Transcript 课件二 高等数学（上）期末总复习

高等数学
（上册总复习）
重庆交通学院
冯春
目
录
一、单选填空
1、概念
2、习题
二、计算
1、求极限方法 和习题
2、求导数方法 和习题
3、求积分方法 和习题
一、概念
1.

集合
区间
2. 复合函数（*抽象复合函数）
3. 积分与导数的关系
4. 函数的 有界性 奇偶性 周期性 单调性
5. 无穷小的比较 阶的概念
常用等价无穷小 当x = 0 时
tan x ∽ x arcsin x ∽ x ln( 1  x) ∽ x
sin x ∽ x
1 2
x
arctan x ∽ x e  1 ∽ x 1  cos x ∽ x
2
※ ① e
x2
 1 ∽ x 2 ( x 2  0)
 x 0
② 等价无穷小罗比塔法则综合使用
6. 连续可导的定义及关系
7. 间断点的判断及类型
8. 微分中值定理的条件与结论
9. 极值的充要条件
① 充分 ：三角函数
② 必要 ：若在某点有极值，则在此点导数为0
10. 驻点与极值的关系
11. 左、右极值的概念
分段函数分段点处讨论连续性，求导
12. 导数定义 （根据表达式及其变化）
13. 凹凸性定义 拐点定义 曲率定义及计算
14. 不定积分与原函数的定义
15. 定积分的几何意义
一、填空
1
x
lim f(x)=   。
 f(x)= 0 ,
1、设f(x)=cosx+ e ，则 xlim
0
x 0
1
 sin x 的水平渐近线为 y  0 ，
2、曲线y =
x 1
垂直渐近线为 x  1。
n
3、已知 lim
=A（A  0 ，A
b
n   n  ( n  1) k
 ），
则k= 2000 。
f (3x)  f (0)
lim
 3a
4、已知 f (0)  a, 则 x  0
x
f ( x0  mx)  f ( x0  nx)
x
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0  mx)  f ( x0 )
= lim m
lim
n
+
x

0
x 0
 nx
mx
lim
5、设f(x)可导，则，x
0
 m  n f ( x0 )
6、 lim
x 0

x
0
sin( t 2 )dt
x3
1
7、定义f(0)= 0 , st f(x) = x sin x ,在x = 0连续。
sin 2 (nx)  (n  1) 2
1
3
8、 lim
n 
x
9、设f(x) = e x , g(x) = sinx , 则 f g ( x)  f g ( x)
= e sin x cos x  e cos x
1 2x
e  e c

f
(ln
x
)

1

x
,
10、设
则 f(x) =
2
x
x
t
e
11、函数F(x) = 0 cos tdt在[0, x]上的极大值
b
12、设 f (a)  A, f (b)  B, 则 f ( x) f ( x)dx 
a
13、f(x)=在[1，4]上满足拉格朗日中值定理，
则________。
14、当 x  0 时，x 2是 1  x 2  1 的 同阶 无穷小。
15、当 x  0 时，(e x  1) sin x 是 x 2 的 等价 无穷小。
x
1
16、F（x）= 1 (2  )dt , (x>1) 的的单调减区间
t
__________。
17、设 lim
x n
f ( x )  f ( n)
=1，则f(x)在x = a 处
2
( x  n)
A、 f (a)存在，f (a)  1
B、导数不存在
C、取得极小值
D、取得最大值
A。
1
3
18、 f(x) = x sin x在x = 0处 C 。
A. 不连续
B. 连续但不可导
C. 可导但导函数不连续
D. 偶函数
19、曲线 y = e  x 与x轴之间的面积为_________。

x
20、n 为正整数，0 x e dx= _________。
9
21、f(x) = x sin x e cos x (  x  ) 是________。
A、有界函数
B、单调函数
C、周期函数
D、偶函数
a
22、0
xdx
a x
2
2
dx

23、1
x ln x

2
a
x

a
x
2t
lim (
)

te
24、已知 x x  a
 dt，则a = ________。
二、计算
（一） 求极限方法
1、代数方法（去零因子、通分、根有理化、恒等
变形、分子分母同除x的最高次等）。
sin x
2、两个重要极限公式的灵活运用 lim
= 1,
x 0
x
1
lim (1  x) x  e x   n  
x 0
0 
3、罗必塔法则（7种未定式的求法）0 、
（通用代数变形）0   、  、10、 0 、0 0
4、等价无穷小替换的灵活运用（通过代数变形）。
5、幂指函数型 1 ， 0，0 0 求极限——对数法！！
6、无穷小x有界函数=无穷小。
7、利用函数连续性求极限。
8、变限函数在求极限中
练习 2-1
xa x
(
)
(1) lim
x  x  a
(2) lim (a  3 x )
1
x
x 0
x
lim
(1
+
xe
)
(3) x0
1
x
x 1
1
(
)
(4) lim
x 0
a 1
1
ln( 1  )
x
(5) lim
x   arc cot x
a
(6) lim
x 
x
1
ctg
x
(7) lim (1  ln sin
x 2
1
x

x
)x
( a>0 , a≠1 )
1  3x  1  x
(8) lim
x 0
2x
(9) lim
x 0
tan x 2
1  cos
x
2
(e x  1)ctgx
(10) lim
x 0
cos x
x  2 x 1
)
(11) lim (
x   x  1
5x  7
x  2
1
x sin
x
(12) lim
ln( 1  2 x sin x)
(13) lim
x 0
1  cos 2 x
ctgx cos 2 x
(

)
(14) lim
x 0
x
x sin x
1
sin x x 2
)
x 0
x
求导数(微分)
(15) lim (
(二)
1. 熟悉导数定义的极限表达式运算
2. 复合函数可导(注意:抽象复合函数可导)
dy d 2 y
3. 隐函数求 dx , dx 2
dy d 2 y
4. 参数方程求 dx , dx 2
5. 变限积分在上面n种情况下求导
6. 分段函数求导(注意:分段点处的求法)
练习 2-2
1. y  (arcsin xex ) 2 , 求 y 
2. y  2
x2
ln x
, 求dy
2 sin x
y

(
1

x
) 求y 
3.
2
求 y
y

ln
f
(sin
x), f (t) 可导，
4.
y
dy
2
2
5. arctan  ln x  y , 求
x
dx
d2y
 x  f (t )
6. 
f (t )  0, 求
(
)

dx
y

f
(
t
)
t

f
(
t
)

0）处两切线，
7. 求曲线 xey  y  1在点（1，
法线的方程
2
 x  cos(t 2 )
1
d
y

,
cos
udu
,
求
8. 设 , 
t2
2
dx
 y  tan x(t )  1 2 u


9. 已知 y  f x 2  , 其中f为可微正值函数,求 dy
1
x
x
10. 求
d  ( x 2  t 2 ) f (t )dt
0
dx
(三) 求积分
1. 凑微分法
2. 换元法
3. 分步积分法
4. 奇偶函数在对称区间上的积分
5. 换元法与分步积分法的结合
6. 一些小技巧
7. 关于定积分的证明题,综合题
练习 2-3
x
  cos( e )
dx
1. 0
x
e
ln cos x
dx
2. 
2
cos x
1
x
dx
3. 
2
1 x
1
dx
4. 
2
x(1  ln x)
1
dx
5. 
2 2
(1  x )
ln 2
6. 0
7.

e x  1dx

x sin 2 xdx
2
0
3
sin
(x) cos(x)dx
8. 
x 1
9.  2 ln x  dx
x
a
xa x
(
)   te 2t dt , 求a
13. 已知 xlim

  x  a
1
1 x
dx
14.  21 lg

1 x
2
15.
1

1
( x  4  x 2 ) 2 dx