
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题型二
例2
指数函数和对数函数
对数函数的图像
作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由
图像指出函数的单调区间，并说明它的图像
可由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．
【解】作出函数y＝log2x的图像，将其关于
y轴对称得到函数y＝log2|x|的图像的另一分
支曲线，再将整个图像向左平移1个单位长
度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像,如图所
示：
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指数函数和对数函数
由图可得函数y＝log2|x＋1|
的递减区间为(－∞，－1)，
递增区间为(－1，＋∞)．
【名师点评】
由y＝logax到y＝loga(x＋h)
是平移变换，由y＝logax到y＝loga|x|是对
称变换，有对称又有平移时，先对称再平
移．
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指数函数和对数函数
变式训练
2．函数 y＝log1 (x－1)的图像是如图所示的
2
(
)
解析：选 D.只需将 y＝log1x 的图像向右平移
2
一个单位长度即可．故选 D.