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Ch1 數與式
1-2 數線上的幾何
製作老師：趙益男/基隆女中教師
發行公司：龍騰文化事業股份有限公司
Slide 2
甲、兩點距離公式與分點公式
設點A與點B的坐標分別為a與b m , n 為正數
(1) A與B的距離 A B a b
說 明 : 設數線上兩點A與B的坐標分別為a與b
(以符號 A ( a ), B ( b ) 表示)
課本頁次：21
Slide 3
甲、兩點距離公式與分點公式
設點A與點B的坐標分別為a與b m , n 為正數
(2)若P點在 A B 上, 且 A P : B P m : n 則
P點坐標為
m b na
mn
特別的, 當P是 A B 中點時(即 m n 1 ),
P點坐標為
課本頁次：21
a 1 b 1
11
ab
2
Slide 4
分點公式
A a , B b ,
P 點 在 A B上 且 A P : B P m : n
na m b
mn
則 P點 坐 標 為 ________
A
証 : 設 P點 坐 標 為 x
m
n
AP
BP
xa
bx
m b m x nx na
a
m
B
b
x
na m b
mn
na m b m x nx m n x x
課本頁次：21
n
P
na m b
mn
Slide 5
例1 數線上兩點A(1), B(15)﹒
(1)求 A B 的長
解 :
A B 1 5 1 16
(2)已知P(x)點在 A B 上, 且 A P : B P 3 : 5
5
求 x= ______﹒
3
A
1
解 :
x
課本頁次：22
3 15 5 ( 1)
35
40
8
P
x
5
5
B
15
Slide 6
例1 數線上兩點A(1), B(15)﹒
(3) 已知Q(y)點在 A B 外一點, 且
AQ : BQ 3 : 5
25
求 y= ______﹒
解 :
2
1
3 15 2 y
課本頁次：22
3 2
5 45 2 y
y 25
Slide 7
隨1 數線上兩點A(12), B(6)﹒
(1)求 A B 的長
A B 1 2 6 18
解 :
(2) P(x)點與Q(y)點在 A B 之間, 且 A P P Q Q B
6
0
求 x= ___﹒
y= ___﹒
解 :
x
2 12 1 ( 6)
課本頁次：22
2 1
B
Q
P
A
6
y
x
12
6 y
，
1 12 2 ( 6)
1 2
0
Slide 8
隨1 數線上兩點A(12), B(6)﹒
(3) 已知R(x)點在 A B 外一點, 且
AR : BR 7 : 1
9
求 x= ______﹒
解 :
7
R 1B
x
6
6
6 x 1 12
課本頁次：22
6
1 6
A
12
42 12 6 x
x 9
Slide 9
例2 設 a b P1 , P2 , P3 , P4 , P5 分別是 a , b 間
的5個等分點 如圖所示
A
a
P1
P2
P3
P4
P5
B
b
(1) a 5 b , a b , 2 a b 分別是哪些點的坐標？
6
2
3
P5
P3
P2
ab
3
a
3
b
a
5
b
解 :P (
)
) P3 (
), P3 (
5
2
6
6
2a b
4a 2b
)
P2 (
) P2 (
3
6
課本頁次：23
Slide 10
例2 設 a b P1 , P2 , P3 , P4 , P5 分別是 a , b 間
的5個等分點 如圖所示
A
P1
P2
P3
a
P4
P5
B
b
(1) a 5 b , a b , 2 a b 分別是哪些點的坐標？
6
2
3
P5
P3
P2
a 5b a b 2 a b
(2) 比較
三數的大小
,
,
6
2
3
a 5b a b 2 a b
解 :
P5 P3 P2
6
2
3
課本頁次：23
Slide 11
隨2 設 a b 比較下列各數的大小:
P
ab
, Q
3a b
, R
2
4
4a 4b
6a 2b
8
8
3a 5b
8
解 :
a
Q
P
R
R PQ
課本頁次：23
b
Slide 12
乙、含絕對值的一次方程式與不等式
設 k 是正實數
(1) 若 x k 則 x k 或 x k
k
k
k
0
k
例 : 若 x 3 則 x 3 或 x 3
3
3
3
課本頁次：23
0
3
Slide 13
乙、含絕對值的一次方程式與不等式
設 k 是正實數
(2) 若 x k 則 k x k
k
k
k
0
k
例 : 若 x 3 則 3 x 3
3
3
3
課本頁次：24
0
3
Slide 14
乙、含絕對值的一次方程式與不等式
設 k 是正實數
(3) 若 x k 則 x k 或 x k
k
k
k
0
k
例 : 若 x 3 則 x 3 或 x 3
3
3
3
課本頁次：24
0
3
Slide 15
例3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(1) x 2 3
解 (二 ) :
解 (一 ) : x 2 3
x 2 3 或 x 2 3
x 2 3 是表示
x是數線上與2的距離
x 5 或 1
等於3的點
3
1
課本頁次：24
3
x 5或 1
2
5
Slide 16
例3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(2) x 1 3
解 (一 ) :
解 (二 ) :
x 1 3
3 x 1 3
4 x 2
課本頁次：24
表示x是數線上與-1的距離
小於或是等於3的點
3
4
x 1 3 x ( 1) 3
3
1
4 x 2
2
Slide 17
例3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(3) 2 x 1 5
解 (二 ) :
解 (一 ) : 2 x 1 5
2 x 1 5 或 2 x 1 5
2 x 6 或 2 x 4
x 3 或 x 2
5
5
2
2
2
1
2
課本頁次：24
2x 1 5 x
1
2
1
x是數線上與 的距離
2
5
大於 的點
2
x 3 或 x 2
3
5
2
Slide 18
隨3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(1) x 1 5
解 (一 ) :
解 (二 ) :
x 1 5
x 1 5 或 x 1 5
x 1 5 是表示
x是數線上與1的距離
x 6 或 4
等於5的點
5
4
課本頁次：25
5
x 6或 4
1
6
Slide 19
隨3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(2) x 1 5
解 (一 ) :
解 (二 ) :
x 1 5
x 1 5 表示
x 1 5 或 x 1 5
x是數線上與1的距離
x 6 或 x 4
5
4
課本頁次：25
大於5的點
5
x 6 或 x 4
1
6
Slide 20
隨3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(3) 2 x 3 2
解 (一 ) : 2 x 3 2
2 2 x 3 2
5 2 x 1
5 x1
2
2
1
5
2
課本頁次：25
3
2
解 (二 ) :
2 x 3 2 x (
表示x是數線上與
3
2
3
) 1
2
的距離
小於或是等於1的點
1
1
2
5
2
x
1
2
Slide 21
例4 解下列各不等式
x3 2
(1)
x 1 1
解 :由
得 2 x 3 2 1 x 5
x 1 1
由得
1 x 1 1
0 x2
1 x 2
0
課本頁次：26
1
2
5
Slide 22
例4 解下列各不等式
(2) 1 2 x 1 5
解 :由
2x 1 5
1 2x 1
得 5 2 x 1 5 4 2 x 6
由得
1 2x 1
2 x 3
2 x 1 1 或 2 x 1 1
x 1 或 x 0
2 x 0 或 1 x 3
-2
課本頁次：26
0
1
3
Slide 23
隨4 解下列各不等式
3 x 2
(1)
x2 4
解 :由
得 x 3 2 或 x 3 2
由得
x5 或
x2 4
x 1
4 x24
2 x 6
2 x 1 或 5 x 6
-2
1
課本頁次：27
5
6
Slide 24
隨4 解下列各不等式
(2) 3 2 x 1 7
解 :由
2x 1 7
3 2x 1
得 7 2 x 1 7 8 2 x 6
由得
3 2x 1
4 x 3
2 x 1> 3 或 2 x 1< 3
x >1 或 x < 2
4 x 2 或 1 x 3
-4
課本頁次：27
-2
1
3
Slide 25
例5 解不等式 x 5 2 x 4
解 :
x50 x 5
2x 4 0 x 2
-1
1
x5
2
2 x 5 5 x 2x 4
x2
5
2 x 3
5 x 4 2x
x 1
由 1 , 2 , 3 得
課本頁次：27
3
x 5 2 x 4 1 x
9 3x 3 x
3
2
1 x 2
1 x 3
Slide 26
隨5 解不等式 x 1 2 x 4
解 : x 1 0 x 1
2x 4 0 x 2
1
x2
2 1
-1
x 1 2x 4
x 1
5 x
1 x 1
x 1 4 2x
x5
由 1 , 2 , 3 得
課本頁次：27
5
x 2 x 1 4 2x
3x 3 x 1
3
1 2
x 1
x 1 或 x 5
Slide 27
例6 郊區一筆直的路段設有自來水廠與電廠各一座﹐
其坐標如圖
自來水廠
電廠
為了回饋沿路居民﹐水電的基本費計算方式為：
「住戶到電廠距離的2倍加上住戶到水廠的距離
為該用戶的水電基本費﹒」
試求該路段基本費不超過15元的區域範圍﹒
解 : 設該路段上的住家坐標為 x
2 | x 4 | | x ( 2 ) | 15
課本頁次：28
Slide 28
例6 2 | x 4 | | x 2 | 15
2 | x 4 | | x ( 2 ) | 15
課本頁次：28
Slide 29
例6 2 | x 4 | | x 2 | 15
x40 x4
x 2 0 x 2
1
x4
4
-3 -2
2( x 4 ) x 2 15
3 x 21 x 7
2 2
4 x 7
x 4 2(4 x ) x 2 15
x 5 x 5
3
7
x 2
2 x 4
2(4 x ) x 2 15
3x 9 x 3 3 x 2
由 1 , 2 , 3 得 3 x 7
課本頁次：28
Slide 30
例7 設a, b為實數, 試證明 a b a b
証 :
ab
2
a b
2
2
a 2ab b
a
2
2
2 a b b
ab a b
2
a
ab a b
等號成立時﹐ ab | ab | ﹐
即 a , b 同號或至少有一為0﹒
課本頁次：29
b
2
Slide 31
隨7 設a, b為實數, 試證明
ab a b
並求等號成立的條件﹒
証 :
ab
2
a b
2
2
a 2ab b
a
2
2
2 a b b
2
a
2 ab 2 ab 2 a b
ab a b
等號成立時﹐ ab | ab | ﹐
即 a , b 異號或至少有一為0﹒
課本頁次：29
b
2
Slide 32
例8 設 x 為實數﹐求
| x 2 | | x 1 | 的最小值﹒
解： | x 2 | | x 1 |
| 2 x | | x 1 | | (2 x ) ( x 1) | 3
∴
| x 2 | | x 1 | 的最小值為3﹒
課本頁次：29
Slide 33
例8 設 x 為實數﹐求
| x 2 | | x 1 | 的最小值﹒
另解： 數線上A(2), B(1)﹐
設 P ( x ) 為數線上任一點﹐
| x 2 | | x 1 | AP BP
其最小值為 A B 2 ( 1) 3
∴
課本頁次：29
B
P
A
1
x
2
| x 2 | | x 1 | 的最小值為3﹒
Slide 34
隨8 (1) 設 x 為實數﹐求
| x 6 | | x 1 | 的最小值﹒
解： | x 6 | | x 1 |
| 6 x | | x 1 | | (6 x ) ( x 1) | 7
∴
| x 6 | | x 1 | 的最小值為7﹒
課本頁次：29
Slide 35
隨8 (1) 設 x 為實數﹐求
| x 6 | | x 1 | 的最小值﹒
另解： 數線上A(6), B(1)﹐
設 P ( x ) 為數線上任一點﹐
| x 6 | | x 1 | AP BP
其最小值為 A B 6 ( 1) 7
∴
課本頁次：29
B
P
1
x
A
6
| x 6 | | x 1 | 的最小值為7﹒
Slide 36
隨8 (2) 解不等式 | x 6 | | x 1 | 5
解：
∵
| x 6 | | x 1|
∴
| x 6 | | x 1 | 5 無實數解
課本頁次：29
的最小值為7
Slide 37
離開確認
你確定要離開嗎？
Ch1 數與式
1-2 數線上的幾何
製作老師：趙益男/基隆女中教師
發行公司：龍騰文化事業股份有限公司
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甲、兩點距離公式與分點公式
設點A與點B的坐標分別為a與b m , n 為正數
(1) A與B的距離 A B a b
說 明 : 設數線上兩點A與B的坐標分別為a與b
(以符號 A ( a ), B ( b ) 表示)
課本頁次：21
Slide 3
甲、兩點距離公式與分點公式
設點A與點B的坐標分別為a與b m , n 為正數
(2)若P點在 A B 上, 且 A P : B P m : n 則
P點坐標為
m b na
mn
特別的, 當P是 A B 中點時(即 m n 1 ),
P點坐標為
課本頁次：21
a 1 b 1
11
ab
2
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分點公式
A a , B b ,
P 點 在 A B上 且 A P : B P m : n
na m b
mn
則 P點 坐 標 為 ________
A
証 : 設 P點 坐 標 為 x
m
n
AP
BP
xa
bx
m b m x nx na
a
m
B
b
x
na m b
mn
na m b m x nx m n x x
課本頁次：21
n
P
na m b
mn
Slide 5
例1 數線上兩點A(1), B(15)﹒
(1)求 A B 的長
解 :
A B 1 5 1 16
(2)已知P(x)點在 A B 上, 且 A P : B P 3 : 5
5
求 x= ______﹒
3
A
1
解 :
x
課本頁次：22
3 15 5 ( 1)
35
40
8
P
x
5
5
B
15
Slide 6
例1 數線上兩點A(1), B(15)﹒
(3) 已知Q(y)點在 A B 外一點, 且
AQ : BQ 3 : 5
25
求 y= ______﹒
解 :
2
1
3 15 2 y
課本頁次：22
3 2
5 45 2 y
y 25
Slide 7
隨1 數線上兩點A(12), B(6)﹒
(1)求 A B 的長
A B 1 2 6 18
解 :
(2) P(x)點與Q(y)點在 A B 之間, 且 A P P Q Q B
6
0
求 x= ___﹒
y= ___﹒
解 :
x
2 12 1 ( 6)
課本頁次：22
2 1
B
Q
P
A
6
y
x
12
6 y
，
1 12 2 ( 6)
1 2
0
Slide 8
隨1 數線上兩點A(12), B(6)﹒
(3) 已知R(x)點在 A B 外一點, 且
AR : BR 7 : 1
9
求 x= ______﹒
解 :
7
R 1B
x
6
6
6 x 1 12
課本頁次：22
6
1 6
A
12
42 12 6 x
x 9
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例2 設 a b P1 , P2 , P3 , P4 , P5 分別是 a , b 間
的5個等分點 如圖所示
A
a
P1
P2
P3
P4
P5
B
b
(1) a 5 b , a b , 2 a b 分別是哪些點的坐標？
6
2
3
P5
P3
P2
ab
3
a
3
b
a
5
b
解 :P (
)
) P3 (
), P3 (
5
2
6
6
2a b
4a 2b
)
P2 (
) P2 (
3
6
課本頁次：23
Slide 10
例2 設 a b P1 , P2 , P3 , P4 , P5 分別是 a , b 間
的5個等分點 如圖所示
A
P1
P2
P3
a
P4
P5
B
b
(1) a 5 b , a b , 2 a b 分別是哪些點的坐標？
6
2
3
P5
P3
P2
a 5b a b 2 a b
(2) 比較
三數的大小
,
,
6
2
3
a 5b a b 2 a b
解 :
P5 P3 P2
6
2
3
課本頁次：23
Slide 11
隨2 設 a b 比較下列各數的大小:
P
ab
, Q
3a b
, R
2
4
4a 4b
6a 2b
8
8
3a 5b
8
解 :
a
Q
P
R
R PQ
課本頁次：23
b
Slide 12
乙、含絕對值的一次方程式與不等式
設 k 是正實數
(1) 若 x k 則 x k 或 x k
k
k
k
0
k
例 : 若 x 3 則 x 3 或 x 3
3
3
3
課本頁次：23
0
3
Slide 13
乙、含絕對值的一次方程式與不等式
設 k 是正實數
(2) 若 x k 則 k x k
k
k
k
0
k
例 : 若 x 3 則 3 x 3
3
3
3
課本頁次：24
0
3
Slide 14
乙、含絕對值的一次方程式與不等式
設 k 是正實數
(3) 若 x k 則 x k 或 x k
k
k
k
0
k
例 : 若 x 3 則 x 3 或 x 3
3
3
3
課本頁次：24
0
3
Slide 15
例3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(1) x 2 3
解 (二 ) :
解 (一 ) : x 2 3
x 2 3 或 x 2 3
x 2 3 是表示
x是數線上與2的距離
x 5 或 1
等於3的點
3
1
課本頁次：24
3
x 5或 1
2
5
Slide 16
例3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(2) x 1 3
解 (一 ) :
解 (二 ) :
x 1 3
3 x 1 3
4 x 2
課本頁次：24
表示x是數線上與-1的距離
小於或是等於3的點
3
4
x 1 3 x ( 1) 3
3
1
4 x 2
2
Slide 17
例3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(3) 2 x 1 5
解 (二 ) :
解 (一 ) : 2 x 1 5
2 x 1 5 或 2 x 1 5
2 x 6 或 2 x 4
x 3 或 x 2
5
5
2
2
2
1
2
課本頁次：24
2x 1 5 x
1
2
1
x是數線上與 的距離
2
5
大於 的點
2
x 3 或 x 2
3
5
2
Slide 18
隨3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(1) x 1 5
解 (一 ) :
解 (二 ) :
x 1 5
x 1 5 或 x 1 5
x 1 5 是表示
x是數線上與1的距離
x 6 或 4
等於5的點
5
4
課本頁次：25
5
x 6或 4
1
6
Slide 19
隨3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(2) x 1 5
解 (一 ) :
解 (二 ) :
x 1 5
x 1 5 表示
x 1 5 或 x 1 5
x是數線上與1的距離
x 6 或 x 4
5
4
課本頁次：25
大於5的點
5
x 6 或 x 4
1
6
Slide 20
隨3 解下列各式, 並在數線上標示其解
(3) 2 x 3 2
解 (一 ) : 2 x 3 2
2 2 x 3 2
5 2 x 1
5 x1
2
2
1
5
2
課本頁次：25
3
2
解 (二 ) :
2 x 3 2 x (
表示x是數線上與
3
2
3
) 1
2
的距離
小於或是等於1的點
1
1
2
5
2
x
1
2
Slide 21
例4 解下列各不等式
x3 2
(1)
x 1 1
解 :由
得 2 x 3 2 1 x 5
x 1 1
由得
1 x 1 1
0 x2
1 x 2
0
課本頁次：26
1
2
5
Slide 22
例4 解下列各不等式
(2) 1 2 x 1 5
解 :由
2x 1 5
1 2x 1
得 5 2 x 1 5 4 2 x 6
由得
1 2x 1
2 x 3
2 x 1 1 或 2 x 1 1
x 1 或 x 0
2 x 0 或 1 x 3
-2
課本頁次：26
0
1
3
Slide 23
隨4 解下列各不等式
3 x 2
(1)
x2 4
解 :由
得 x 3 2 或 x 3 2
由得
x5 或
x2 4
x 1
4 x24
2 x 6
2 x 1 或 5 x 6
-2
1
課本頁次：27
5
6
Slide 24
隨4 解下列各不等式
(2) 3 2 x 1 7
解 :由
2x 1 7
3 2x 1
得 7 2 x 1 7 8 2 x 6
由得
3 2x 1
4 x 3
2 x 1> 3 或 2 x 1< 3
x >1 或 x < 2
4 x 2 或 1 x 3
-4
課本頁次：27
-2
1
3
Slide 25
例5 解不等式 x 5 2 x 4
解 :
x50 x 5
2x 4 0 x 2
-1
1
x5
2
2 x 5 5 x 2x 4
x2
5
2 x 3
5 x 4 2x
x 1
由 1 , 2 , 3 得
課本頁次：27
3
x 5 2 x 4 1 x
9 3x 3 x
3
2
1 x 2
1 x 3
Slide 26
隨5 解不等式 x 1 2 x 4
解 : x 1 0 x 1
2x 4 0 x 2
1
x2
2 1
-1
x 1 2x 4
x 1
5 x
1 x 1
x 1 4 2x
x5
由 1 , 2 , 3 得
課本頁次：27
5
x 2 x 1 4 2x
3x 3 x 1
3
1 2
x 1
x 1 或 x 5
Slide 27
例6 郊區一筆直的路段設有自來水廠與電廠各一座﹐
其坐標如圖
自來水廠
電廠
為了回饋沿路居民﹐水電的基本費計算方式為：
「住戶到電廠距離的2倍加上住戶到水廠的距離
為該用戶的水電基本費﹒」
試求該路段基本費不超過15元的區域範圍﹒
解 : 設該路段上的住家坐標為 x
2 | x 4 | | x ( 2 ) | 15
課本頁次：28
Slide 28
例6 2 | x 4 | | x 2 | 15
2 | x 4 | | x ( 2 ) | 15
課本頁次：28
Slide 29
例6 2 | x 4 | | x 2 | 15
x40 x4
x 2 0 x 2
1
x4
4
-3 -2
2( x 4 ) x 2 15
3 x 21 x 7
2 2
4 x 7
x 4 2(4 x ) x 2 15
x 5 x 5
3
7
x 2
2 x 4
2(4 x ) x 2 15
3x 9 x 3 3 x 2
由 1 , 2 , 3 得 3 x 7
課本頁次：28
Slide 30
例7 設a, b為實數, 試證明 a b a b
証 :
ab
2
a b
2
2
a 2ab b
a
2
2
2 a b b
ab a b
2
a
ab a b
等號成立時﹐ ab | ab | ﹐
即 a , b 同號或至少有一為0﹒
課本頁次：29
b
2
Slide 31
隨7 設a, b為實數, 試證明
ab a b
並求等號成立的條件﹒
証 :
ab
2
a b
2
2
a 2ab b
a
2
2
2 a b b
2
a
2 ab 2 ab 2 a b
ab a b
等號成立時﹐ ab | ab | ﹐
即 a , b 異號或至少有一為0﹒
課本頁次：29
b
2
Slide 32
例8 設 x 為實數﹐求
| x 2 | | x 1 | 的最小值﹒
解： | x 2 | | x 1 |
| 2 x | | x 1 | | (2 x ) ( x 1) | 3
∴
| x 2 | | x 1 | 的最小值為3﹒
課本頁次：29
Slide 33
例8 設 x 為實數﹐求
| x 2 | | x 1 | 的最小值﹒
另解： 數線上A(2), B(1)﹐
設 P ( x ) 為數線上任一點﹐
| x 2 | | x 1 | AP BP
其最小值為 A B 2 ( 1) 3
∴
課本頁次：29
B
P
A
1
x
2
| x 2 | | x 1 | 的最小值為3﹒
Slide 34
隨8 (1) 設 x 為實數﹐求
| x 6 | | x 1 | 的最小值﹒
解： | x 6 | | x 1 |
| 6 x | | x 1 | | (6 x ) ( x 1) | 7
∴
| x 6 | | x 1 | 的最小值為7﹒
課本頁次：29
Slide 35
隨8 (1) 設 x 為實數﹐求
| x 6 | | x 1 | 的最小值﹒
另解： 數線上A(6), B(1)﹐
設 P ( x ) 為數線上任一點﹐
| x 6 | | x 1 | AP BP
其最小值為 A B 6 ( 1) 7
∴
課本頁次：29
B
P
1
x
A
6
| x 6 | | x 1 | 的最小值為7﹒
Slide 36
隨8 (2) 解不等式 | x 6 | | x 1 | 5
解：
∵
| x 6 | | x 1|
∴
| x 6 | | x 1 | 5 無實數解
課本頁次：29
的最小值為7
Slide 37
離開確認
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