Transcript 小田田的奧祕

一、前言
在國小的時候，老師在上課提過田字方塊，因此就對田字方塊感到很好奇。升上了國中，剛好也有同學
對田字方塊有興趣，最後就決定以這個題目來做研究。
二、摘要
這是一個有趣又新奇的塡字遊戲，首先我們必須在一個5×5的方陣內，將1～25的數字填入方格中，並維
持方陣中4組4×4方陣內的數字和相等。
三、研究動機
在國小的時候，老師在上課提過田字方塊，因此就對田字方塊感到很好奇。升上了國中，剛好也有同學
對田字方塊有興趣， 所以就決定以這個題目來做研究。(目前只有4×4的方陣有人研究過，因此以5×5的
方陣為研究對象。)
四、研究目的
1.在5×5的方陣中任意填入1～25的數字，是否可以找到，其中左上、左下、右上、右下，四組4×4方陣
內部數字和相等的組合？
2.在5×5方陣中的4×4方陣其數字和的最大值為254，最小值為162，理由何在？
3.在最大值和最小值間，是還否有其他值存在的可能性？
五、實驗設備及器材
1.原子筆、螢光筆
3.電腦(Excel、Word、網際網路)
5.加減乘除的基本運算能力
7.加減消去法、代入消去法的能力
2.計算機
4. A4白紙(列印方格用)
6.對田字方塊和數學的熱情
8. 不等式的運算能力
六、研究方法及過程
算式：
A B C D E
左上：A＋B＋C＋D＋F＋G＋H＋I＋K＋L＋M＋N＋P＋Q＋R＋S —①
F G H I J
右上：B＋C＋D＋E＋G＋H＋I＋J＋L＋M＋N＋O＋Q＋R＋S＋T —②
K L M N O
左下：F＋G＋H＋I＋K＋L＋M＋N＋P＋Q＋R＋S＋U＋V＋W＋X —③
P Q R S T
右下：G＋H＋I＋K＋L＋M＋N＋P＋Q＋R＋S＋U＋V＋W＋X＋Y —④
U VWX Y
①＋②＋③＋④＝
(A＋E＋U＋Y)+2(B＋C＋D＋F＋J＋K＋O＋P＋T＋V＋W＋X)+4(G＋H＋I＋L＋M
＋N＋Q＋R＋S)
( 1 )求最大值
若要求最大值，就要將A.E.U.Y以1、2、3、4填入。B.C.D.F.J.K.O.P.T.V.W.X以5、6、7、8、
9、10、11、12、13、14、15、16填入，G.H.I.L.M.N.Q.R.以17、18、19、20、21、22、23、
24、25填入。可得
(1+2+3+4)+2(5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)+4(17+18+19+20+21+22+23+24+25)＝1018 為
4組方陣的和。1018÷4＝254.5，不可以超過 254.5，又其和為整數，所以最大值取 254。
( 2 )求最小值
若要求最小值，就要將A.E.U.Y以25、24、23、22填入，B.C.D.F.J.K.O.P.T.V.W.X以9、11、
12、13、14、15、16、17、18、19、20、21填入。G.H.I.L.M.N.Q.R.S以1、2、3、4、5、6、
7、8、10填入。可得
(25+24+23+22)+2(21+20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10)+4(9+8+7+6+5+4+3+2+1)＝646
為4組方陣的和。 646÷4＝161.5不可以低於 161.5，又其和為整數，所以最小值取 162。
因此，在5×5方陣中，維持四組4×4方陣的數字和最小值為162，最大值為254。
左上4x4 2
256
6
12
5
14
1 右上4x4
25 24 23 16
15 20 21 22
256
9
左下4x4 13 19 18 17 10 右下4x4
252
3
7
8
11
每個4×4方陣數字和
4
254
254.5
我們要先找出最大值，將1、2、3、4分別放在四個角落，再將
25、24、23、22、21、20、19、18、17放入中間九格，可以隨
便放，因為中間的九格在每個4×4中都會被相加。最後的12個數
字，就必須依照和角落數字的平衡。可是我們發現了一個問題
，4個 4x4方格無法相等。
因此，我們嘗試把角落的3換掉，換成5，
即可得到4個 4x4方格平均數 為254的最大值。
(三)最小值162的數字分配
左上4x4 23 12 13 16
162
21 1
2
3
11 6
5
4
左下4x4 20 7
8 10
162
22 19 14 9
每個4×4方陣數字和
25 右上4x4
15
162
18
17 右下4x4
24
162
162
左上4x4
2
12
3
14
1
右上4x4
254
6
25 24
23
16
254
15
20 21
22
9
左下4x4 13
254
5
19 18
7 8
17
11
10 右下4x4
4
254
每個4×4方陣數字和
254
同此方法，我們要找最小值，將25、24、23、22各
放在四個角落，再將1、2、3、4、5、6、7、8、10
放入中間九格，可以隨便放。四周放入最大數 22、
23、24、25，即可完成最小數162。
(四)分析最小值162的組合情形
左上4×4 A
F
K
P
左下4×4 U
B
G
L
Q
V
C
H
M
R
W
D
I
N
S
X
E
J
O
T
Y
右上4×4
右下4×4
上列四式相加＝(A+E+U+Y)+2(B+C+D+F+J+KO+P+T+V+X)+4(G+H+I+L+M+N+Q+R+S)
令 甲＝A+E+U+Y
（甲代表四個角的數字和）
令 乙＝G+H+I+L+M+N+Q+R+S
（乙代表中間的3x3方陣的數字和）
令 丙＝B+C+D+F+K+P+J+O+T+V+W+X
（丙代表四周扣除角落，12個數字的和）
可以得到 甲+2丙+4乙=4組方陣的數字和
已知：維持5×5方陣內左上、右上、左下、右下 4組4×4方陣的數字和相等時，
最小的數字和為162
甲+(2丙)+(4乙)=162 × 4=648 ------①
由①移項後可得 (2丙)=648 –甲–(4乙) ------②
再將1～25的數字填入5×5的方陣 可得其和為
甲＋乙＋丙＝(1+25) ×25/2 = 26×25/2=325------③
①－③
丙+(3乙)＝323
丙=323－(3乙) ----④
③×2-①
甲－(2乙)=2
甲=(2乙)+2 ----⑤
分析 乙=G+H+I+L+M+N+Q+R+S 的值範圍，
並且可知最小值的情形為填入1+2+...+9 ＝(1+9)×9/2=45
也可知最大值的情形為填入17+18…+25=(17+25)×9/2=189
最後45≦乙≦189 由④丙＝323-3乙 探討丙的最小值
將1～12填入1+2+3+...+12=(1+12)×12/2=13×6=78
再將丙以最小值78代入④丙＝323-3乙，又可得乙的最大值為81.6
並將45≦乙≦189 改乙的範圍為45≦乙≦81.6
又因為乙必須為整數，所以修正為45≦乙≦81
由④式 丙=323-3乙 又45≦乙≦81 188≧323-3乙≧80 可得 188≧丙≧80
由45≦乙≦81 又甲＝2乙＋2 90≦2乙≦162 92≦2乙+2≦164 可得 92≦甲≦164
甲
乙
丙
甲
乙
丙
由45≦乙≦81
92
45 188
130
64 131
且丙＝323-3乙 甲＝2乙＋2分別可得，
132
65 128
94
46 185
134
66 125
96
47 182
當最小值為162時
136
67 122
98
48 179
表一：甲、乙、丙的組合情形如下
最小值162，以甲＝94、乙＝46、丙＝185
所找到的組合如下：
左上4x4
25
21
9
15
23
右上4x4
162
14
1
2
3
20
162
13
4
5
6
11
左下4x4
19
7
8
10
17
右下4x4
162
24
16
12
18
22
162
每個4×4方陣數字和
162
七﹑研究結果
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
176
173
170
167
164
161
158
155
152
149
146
143
140
137
134
138
140
142
144
146
148
150
152
154
156
158
160
162
164
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
119
116
113
110
107
104
101
98
95
92
89
86
83
80
作法：
不要動外面的
25.21.9.15.23.14.20.11.17.24.12.18.22.1.4.7
只要動裡面的9個數字就可以成功了
1. 在5×5的方陣中任意填入1～25的數字，其中左上、左下、右上、右下四個4×4數字的
和，在某些組合中，其左上、左下、右上、右下四個4×4數字的和是可以相等的。
2. 5×5方陣中的4×4方陣其數字和的最大值為254，最小值為162。
(A＋E＋U＋Y)+2(B＋C＋D＋F＋J＋K＋O＋P＋T＋V＋W＋X)+4(G＋H＋I＋L＋M＋N＋Q
＋R＋S)
因為最大值只要將
(1+2+3+4)+2(5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)+4(17+18+19+20+21+22+23+24+25)＝
1018，1018÷4＝254.5， 不可以超過 254.5，所以最大值取 254。
相同的，最小值也只要填入
(25+24+23+22)+2(21+20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10)+4(9+8+7+6+5+4+3+2+1)＝
646，646÷4＝161.5， 不可以低於 161.5，所以最小值取 162。
3.在最大值和最小值間，有其他值的存在，因為只要能夠使4×4方陣內的，數字和相
等就可以。我們有找到數字和為165、183、205、212、206等。
4.針對最小值162的情形，可分為37大類，每一大類又可分出數種情形。（參照表一）
5.嘗試將圖表一裡的一種其中一組裡面中間的3x3的9個數字,放入方陣能有幾種?
結果有太多種,無法找出將此移至到討論中再行討論
八﹑討論
(一)
例如：4×4方陣數字和為254
在研究過程中，我們發現了一個方法，
13不動因為
23變3
12變14
13是中間數
就是將1換成25，2換成24，3換成23，4換成22，
1變25
2變24
5換成21，6換成20，7換成19，8換成18，9換成17， 21變5
11變15
6變20
5變21
10換成16......以此類推，也能成功。如右。
(二)
20變6
7變19
8變18
我們發現最大值254與最小值162，他們加起來的
22變4
19變7
14變12
值為416（254+162=416）。
左上4x4 23 12 13 16
162
21 1 2 3
11 6 5 4
左下4x4 20 7 8 10
162
22 19 14 9
每個4×4方陣數字和
25 右上4x4
162
15
18
17 右下4x4
162
24
162
左上4x4 2 12 3 14 1 右上4x4
254
6 25 24 23 16
254
15 20 21 22 9
左下4x4 13 19 18 17 10 右下4x4
254
5 7 8 11 4
254
254
每個4×4方陣數字和
當確認有4×4方陣數字和有175的情形，以 416－175＝241，再換 241來看
看，我們也可以找到 4×4方陣數字和241的情形。
因此，只要先確認一者數字和，再可用416減去該值，就能夠
得到另一組的數字和。可以找到 4×4方陣數字和241的情形。
左上4x4 25 17 7 20
175
4 1 2 3
14 12 5 6
左下4x4 16 9 21 13
175
24 19 11 15
每個4×4方陣數字和
23 右上4x4
8
175
10
18 右下4x4
22 175
175
左上4x4 1 9 19 6 3 右上4x4
241
241
22 25 24 23 18
12 14 21 20 16
左下4x4 10 17 5 13 8 右下4x4
241
241
2 7 15 11 4
241
每個4×4方陣數字和
16變10
25變1
3變23
15變11
4變22
18變8
10變16
17變9
9變17
24變2
(三)
3x3的擺飾方法因為太多種 所以先降低成2x2,在過程中有
人猜20種也有人猜24種結果 ，最後的結果是24種
找出來的方法是:
先把四格裡面訂住一格，所以本來有四個數字選擇但是
寫上一個，數字後剩三個數字可選擇，三個數字再填上
一個就剩兩個數字選擇，最後剩兩個數字後再填上一個
數，最後就只剩一個數可填。
第一個數
第一個數 第二個數
第一個數 第二個數
第一個數 第二個數
第三個數
第三個數 第四個數
(四)
由於我們光說中間的3x3裡就有362880種,但是我們發現的不只那些,因為我們沒算出其他的
16個數的變動,因為外面的16個數的組合似乎還有一些情形,但因為我們的主題不在這,而且
還要更深的數學知識,所以我們討論到此。
九.結論
(一)
在5×5方陣中任意填入1～25的數，其左上、左下、右上、右下四個4×4數字的和是可以相
等的。
(二)
5×5方陣中的4×4方陣其數字和的最大值為254，最小值為162。
(三)
在研究過程中，我們發現了一個方法，
就是將1換成25，2換成24，3換成23，
4換成22，5換成21，6換成20，7換成19，
8換成18，9換成17，10換16......以此類推，
也能成功。如右。
(四)
最大值和最小值之間的組合都存在
(五)
我們在過程中找出162組合和情形找出37種
甲
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
乙
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
丙
188
185
182
179
176
173
170
167
164
161
158
155
152
149
146
143
140
137
134
甲
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
154
156
158
160
162
164
乙
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
丙
131
128
125
122
119
116
113
110
107
104
101
98
95
92
89
86
83
80
23變3
12變14
13不動因為
13是中間數
16變10
25變1
21變5
1變25
2變24
3變23
15變11
11變15
6變20
5變21
4變22
18變8
20變6
7變19
8變18
10變16
17變9
22變4
19變7
14變12
9變17
24變2
(六)
在過程中我們找出3X3裡共有
362880種的擺法方法如下
第一格 第二格 第三格
9個選擇 8個選擇 7個選擇
第四格 第五格 第六格
6個選擇 5個選擇 4個選擇
第七格 第八格 第九格
3個選擇 2個選擇 1個選擇
十.參考文獻
(一)國中組第39屆科展第三名 田字方塊深探密~田字區等值遊戲的一般解探索與擴張，說明在原先
的4×4的方陣中, 用1到16填入,使方陣中每個3×3的數字和相等。
(二)高小組第42屆新光國小田字填數，數字乘法的捷徑，在自然科學的學習當中，數學是不可或缺
的工具，在這個科 展中，以乘法速算的演練、直覺邏輯的思考，對於科學教育有極大的幫助。
(三)國小組第42屆解開數字方塊的秘密，觀察方陣中的每一行數字，其中每一個數字與下一個數字
都差4，每個數都可被分解成行數和列數合成，所以4個數字的和都寫成1＋2＋3＋4＋0＋4＋8＋
12＝34，也就可得到任選4個數的和為34。或者是在3×3階數字方塊中，按照相同的規則取三個
數，和為1+2+3+0+3+6=15。另外，5×5階數字方塊中，也可以按照相同的規則取五個數，和為
1+2+3+4+5+0+5+10+15+20=65。