Transcript 函数的单调性

巩固提高
反思与小结
互动达标
合作探究
创设情景
双基回眸
山东省桓台第一中学
苏同安
双基回眸 科学导入
函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，
使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确
定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集
合B的一个函数。 记作 y=f(x) , x∈A
函数的三种表示方法
解析法、列表法、图象法.
区 间
映 射
分段函数
双基回眸 科学导入
在上一节课中，我们曾用函
数的图像表示出三名学生的六次
考试成绩的变化情况，从而直观
地对这三名同学的数学学习情况
做了一个分析，再来回顾一下当
时利用图像分析的情况：
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的
变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此研究函
数的性质，如函数在什么时候递增或递减，有没有最大值或最小值，
函数的图像有什么特征等，是非常重要的。
下面我们来根据几组函数的图像试着探究一下函数的性质：
请同学们观察
下面三组在相应区

间上的函数图像，
然后指出这三组图
像有什么区别？它
们分别反映了相应
函数的哪些变化规
律？
y
y
1
-1
1
1
-1
y
x
-1
1
1
-1
图3
x
-1
1
-1
x
合作探究
第一组函数图像，从左到右是上升的。
第二组函数图像，从左到右是下降的。
第三组函数图像，第一个从左到右是上升的，其他
两个均是有升有降。
函数图像的“上升”“下降”反映了函数的
一个基本性质——单调性。那么如何用数学语言
来描述函数的“上升”“下降”呢？
合作探究
函数的单调性
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那
么就说f(x)在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量x1 ，x2 ，当x1<x2 时，都有f(x1)>f(x2)，那
么就说f(x)在区间D上是减函数．
合作探究
函数的单调性
3．单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调
性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
小试牛刀
判断题：
1
（1）已知f(x)= x ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是
增函数。
（2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3]
上为增函数。
（3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，
则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
1
（4）因为函数f(x)=
在区间（-∞，0）和（0，+∞）
x
上都是减函数，所以f(x)在（-∞，0）∪（0，+∞）上是
减函数。
互动达标
关于利用图象直观地分析函数的单调性的问题
问题1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据
图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它
是增函数还是减函数？
函数的单调区间有
 5,2,  2,1, 1,3, 3,5
其中在区间
在区间上
 5,2 ，1,3上是减函数，
 2,1, 3,5是增函数。
互动达标
关于函数的单调性证明的问题
利用定义证明函
1
(
0
,

)
问题2 证明函数 f ( x)  在
上是减函数。 数单调性的步骤：
x
证明 设 x1 , x2 是 (0, ) 上的任意两个实数，且 x1  x2 ，则（1）取值
f ( x1 )  f ( x 2 ) 
x  x1
1
1

 2
x1 x 2
x1 x 2
由 x1 , x 2  (0,) ，得 x1 x 2
（2）作差
0
又由 x1  x 2 得 x2  x1  0
于是
f ( x1 )  f ( x 2 )  0
（3）定号
既 f ( x1 )  f ( x2 )
所以， f ( x ) 
1
x
在 (0, ) 上是减函数。
（4）结论
互动达标
关于函数的单调性应用的问题
k
p

(k为正常数) 告诉我们，对于一
问题3 物理学中的玻意耳定律
V
定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单
调性证明之。
证明
根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实
数，且V1<V2，则
p (V 1 )  p (V
2
) 
k
k
V 2  V1

 k
V1
V2
V 1V 2
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是
即
p (V 1 )  p (V
2
)  0
pp((V
 p
p ((V
V 21 ))
V12 ) 
k
所以，函数 p  V , V  ( 0 ,  ) 是减函数.也就是说，当体积V
减 少时，压强p将增大.
互动达标
关于函数的单调性应用的问题
2
y

在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
问题4 求函数
x 1
解析
设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
f ( x1 )  f ( x2 ) 
2
2

x1  1 x2  1

2[( x2  1)  ( x1  1)]
( x2  1)( x1  1)

2( x2  x1 )
( x2  1)( x1  1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
f ( x1 )  f ( x2 )  0, 即 f ( x1 )  f ( x2 )
所以，函数 y 
2
是区间[2,6]上的减函数.
x 1
互动达标
关于函数的单调性应用的问题
2
y

在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
问题4 求函数
x 1
2
因此,函数
x  1 在区间[2,6]上的两个端
点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取
最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值
为0.4 .
y 
思悟小结
知
识
线
（1）函数的单调性概念；
（2）增函数、减函数；
思
想
方
法
线
应
用
线
（1）定义法与比较法；
（1）关于函数的单调性的
（2）图像法与观察法；判断与证明问题；
（3）函数的单调区间；
（3）单调性法；
（4）函数的最值。
（3）数形结合思想；
（4）转化思想。
（2）关于函数的单调性运
用的问题；
（3）关于函数的最值问题。
巩固提高
2
2
若a ≠ , 则当x = 时，分式的值为零。
3
3
2
若a = , 则无论 x 为何数值，分式的值都不为零 .
3
见学案或教案