Transcript 幂函数

2.3
幂函数
新知探究
题型探究
感悟提升
【课标要求】
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，
，y＝x－1的图象，了
解它们的变化情况．
【核心扫描】
1．幂函数的概念和性质．(重点)
2．五种幂函数的图象的特点．(难点)
3．幂函数与指数函数的区别．(易混点)
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新知导学
1．幂函数的概念
函数 y＝xα
叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
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2．幂函数的图象与性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x－1
y＝x3
图象
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定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
值域
{y|y∈R且
R
奇偶性 奇
单调性 增
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
偶
奇
非奇非偶
x∈[0，＋∞)增
奇
x∈(0，＋∞)
增
增
x∈(－∞，0]减
定点
y≠0}
减 x∈(－∞，
0)减
(1,1)
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互动探究
探究点1 幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有何区别？
提示
幂函数y＝xα 的底数是自变量，指数是常数，而指数
函数正好相反，在指数函数y＝ax 中，底数是常数指数是自
变量．
探究点2 “幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗？
提示
不对，幂函数y＝x2 的图象过第二象限，所有的幂函
数的图象都不过第四象限，因为对y＝xα而言，
当x>0时，必有y>0.
探究点3 y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？
提示
不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数．
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类型一
幂函数概念的理解及应用
【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋
∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[思路探索]
首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据性
质确定m的值，进而得解．
解
根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
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[规律方法]
(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找
不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂
函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这
是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函
数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以
防出错．
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【活学活用1】 若幂函数f(x)＝(m2 －2m－2)xm2＋m－1 的图象
与坐标轴没有交点，试求实数m的值．
解
由f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1是幂函数，
则m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.
(1)当m＝3时，f(x)＝x11过原点(0,0)，与坐标轴相交，不合题
意；
(2)当m＝－1时，f(x)＝x －1 的图象与坐标轴无公共点．因此，
实数m的值为－1.
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类型二
幂函数的图象及应用
【例 2】 已知函数 y＝x3 与 y＝
：
(1)画出它们的图象；
(2)根据图象，说出 x 取何值时，x3<
[思路探索]
.
先画出两函数在同一坐标系中的图象，再观察
函数值的变化情况，得出结论．
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解
(1)在同一坐标系中，画出y＝x3，y＝
(2)根据上图可知：当x∈(0,1)时，y＝
上方，故x∈(0,1)时，
的图象如图：
的图象在y＝x3的图象
>x3.
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[规律方法]
1.幂函数y＝xα 的图象恒过定点(1,1)，且不过第
四象限．
2．解决幂函数图象，需把握两个原则：(1)幂指数α的正负决
定函数图象在第一象限的升降；(2)依据图象确定幂指数α与
0,1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上
到下，相应的指数由大变小．
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【活学活用2】 已知幂函数y＝xn在第一象
1
限的图象如图，且n取－1， ，2,3四个值，
2
则相应的曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为
________．
解析
根据五种幂函数在同一坐标系中的位置可知，C1为y＝
x3的图象，C2为y＝x2的图象，C3为y＝
的图象，C4为y＝x－1
的图象．
答案
1
3,2， ，－1
2
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类型三
比较幂的大小
【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小：
 2 －
 3 －
1
(2)－3 与－5 1；




(3)
[思路探索]
(4)0.20.6 与 0.30.4.
利用幂函数或指数函数的单调性进行大小比较，
并注意中间媒介值的应用．
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解
(1)∵y＝
1 1
是[0，＋∞)上的增函数，且 > ，
3 4
2
3
(2)∵y＝x 是(－∞，0)上的减函数，且－ <－ ，
3
5
－1
 2－  3－
∴－3 1>－5 1.




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1
1
，6.25 ＝2.5 .
4
2
(4)由幂函数的单调性，知 0.20.6<0.30.6，又 y＝0.3x 是减函数，
0.4
0.6
0.6
0.4
∴0.3 >0.3 ，从而 0.2 <0.3 .
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[规律方法]
1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数(2)若指数不同而底
数相同，则构造指数函数．
2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为
相同，是否可以引入中间量．
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【活学活用3】 比较下列各组数的大小：
2
3
0.5
(1)3 与50.5；(2)－3.143与－π3；
 
 
解
2 3
(1)∵y＝x 在[0，＋∞)上是增函数且 > ，
3 5
0.5
2
3
0.5
∴3 >50.5.
 
 
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
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.
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易错辨析
幂函数的性质理解不透致误
【示例】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，
且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足
的a的取值范围．
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[错解]∵函数在 (0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，
此时，原不等式为
1
1
(a＋1)－ <(3－2a)－ .
3
3
1
又y＝x－ 是减函数，
3
2
∴a＋1>3－2a，∴a> .
3
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[错因分析]
1
没有全面准确地把握y＝x－ (x≠0)的定义域及
3
单调性，缺失对底数(a＋1)及(3－2a)的讨论．
[正解] 由上述错解，知m＝1，
又y＝
在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.
2
3
解之得 <a< 或a<－1.
3
2
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[防范措施]
1.在解题时要认真分析题目条件，选准解题的入
手点，最后要注意根据题目的要求用准确的数学语言回答．
2．本题综合性较强，解题的关键是准确把握幂函数的图象，
抓住了幂函数的图象就抓住了性质，也就有效地解决了应用
中的困难．事实上y＝
是奇函数，一定注意a＋1与3－2a
是否在同一单调区间，必须进行分类处理．
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课堂达标
1．下列函数是幂函数的是
(
A．y＝5x
B．y＝x5
C．y＝5x
D．y＝(x＋1)3
解析
)．
函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是
正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自
变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
答案
B
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1
2．设a∈{－1,1， ，3}，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇
2
函数的所有a值为
(
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
)．
1
解析 由y＝x 的定义域为R可知a≠－1， ，且a＝1,3时，
2
a
y＝x及y＝x3均为奇函数．
答案
A
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3．(2013·嘉兴高一检测)已知幂函数f(x)的图象过点(
2 ，2)，
则f(9)＝________.
解析
设f(x)＝xα，由题意知( 2)α＝2，
∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(9)＝81.
答案
81
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4．幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减函数，则
m的值为________．
解析
由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，合题意；
当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，不合题
意．
答案
2
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5．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y轴对称，且在(0，＋
∞)上递减，求整数m的值．
解
由题意，得m2－4m<0，
∴0<m<4.
当m＝1或3时，f(x)＝x－3图象不关于y轴对称；
当m＝2时，f(x)＝x－4的图象关于y轴对称，
且在(0，＋∞)上递减．
故整数m＝2.
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课堂小结
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数
正好相反，底数是常数，指数是自变量．
2．幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的
指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相
应的指数由大变小．
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3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1
时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减
函数．
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