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第三章
指數與對數
• 3－1
指數
• 3－2
指數函數及其圖形
• 3－3
對數
• 3－4
對數函數及其圖形
• 3－5
常用對數
回總目次
3-1 指數
1. 指數的意義
2. 正整數的指數律
3. 零指數與負整數指數
4. 分數指數
5. 有理數的指數律
指數的意義
設n為正整數，對於每一個實數a，我
們用符號an表示a自乘n次的乘積。即
a  a．a．a．
n
．a
n 個 a 相乘
讀作「a的n次方」，其中a稱為底數，
n稱為指數。
正整數的指數律
設a、b為實數，m 、n為正整數，則
1. am．an = am+n
2. (am)n = am n
3. (ab)n = an．bn
零指數與負整數指數
設a為實數，且a≠0，m 、n為正整數，則
1. a0=1
2.
3.
a–n=
m
1
n
a
a = a m–n
n
a
分數指數
設a > 0，n為正整數，m為整數，我們定義
1. 1= n a
m
n
2. a = ( n a )m = n a m
有理數的指數律
設a>0且b>0，r、s為有理數，則
1. ar．as = ar+s
2.
(ar)s = ar．s
3. (ab)r = ar．br
3-2
指數函數及其圖形
1. 指數函數的定義
2. y = 2x的圖形
3. 指數函數y = ax的圖形
4. 指數函數的基本性質
5. 指數不等關係
指數函數的定義
設a > 0，則函數y = f (x) = ax (x為實數)
稱為以a為底的指數函數。
當a = 1時：f (x) = ax =1x = 1為常數函數。
y = 2x的圖形
作y = f (x) = 2x的圖形：
x
…… –2 –1 0 1 2 3 ……
y = f (x) …… 1
4
1
2
1 2 4 8 ……
將上表中各對應數對描點，
用平滑曲線連接起來。
指數函數y =
x
a 的圖形
指數函數的基本性質
設a > 0，若f (x)=ax(x為實數)，則
1. f的定義域為全部實數，值域為所有正實數
2. 對於任意實數x1、x2，恆有
f (x1+x2)=f (x1)．f (x2)
3. y=f (x)=ax的圖形恆過點(0,1)，且在x軸的上方
4. 當a≠1時，平行於x軸且在x軸上方的任一直
線， 與y=f (x)=ax的圖形恰交於一個點
指數不等關係
設x1、x2為任意實數
1. 當a > 1時：ax1 < ax2 
2.
x1 < x2
當0 < a < 1時：ax1 < ax2 
x1 > x2
3-3 對數
1. 對數的意義
2. 指數與對數的關係
3. 對數運算性質(一)
4. 對數運算性質(二)
對數的意義
設a > 0且a≠1，當ax = b時，我們以符號
log a b來表示 x，即log a b = x，而 log a b
稱為以a為底數時b的對數，b稱為真數。
在log a b中，底數a > 0，且a≠1；真數
b > 0。
指數與對數的關係
ax=b 
log a b=x
例：34=81 
70=1
1
–3
2 =8

log381=4
log71=0
1
 log2 8 = –3
對數運算性質（一）
設a>0且a≠1，M、N為正實數，r為實數，則
1. loga 1=0；loga a=1
2. loga MN=loga M+loga N
3. loga M =loga M–loga N
N
4. loga Mr=rloga M；log a r M= 1 loga M
r
5. logaar=r；alogaM=M
log M
b
6. (換底公式)：loga M=
(其中b為異於1的正數)
log a
b
對數運算性質（二）
設a、b、c為異於1之正數，M > 0，d > 0，
r、s為實數， 則
7.
1
loga M = – logaM
8. (logab)(logba)=1(即logab= 1 )
log b a
9. log r M s= s logaM
a
r
10. (logab)(logbc)(logcd) = logad
3-4 對數函數及其圖形
1. 對數函數的定義
2. y = log2 x的圖形
3. y = ax與y = loga x圖形比較
4. 對數函數的基本性質
5. 對數不等關係
對數函數的定義
設a > 0且a≠1，則函數y = f (x) = loga x
(x > 0) ，稱為以a為底數的對數函數。
y = log2 x的圖形
作y = f (x) = log2 x的圖形：
…… 1 1 1 2 4 8 ……
4 2
y = f (x) …… –2 –1 0 1 2 3 ……
x
將上表各對應數對描點，
用平滑曲線連接起來。
y=
x
a 與y
= loga x圖形比較
y = log a x的圖形與y = a x的圖形對稱於直線y = x
對數函數的基本性質
設a > 0且a≠1，若f (x) = log a x (x>0)，則
1.
f 的定義域為所有正實數，而值域為全部實數
2. 對於任意正數x1、x2恆有f (x1．x2) = f (x1) + f (x2)
3. y = f (x) = log a x的圖形恆過點(1,0)，且在y軸右方
4. 平行於x軸的任一直線，與y = f (x) = log a x的圖形
恰交於一個點
對數不等關係
設x1、x2為正實數
1. 當a >1時：log a x1 < log a x2 
x 1< x 2
2. 當0 < a <1時：log a x1 < log a x2 
x 1> x 2
3-5 常用對數
1. 常用對數
2. 常用對數表查表
3. 常用對數的首數、尾數
4. 常用對數首數與真數的關係
常用對數
在數字的運算上，我們常採用十進位
制，因此我們將以10為底的對數稱為
常用對數，記作log10 x，或簡記為log x
(將底數10省略不寫)。
常用對數表查表
log 5.67 = 0.7536；
log 5.676 = 0.7536 + 0.0005 = 0.7641
常用對數的首數、 尾數
x > 0，設log x = n +α，其中n為整數，且0
≤ α< 1，則n稱為x的常用對數log x的首數，
α稱為尾數。
常用對數首數與真數的關係
logx = n(首數)+α(尾數)(其中n為整數，0 ≤α< 1)
1. 若真數x > 1，且x的整數部分為m位數時，則
首數n = m –1。
2. 若真數x < 1(即0 < x < 1)，且x在小數點後第
m 位以前均為0，且第m位開始不是0，則首
數n = –m 。