Transcript Ch1 數與式 1-1 數與數線 製作老師：趙益男/基隆女中教師 發行公司：龍騰文化事業股份有限公司 甲、有理數 q 定義: 可以表成 的數, 稱為有理數 p 其中 p, q為整數, 且p  0 說明 : 1 所有整數都是有理數 n (任何一個整數n都可以寫成 )2 例如 : 2  課本頁次：2

Ch1 數與式
1-1 數與數線
製作老師：趙益男/基隆女中教師
發行公司：龍騰文化事業股份有限公司
甲、有理數
q
定義: 可以表成 的數, 稱為有理數
p
其中 p, q為整數, 且p  0
說明 :
1
所有整數都是有理數
n
(任何一個整數n都可以寫成
)
1
2
例如 : 2 
1
課本頁次：2
甲、有理數
q
定義: 可以表成 的數, 稱為有理數
p
其中 p, q為整數, 且p  0
說明 :
 2  有理數的表示法並不唯一
1 2 3
例如 :    
2 4 6
課本頁次：2
甲、有理數
q
定義: 可以表成 的數, 稱為有理數
p
其中 p, q為整數, 且p  0
說明 :
 3
任意兩個有理數作加、減、乘、除
（除數不可以是0）運算後仍然是有理數
2
5
2
4
8
2
5
8

15
23
例如 :
 
 ,    
3 4
12
12 3 4 3 5 15
課本頁次：2
甲、有理數
重要性質:
任意兩有理數加、減、乘、除（0不能當除數）
的結果﹐仍為有理數﹒
課本頁次：2
例1 將下列各數化成小數:
13
1
 0.325 有限小數 
40
解:
2
13
13
5
 3
 2
40 2  5 5

課本頁次：3
13  5
2
2 5
3
3

325
103
 0.325
例1 將下列各數化成小數:
15
2
 1.3636 
11
 1.36
解:
 循環小數 
課本頁次：3
1.3 6 36 
11 15
11
40
33
70
66
40
隨1 將下列各數化成小數:
1
3
 0.375 有限小數 
8
解:
3 3 53
 3  3
8 2
5

課本頁次：3
3 5
3
2 5
3
3

375
3
10
 0.375
隨1 將下列各數化成小數:
2
解:
1
7
1
 0.142857142857 
7
 0.142857  循環小數 
課本頁次：3
甲、有理數
重要性質:
有理數就是整數、有限小數或循環小數﹒
課本頁次：4
有理數Q作圖
C
4
在數線上標出代表 的點
3
解:
l
B
(1) 過原點作一直線l
A
(2) 在l上取A, B, C三點
使OA  AB  BC
(3) 連接PC
Q
0
1x
2
(4) 過A點作一線平行PC 且交數線於Q,
OA 1 x
4

   x  (有理點)
OC 3 4
3
課本頁次：4
3
P
4
隨堂
5
在數線上標出代表- 的點
4
解:
1
2
 3
4
l
D
C
過原點作一直線l
在l上取A, B, C , D四點
B
Q
A
使OA  AB  BC  CD
P
連接 PD
5 4 3 2 1 0
過A點作一線平行 PD
5
且交數線於Q, 則Q即- 的點
4
課本頁次：4
5

4
例如
3
1
2
2
1
課本頁次：4
5
4
3
2
2
2
3
2
7
4
2
有理數的綢密性
任兩個相異有理數之間﹐至少有一個有理數存在
課本頁次：5
隨堂
5
3
和
之間的有理數
試找出一個介於
4
2
解:
5 3

4 2
2
5
4
課本頁次：5
11
8
3
2
乙、無理數
定義:
數線上,「不是有理數的數」,稱為無理數
課本頁次：5
乙、無理數
例如 :
1
2 是無理數
2
2 2 是無理數
 3
3  2 也是無理數
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乙、無理數
重要性質:
a, b 是有理數 a  b 2  0  a  0 且 b  0
証 : 設b  0  b 2  a
a
 2   為有理數 矛盾
b
b  0  a  0
課本頁次：6
乙、無理數
注意:
a, b 是實數, a  b 2  0, 則未必a  0且 b  0
例 如 : a  2 , b  1
 a  b 2  2  2  0 也可以成立
課本頁次：6
例2 a, b 是有理數
2
則 a  ____
解:
2  2  a  5
2b  4  3 2
1
b  _____
2a  2a 5 2b  4  3 2
 ( 2a  4 )  ( a  5b  3 ) 2  0
a 2
 2a  4  0

 a  5b  3  0  b  1
課本頁次：6
隨2 a, b 是有理數
a (3  2 )  b(1  2 2 )  7 2  0
3
1
b  _____
則 a  ____
解:
3a  2a b  2 2b  7 2  0
 ( 3a  b )  ( a  2b  7 ) 2  0
 3a  b  0  2

 a  2b  7  0 
× 2＋
得 7a  7  0  a  1 代入   b  3
課本頁次：6
(二)平方根的尺規作圖_1
1
求作 2, 3,
1
1
1
4
5
3
2
1
課本頁次：6
1
(二)平方根的尺規作圖_2
2
求作 2, 3,
1
0
課本頁次：7
1
2
3 4
5
直角三角形相似性質
DAB中 若ADB  90 CD  AB
1
2
 3
ACD
DCB
AC : CD  CD : BC
D
2
CD  AC  BC
a
4
則
CD  ab
課本頁次：7
b
ab

A
a

C bB
(二)平方根的尺規作圖_3
 3
求作 6  1  6  2  3
6
6
3
2
1
課本頁次：7
6
隨堂 利用尺規作圖﹐在數線上標出代表 8 的點
解 : 8  42
8
4
4 3 2 1
課本頁次：7
2
0
1
2
8
(三)根式的化簡
含有根號的式子稱為根式
性質：設a﹐b為正數或0﹐則
1
a  b  ab
例如 :
2
a
a

b
b
b  0
2 3 2 3
12
12



2
5
25
25
5
2
「最簡根式
」
課本頁次：8
例3 化簡下列各式:
1
18  8  2
18  8 
解:
32  2 
22  2
3 2 2 2  2

2
3 2


3  2 1
解:

3 2
課本頁次：8

  3   2   3  2  1
3 2 
2
2
隨3 化簡下列各式:
1
12  48  27  3 3
解 : 12  48  27  2 3  4 3  3 3
3 3
2
( 6  2)2  ( 6  2)2  16
解 : ( 6  2)  ( 6  2)
2
2
 2(( 6)  ( 2) )  2(6  2)  16
2
課本頁次：8
2
例4 化簡下列各式:
1
解:
3
6

2
2
3

2
3
2

2
2
6

2
課本頁次：9
例4 化簡下列各式:
2
解:
1
 52
52
1

52
1
52

52
52
52
52

 52
2
2 
( 5)  (2)
54
課本頁次：9
例4 化簡下列各式:
 3
3 2
 5 2 6
3 2
解:
3 2

3 2
3 2
3 2

3 2
3 2
3 2 6  2
5 2 6


2
2
3 2
( 3)  ( 2)
 5 2 6
課本頁次：9
隨4 化簡下列各式:
1
解:
4 2 5

5
5
4

5
4
5

5
5
2 5

5
課本頁次：9
隨4 化簡下列各式:
2
解:
4
 6 2
6 2
4

6 2
4
6 2

6 2
6 2
4( 6  2 )
4(
6

2)

2
2 
( 6)  ( 2)
4
 6 2
課本頁次：9
隨4 化簡下列各式:
 3
1
1
4

52
52
解:
1
1
( 5  2)  ( 5  2)


52
52
( 5  2)( 5  2)

52 52
( 5) 2  (2) 2
4

1
4
課本頁次：9
雙重根式
ab0
証:
a  b  2 ab  a  b
a  b  2 ab =
=
 a  b
2

a b
 a b
課本頁次：9

2
2
 2 ab
例5 化簡下列各式:
1
解:
3  2 2  2 1
3  2 2  2  1  2 2 1
 ( 2)  ( 1)  2 2  1
2
 ( 2  1)

課本頁次：10
2
2
2  1  2 1
例5 化簡下列各式:
2
解:
7  2 10  5  2
7  2 10 
5  2  2 5 2
 ( 5)  ( 2 )  2 5  2
2
 ( 5  2)

課本頁次：10
2
2
5 2  5 2
例5 化簡下列各式:
 3
解:
7  48
2 3
7  48 
7  2 12  4  3  2 4  3
 ( 4)  ( 3 )  2 4  3
2
 ( 4  3)
2
2
 4  3 2 3
課本頁次：10
例5 化簡下列各式:
4
解:
84 3  6  2
84 3 
8  2 12  6  2  2 6  2
 ( 6)  ( 2 )  2 6  2
2
 ( 6  2)
 6 2
課本頁次：10
2
2
隨5 化簡下列各式:
1
解:
7  2 6  6 1
7  2 6  6  1  2 6 1
 ( 6)  ( 1)  2 6  1
2
 ( 6  1)
2
2
 6  1  6 1
課本頁次：10
隨5 化簡下列各式:
2
解:
8  28
 7 1
8  28 
8  2 7  7  1  2 7 1
 ( 7)  ( 1)  2 7  1
2
 ( 7  1)

課本頁次：10
2
2
7  1  7 1
隨5 化簡下列各式:
 3
解:
94 5
 52
94 5 
9  2 20  5  4  2 5  4
 ( 5)  ( 4 )  2 5  4
2
 ( 5  4)

課本頁次：10
2
2
5 4  52
隨5 化簡下列各式:
4
12  4 5  10  2
解 : 12  4 5  12  2 20  10  2  2 10  2
 ( 10)  ( 2 )  2 10  2
2
 ( 10  2)
2
2
 10  2  10  2
課本頁次：10
(四)無理數的近似值
2 的近似值：
利用十分逼近法﹐求
2 介在哪兩個整數之間
(1)先判斷
1  ( 2)  2
2
2
 1 2  2
2
(2)將1和2之間分成10等分﹐計算其平方
(1.4)2  ( 2 )2  (1.5)2  1.4  2  1.5
(3)再將1.4和1.5之間分成10等分﹐計算其平方
(1.41)  ( 2 )  (1.42)  1.41  2  1.42
2
課本頁次：10
2
2
(四)無理數的近似值
利用十分逼近法﹐求
2 的近似值：
(3)再將1.4和1.5之間分成10等分﹐計算其平方
(1.41)  ( 2 )  (1.42)  1.41  2  1.42
2
2
2
使用上述的十分逼近法﹐
可以繼續算出小數點之後的每一位小數
得
2  1.4142135...﹐是一個不循環的無限小數
課本頁次：10
隨堂 求 10 的近似值
(以無條件捨去法求至小數第一位)
解:
(1)先判斷 10 介在哪兩個整數之間
3  ( 10)  4
2
2
 3  10  4
2
(2)將3和4之間分成10等分﹐計算其平方
(3.1)  ( 10)  (3.2)  3.1  10  3.2
2
2
2
 10  3.1
課本頁次：11
實數
重要性質:
 正整數

整數  零


 負整數

有理數  有限小數




實數 
循環小數

 無理數 不循環的無限小數 
課本頁次：11
隨堂 若 a  5  2  則
a 在哪兩個連續整數之間？
解:
(1)
2.2  ( 5 )  2.3
2
2
2
(2) (1.4)  ( 2 )  (1.5)
2
2
2

5  2.2

2  1.4
5  2  3.6
 3 a  4
課本頁次：11
例6
3  2 2的整數部分為a, 小數部分為b
1
3 2
求a   ______
b
解:
3  2 2  2 1
2  1.414 ~  2
 2 1
整數部分 2  a
整數部分 1
小數部分 2  1
小數部分 2  1  b
1
1
2 1
a 2

 2  2 1  3 2
b
2 1
2 1
課本頁次：11
隨6
1  5的整數部分為a, 小數部分為b
5 5
求a  b  ______
解:
5  2. ~
1  5
小數部分
整數部分 3  a
52
小數部分 5  2  b
a  b  3
課本頁次：12
 5
整數部分 2


5  2  3 5  2  5 5
丙、實數的性質 設 a, b, c 是任意實數
（一）實數的運算性質
(1)交換律： a  b  b  a ,
ab  ba
(2)結合律： ( a  b)  c  a  (b  c ),
( ab)c  a (bc )
(3)分配律：
a (b  c )  ab  ac
(4)消去律： a  c  b  c  a  b
ac  bc , c  0  a  b
.
課本頁次：12
丙、實數的性質 設 a, b, c 是任意實數
（二）實數的次序關係
(1)三一律： a  b, a  b, a  b 三式中恰有一個成立
(2)遞移律：
a  b, b  c  a  c
(3)不等量加法： a  b  a  c  b  c
(4)不等量乘法： a  b, c  0  ac  bc
.
a  b, c  0  ac  bc
(5) a 2  0 恆成立﹒ （a2=0僅在a=0時成立）
課本頁次：12
丙、實數的性質
（三）實數的絕對值
數線上的點對應到一個實數﹐稱作這個點的坐標
若A點的坐標為x﹐ | x |（讀做「x的絕對值」）
表示A點與原點的距離 ﹐所以| x |  0 恆成立
A
|x|
x
例如：
課本頁次：12
|2| = 2
O
0
|–3| = 3
例7 實數 x, y 滿足 x  y   2x  y  152  0
5
則 x  ____
解:
5
y  _____

x

y

0

由  得

 2 x  y  15  0 
 3x  15  0
 x 5
y  5
課本頁次：13
例8 比較下列各數的大小:
a  7  6, b  10  3, c  11  2
 7  6   7  6  2 42  13  2 42
2
2
b   10  3   10  3  2 30  13  2 30
2
2
c   11  2   11  2  2 22  13  2 22
解: a 
2
2
42  30  22
課本頁次：13
 abc
隨8 比較下列各數的大小:
a  5  10, b  6  3, c  13  2
解:

2
b 
2
c 
a 
2

5  10
6 9

2
2
13  2

 15  2 54
2
54  50  26
課本頁次：13
 15  2 50
 15  2 26
 bac
例9 (算幾不等式)
ab
若a, b為非負的實數, 則
 ab
2
其中等號成立的條件是a  b
証 : a  b  ab  a  b  2 ab  a  b  2 ab
2
2
2
2
( a  b )2

2
2
1 a  b  ( a  b )  0  a  b  ab
2
2
課本頁次：14
例9 (算幾不等式)
ab
若a, b為非負的實數, 則
 ab
2
其中等號成立的條件是a  b
証 : a  b  ab  a  b  2 ab  a  b  2 ab
2
2
2
2
( a  b )2

2
2
 2  a  b  ( a  b )  0  a  b  ab
2
2
課本頁次：14
算幾不等式_幾何證明
ab
a, b  R 
 ab
2

ab


 ab 
a  b 
2


D
ab
2
O C
A
a
課本頁次：14
ab
B
b
例10 1 a, b是正實數 且 ab  16
8
求 a  b 的最小值=_____
解:
ab
ab
 ab
 16  4

2
2
 a  b  8  a  b 的最小值= 8
2
面積為16的所有矩形中
哪一種矩形的周長為最短？
解 : 當矩形的長、寬相等(即為正方形)時﹐
其周長最短﹒
課本頁次：15
隨10 一條長為24公尺的繩子,
36 平方公尺
所能圍出的矩形面積最大=____________
6 公尺 , 寬=_________
6 公尺
此時, 長=_________
解:
2 ( a  b )  24  a  b  12
ab
12
 ab 
 ab
a 長 
2
2
 36  ab
36  ab  a  b
 ab

 a  b  12
課本頁次：15
a  6

b  6
b
寬
丁、乘法公式、分數與根式的運算
常用的平方公式
1
(a  b)2  a 2  2ab  b2
【和平方公式】
2
(a  b)2  a 2  2ab  b2
【差平方公式】
 3
(a  b)(a  b)  a  b
【平方差公式】
2
2
2
2
2
2
4
(
a

b

c
)

a

b

c
 2ab  2bc  2ac
 
課本頁次：15
丁、乘法公式、分數與根式的運算
重要性質
1 (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3 【和立方公式】
 2  (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3 【差立方公式】
 3 (a  b)(a 2  ab  b2 )  a 3  b3
4
(a  b)(a  ab  b )  a
課本頁次：16
2
2
3
【立方和公式】
3 【立方差公式】
b
例11 展開下列各式 :
1  a  2b 
3
解 :  a  2b 
3
  a   3  a   2b   3  a  2b    2b 
3
2
 a 3  6a 2b  12ab2  8b3
課本頁次：16
2
3
例11 展開下列各式 :
 2   2a  b  1
2
解 :  2a  b  1
2
 (2a )  ( b)  ( 1)  2(2a )( b)  2( b)( 1)
2
2
2
 2(2a )( 1)
 4a  b  1  4ab  2b  4a.
2
課本頁次：16
2
例11 展開下列各式 :
 3
( a  b  1)( a  b  1)
解 : ( a  b  1)( a  b  1)
 (a  b)  1(a  b)  1
  a  b   12
2
 a  2ab  b  1.
2
課本頁次：16
2
例11 展開下列各式 :
4
(a  1)(a  1)(a 2  a  1)(a 2  a  1)
2
2



解 : (a  1)( a  a  1) (a  1)( a  a  1) 



 
3 2
2
 a   1

 a3  1 a3  1
 a 1
6
課本頁次：16
隨11 展開下列各式 :
1  2a  b 
3
解 :  2a  b 
3
  2a   3  2a   b   3  2a  b    b 
3
2
 8a 3  12a 2b  6ab2  b3
課本頁次：16
2
3
隨11 展開下列各式 :
 2   a  b  3
解:
2
 a  b  3
2
 (a )  ( b)  (3)  2( a )( b)  2( b)(3)
2
2
2
 2( a )(3)
 a  b  9  2ab  6b  6a
2
課本頁次：16
2
隨11 展開下列各式 :
 3
( a  b  1)( a  b  1)
解 : ( a  b  1)( a  b  1)
  a  (b  1) a  (b  1)
 a   b  1
2
2
 a  b  2b  1
2
課本頁次：16
2
隨11 展開下列各式 :
 4  (a  3)(a  3)(a 2  3a  9)(a 2  3a  9)
2
2



解 : (a  3)(a  3a  9) (a  3)(a  3a  9) 





3 2
2
  a   27
 a 3  33 a 3  33
 a  729
6
課本頁次：16

例12 利用乘法公式 因式分解下列各式：
1
x3  1
解:
x  1  x  1  ( x  1) ( x  x  1 )
2
3
3
2
3
8 x  27
3
解 : 8 x 3  27   2 x 3  33
 (2 x  3)
  2x    2 x  3  3 
2

  2 x  3 4 x 2  6 x  9
課本頁次：17
2

例12 利用乘法公式 因式分解下列各式：
 3
x 4  16
解:
x  16  x
4
課本頁次：17
 
  x2  4  x2  4
  x 2  4   x  2  x  2 
2 2
 42
隨12 利用乘法公式 因式分解下列各式：
3
3
1
  x  8y
解 : x  8 y  x  (2 y )
3
3
3
3

 ( x  2 y)

x 2 ( x )(2 y )  (2 y )2 
  x  2 y  x 2  2 xy  4 y 2
課本頁次：17

隨12 利用乘法公式 因式分解下列各式：
2
x  125
3
解 : x 3  125  x 3  53
 ( x  5)

2

x
5

5
  
x

2
2
  x  5 x  5 x  25
課本頁次：17


隨12 利用乘法公式 因式分解下列各式：
 3
16 x 4  1
 
  4 x 2  1  4 x 2  1
  4 x 2  1  2x  1 2 x  1
解 : 16 x  1  4 x
4
課本頁次：17
2 2
 12
例13 設 x  2  3, 求下列各式的值 :
1
1 x   4
x
1
解: x  1 
2 3
2 3

x
2 3 2 3
2 32 3
4
課本頁次：17
例13 設 x  2  3, 求下列各式的值 :
1
1
2
1 x   4
 2  x  2  14
x
x
解 : x2 
2
1



x  2

2
x
x

1
4 2
2
 14
課本頁次：17
例13 設 x  2  3, 求下列各式的值 :
1
1
2
1 x   4
 2  x  2  14
x
x
 3 x
3

1
x
3
 52
解 : x 3  1   x  1  x 2  1  1 
3
2
x
x
x 


 4  14  1  52
課本頁次：17
隨13 設 x  5  2, 求下列各式的值 :
1
1 x   2 5
x
1
解: x  1 
52
52

x
52
52
 52 52
2 5
課本頁次：18
隨13 設 x  5  2, 求下列各式的值 :
1
1
2
1 x   2 5  2  x  2  18
x
x
解 : x2 
2
1



x  2

2
x
x

1

 2 5

 20  2
 18
課本頁次：18
2
2
隨13 設 x  5  2, 求下列各式的值 :
1
1
2
1 x   2 5  2  x  2  18
x
x
1
3
 3 x  3  34 5
x
解 : x 3  1   x  1  x 2  1  1 
3
2
x
x
x 


 2 5  18  1  34 5
課本頁次：18
例14
設 x  0, 化簡 x 
2
解:
x 
2
1
x
2
2 
1
x
2
1 2
1
x  ( )  2 x
x
x
2
1

 x 
x

1
 x
x
課本頁次：18
2
2
隨14
設 x  1, 化簡 x 
2
解:
x 
2
1
x
2
2 
1
x
2
1 2
1
x  ( )  2 x
x
x
2
1

 x 
x

1
 x
x
課本頁次：18
2
2
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