Transcript 对数的运算

第2课时 对数的运算
新知探究
题型探究
感悟提升
【课标要求】
1．掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关
计算．
2．了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数
或常用对数．
【核心扫描】
1．利用对数的运算性质进行对数运算．(重点)
2．利用换底公式解题．(难点)
3．对数运算性质与指数运算性质．(易混点)
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新知导学
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.那么：
(1)loga(M·N)＝ logaM＋logaN.
M
(2)loga N ＝ logaM － logaN
(3)logaMn＝ nlogaM ，(n∈R)．
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2．换底公式
logcb
logab＝ logca (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1)．
n
温馨提示：常用结论(1)loganb ＝logab；(2)logamb ＝mlogab；
n
n
(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.
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互动探究
探究点 1 若 M·N>0，则式子 loga(M·N)＝logaM＋logaN 成立吗？
提示
不一定成立．当 M>0，N>0 时成立；当 M<0，N<0 时
不成立．
a＋b
探究点 2 已知 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log36＝ b 对吗？试说明
理由．
提示
对．利用换底公式
lg 6 lg 2＋lg 3 a＋b
log36＝
＝
＝ b .
lg 3
lg 3
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类型一
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
7
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
3
(2)
lg
27＋lg 8－3lg
lg 1.2
10
；
2
(3)lg 5 ＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
3
2
[思路探索] 灵活运用对数的运算性质求解．
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解
7
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18
3
＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)
＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
3
3
3
lg 3＋3lg 2－ lg 10
lg 3＋2lg 2－1
2
2
2
3
＝
＝
＝ .
2
lg 3＋2lg 2－1
lg 3＋2lg 2－1
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
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[规律方法]
1.对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正
用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数
值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
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【活学活用1】 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
3
2
lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg
5
5
(2)
lg 81－lg 27
解
3
.
(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
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4
9
1
lg 3＋ lg 3＋ lg 3－ lg 3
5
10
2
(2)原式＝
4lg 3－3lg 3

4 9 1
1＋ ＋ － lg
5 10 2

＝
3
4－3lg 3
11
＝ .
5
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类型二
换底公式的应用
【例 2】 计算下列各式的值：
(1)(log43＋log83)log32；
(2)log
22＋log27
9.
[思路探索] 先用换底公式化为同底的对数， 再利用运算性质
运算．
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解
 1
1 
(1)原式＝log 4＋log 8log32

3
3 
 1
1 
1 1 5


＝ 2log 2＋3log 2 log32＝ ＋ ＝ .
2 3 6

3
3 
[规律方法]
利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常
用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解
决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．
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【活学活用2】 (1)(log29)·(log34)＝
1
A.
4
1
B.
2
C．2
(
)．
D．4
1
1
1
(2)log2 ·log3 ·log5 ＝________.
25
8
9
解析
(1)(log29)·lg34＝(log232)·(log322)
＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4.
1 1
1
lg lg lg
25 8
9
(2)原式＝
· ·
lg 2 lg 3 lg 5
－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3
＝
＝－12.
lg 2lg 3lg5
答案
(1)D
(2)－12
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类型三
对数的实际应用
【例3】 (2013·南阳高一检测)一种放射性物质不断变化为其他
物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过
1
多少年，该物质的剩余量是原来的 (结果保留1位有效数字)？
3
(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[思路探索] 明确题意，找到剩余量与年数的关系，再用对数
计算．
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解
设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：
经过1年，剩余量是y＝0.75；
经过2年，剩余量是y＝0.752；
……
经过x年，剩余量是y＝0.75x；
1
由题意得0.75 ＝ ，
3
x
1
lg
－lg 3
3
1
∴x＝log0.75 ＝ ＝
≈4.
3
3 lg 3－lg 4
lg
4
1
∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的 .
3
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[规律方法]
解对数应用题的一般步骤为：
(1)理解题意，弄清各字母的含义 ；(2)恰当地设未知数，建
立对数模型；(3)利用运算性质以及换底公式求解对数模型；
(4)还原为实际问题，归纳结论．
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【活学活用3】 里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，
其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标
准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅
是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级
为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的
________倍．
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解析
由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以
此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的
A1
最大振幅为A2，则lg ＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－(lg A2
A2
A1
－lg A0)＝9－5＝4.所以 ＝104＝10 000.所以9级地震的最大振
A2
幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．
答案
6
10 000
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方法技巧
巧用辅助量化指数式为对数式
对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系，
对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求
值．如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，易
于沟通指对数间的关系，简化求解过程．
1 1 1
【示例】 已知2 ＝3 ＝6 ，证明 z ＝x＋y 或x＝y＝z.
x
y
z
1 1 1
[思路分析] 要想证明 z ＝x＋ y 或x＝y＝z，需将条件中x，y，z
表示出来，引入参数量2x＝3y＝6z＝k，进行指对数互化．
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解
令2x＝3y＝6z＝k>0，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k.
(1)若k＝1时，则x＝y＝z＝0.
1
(2)若k≠1时，则x＝logk2，
1
1
y＝logk3， z ＝logk6.
1 1
∴x＋ y＝logk2＋logk3＝logk6
1 1 1
故x＋ y＝ z .
1 1 1
综上(1)(2)知： z ＝x＋ y或x＝y＝z.
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[题后反思] 1.巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化
是解题的关键．
2．注意分类讨论思想的应用以及logab·logba＝1的应用．
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课堂达标
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)
(
)．
A．logax·logay＝loga(x＋y)
B．(logax)n＝nlogax
logax
n
C. n ＝loga x
logax
D.
＝logax－logay
logay
解析
根据对数的运算性质知，C正确．
答案
C
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log89
2．(2013·成都高一检测)式子
的值为
log23
(
2
A.
3
3
B.
2
C．2
D．3
)．
log2332 2 log23 2
解析 原式＝
＝ ·
＝ .
log23 3 log23 3
答案
A
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3．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________.
解析
lg 4 lg 8 lg m lg m
log34·log48·log8m＝
· ·
＝
＝log3m＝2，
lg 3 lg 4 lg 8 lg 3
∴m＝32＝9.
答案
9
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4．(2013·日照高一检测)计算3log32＋lg
1
2
－lg
5的结果是
________．
解析 原式＝2－lg 2－lg 5＝2－1＝1.
答案
1
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 3 

5．计算：(1)3log72－log79＋2log7
；
2
2


(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25；
n
(3)loga
1
1
a＋logaan＋loga n .
a
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解
9
(1)原式＝log78－log79＋log7 ＝log78－log79＋log79－log78
8
＝0.
(2)原式＝lg2(lg 2＋lg 50)＋2lg 5
＝lg 2·lg 100＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.
1
1
(3)原式＝n＋(－n)＋(－n)＝－n.
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课堂小结
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，
逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用
对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
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