Transcript 1．对数函数的图象和性质．

2.2.2
对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质
新知探究
题型探究
感悟提升
【课标要求】
1．理解对数函数的概念．
2．初步掌握对数函数的图象及性质．
3．会类比指数函数，研究对数函数的性质．
【核心扫描】
1．对数函数的图象和性质．(重点)
2．判断函数是否为对数函数．(易错点)
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新知导学
1．对数函数的概念
函数 y＝logax(a>0，且a≠1)
叫做对数函数．其中x是自
变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
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2．对数函数的图象及性质
a>1
0<a<1
图象
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定义域为 (0，＋∞) ，值域为 R
图象都过定点 (1,0)，即 x＝1 时， y＝0 .
性质 当x>1时， y>0 ；
当0<x<1时，y<0
当x>1时， y<0 ；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是 增函数 在(0，＋∞)上是 减函数
温馨提示：牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图
1
象经过点：(1,0)，(a,1)和(a，－1)．
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3．反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和
y＝ax(a>0且a≠1) 互为
反函数．
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互动探究
探究点1 函数y＝ax与y＝logax的定义域与值域有什么关系？
提示
y＝ax 的定义域为R，值域为(0，＋∞)，y＝logax的定
义域为(0，＋∞)，值域为R，即它们的定义域和值域互换．
探究点2 logab的值在什么情况下是正数？在什么情况下是负
数？
提示
当a和b都大于1或a和b都在(0,1)之间时，logab的值是
正数；当a和b的值有一个大于1另一个在(0,1)之间时，logab
的值是负数．
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探究点3 函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象的位置有
何影响？
提示
函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影
响
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观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象向右
越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象向右越靠近x轴．
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，
对应的对数函数的底数越大．
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类型一
对数函数的概念
【例1】 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1
[思路探索]
严格按照对数函数的形式判断，对于形似的函
数要辨别清楚．
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解
(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．
[规律方法]
1.同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定
义，如y＝2log2x，y＝log2x2 等都不是对数函数 ，只有y＝
logax(a>0，且a≠1)才是．
2．判定一个函数为对数函数，必须满足：
(1)logax的系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对
数的真数仅有自变量x.
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【活学活用1】 下列函数中是对数函数的有
(
)．
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；
③y＝ln
；
④y＝logx(x＋2)；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析
上述4个函数均不符合对数函数的定义，没有对数函
数．
答案
A
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类型二
与对数函数有关的定义域问题
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝ lg2－x；
1
(2)y＝
；
log33x－2
(3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[思路探索] 使每个式子有意义即可，列出不等式(组)求解．
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解
lg2－x≥0，
(1)由题意得
2－x>0，
2－x≥1，
即
2－x>0.
∴x≤1，即y＝ lg2－x的定义域为{x|x≤1}．
log 3x－2≠0，
3

(2)由
3x－2>0，
3x－2≠1，
得
3x>2，
2
解得x> ，且x≠1.
3
1
2
∴y＝
的定义域为{x|x> ，且x≠1}．
3
log33x－2
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－4x＋8>0，

(3)由题意得2x－1>0，
2x－1≠1，

x<2，
 1
解得x>2，

x≠1.
∴y＝log(2x－1)(8－4x)的定义域是
 1

x| <x<2，且x≠1.
 2

[规律方法]
求与对数函数有关的定义域时应注意以下几点：
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，
偶次根式被开方式大于或等于零等．
(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零，二是底数大于
零且不等于1.
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【活学活用2】 求下列函数的定义域：
1
lg x
(1)y＝
；(2)y＝
；
lgx－1－1
x－1
(3)y＝log(x－2) 3x－4.
解
lgx－1－1≠0，
(1)要使函数有意义，须满足
x－1＞0，
x＞1，
即
x≠11.
∴函数的定义域为{x|x>1且x≠11}．
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x>0，
(2)要使函数有意义，须满足
x－1≠0，
即x>0且x≠1，
∴函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
x－2>0，

(3)要使函数有意义，须满足x－2≠1，
3x－4>0，

∴x>2且x≠3，
∴函数的定义域为{x|x>2且x≠3}．
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类型三
对数函数的图象
【例3】 画出函数y＝|log2x|＋2的图象．
[思路探索]
解
y＝log2x → y＝|log2x| → y＝|log2x|＋2
第一步：作出y＝log2x的图象，如图(1)．
第二步：将y＝log2x的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻
折到x轴的上方得y＝|log2x|的图象，如图(2)．
第三步：将y＝|log2x|的图象沿y轴方向向上平移2个单位，得到
y＝|log2x|＋2的图象，如图(3)．
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[规律方法]
1.对数函数的图象过定点(1,0)，且底数a与1的
大小影响图象的升降变化．
2．含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，
y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把
x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的．
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【活学活用3】 已知函数y＝
loga(x＋b)的图象如图所示，
(1)求实数a与b的值．
(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax
图象有何关系？
解
(1)由图象可知，函数的图象过(－3,0)点与(0,2)点，所以
得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解出a＝2，b＝4.
(2)函数y＝loga(x＋4)的图象可以由y＝logax的图象向左平移4
个单位得到的．
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易错辨析
忽视底数影响对数函数的图象致错
【示例】 (2013·嘉兴高一检测)若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象
如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是
(
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)．
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[错解] 由f(x)的图象及定义域知0<b<1.∴g(x)的图象由t＝ax向
上平移b个单位，知g(x)>b，因此A项满足．
[错因分析] 1.未能由f(x)的图象分析出0<a<1，误认为a>1，
导致判定g(x)＝ax＋b是增函数的错误．
2．不熟悉底数对对数函数的图象的影响，盲目作答．
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[正解] 由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x
＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．
∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝ax ＋b在R上是减函数，故排除A，
B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝ax ＋b的图象应在直
线y＝b的上方，故排除C.
答案
D
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[防范措施]
1.在解答指数函数及对数函数图象问题时，要
特别关注底数a对函数图象及性质的影响．
2．观察函数图象时，要特别注意图象的纵坐标的取值范围
(值域)、横坐标的取值范围(定义域)与坐标轴的交点等信
息．
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1．(2013·泰安高一检测) 若 f(x)＝
，则 f(x)的定义域
为
(
)．
 1

A.－2，0


 1

B.－2，0∪(0，＋∞)


 1

C.－2，＋∞


 1

D.－2，2


解析
2x＋1>0，
根据题意得
2x＋1≠1，
 1

解得x∈－2，0∪(0，＋∞)．


答案
B
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1
2．设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝ ，则a＝
4
(
A．2
B．－2
1
C.
2
)．
1
D．－
2
解析 ∵函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x，
即g(x)＝2x.
1
1
a
又∵g(a)＝ ，∴2 ＝ ，∴a＝－2.
4
4
答案
B
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3．(2013·北京高一检测)已知函数f(x)＝
－log x，x>0，
3
 x
2 ，x≤0，
则f(3)＋f(－1)＝________.
1
解析 ∵f(3)＝－log33＝－1，f(－1)＝2 ＝ .
2
－1
1
1
∴f(3)＋f(－1)＝－1＋ ＝－ .
2
2
1
答案 －
2
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4．函数f(x)＝log2(x－5)－2的图象过定点________．
解析
令x－5＝1，∴x＝6，此时f(x)＝－2，∴函数过定
点(6，－2)．
答案
(6，－2)
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5．已知函数f(x)＝loga(x2－2)，且f(2)＝1.
(1)求a的值；(2)求f(3 2)的值．
解
(1)由f(2)＝1，得loga(22－2)＝1.
∴loga2＝1，则a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(x2－2)，
∴f(3 2)＝log2[(3 2)2－2]＝log216＝4.
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课堂小结
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m，n的大小与图象的位置关
系．当0<n<m<1时，如图①；当1<n<m时， 如图②；当
0<m<1<n时，如图③.
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2．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，
＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函
数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，
它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y
＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
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