Transcript 自然對數函數
Tan 微積分 7 超越函數 © 2011 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part. 7.1 自然對數函數 自然對數函數 本節用微積分基本定理的第一部分定義一個重要 的函數：自然對數函數。 此舉允許用簡單且不失嚴謹的方法來建立該函數 的所有特性。 回顧微積分基本定理的第一部分，若f 在開區間I 連續且a 為I 內任意點，則一個可微分函數F 定義 為 x F ( x) f (t )dt a Tan/微積分-Ch7.1-p329 xI 2 自然對數函數 現在考慮定義在(0,∞) 區間的函數f (t) = 1/t（圖 7.1） 。 圖7.1 函數f(t) = 1/t 在(0, ∞) 是連續 Tan/微積分-Ch7.1-p329 3 自然對數函數 因為f 在(0, ∞) 連續，則微積分基本定理的第一部 分保證在(0, ∞)，一個可微分函數定義如下。 定義 自然對數函數 自然對數函數（natural logarithmic function），記作ln， 是定義為 x1 ln x dt (1) 1 t 的函數，其中x > 0。 式子ln x ，唸作“ell-en of x”，因它具備對數函數 的所有特性（後面會看到），所以稱它為x 的自 然對數（natural logarithm of x）。 Tan/微積分-Ch7.1-p329~330 4 自然對數函數 若x > 1，ln x 可解釋為圖形y = 1/t 下面在[1, x] 區 間的區域面積（圖7.2）。 (a) 若x 1, ln x x 1 Tan/微積分-Ch7.1-p330 x1 1 dt (b) 若0 x 1, ln x dt 1 t t 圖7.2 ln x 解釋為面積 5 自然對數函數 當x = 1， 1 ln1 dt 0 1 t 1 若0 < x < 1，則 ln x x 1 x1 1 dt dt 0 1 t t 所以ln x 可以解釋為圖形y = 1/t下面在[x, 1] 區間之 區域的負（negative）面積（圖7.2b）。 Tan/微積分-Ch7.1-p330 6 ln x 的導數 回顧微積分基本定理的第一部分，若f 在開區間I 連續且函數F 定義為 x F ( x) f (t )dt a aI 則F'(x) = f (x)。 應用此定理到函數f (t) = 1/t，可得 d d x1 1 ln x dt 1 dx dx t x Tan/微積分-Ch7.1-p330 x0 (2) 7 ln x 的導數 接著使用連鎖規則得知，若u 是x 的可微分函數， 則 d 1 du ln u dx u dx Tan/微積分-Ch7.1-p330 u0 (3) 8 對數法則 對數函數的微分法則可用來證明下列熟悉的對數 法則。 定理1 對數法則 令x 與y 為正數且令r 為有理數，則 a. ln1 0 b. ln xy ln x ln y x c. ln ln x ln y d. ln x r r ln x y Tan/微積分-Ch7.1-p331 9 例題 1 展開下列各式： x 1 a. ln x 2 x cos x 3 b. ln 2 x 1 2 解： x2 1 x2 1 a. ln ln 1/ 2 x x 2 1/ 2 ln( x 1) ln x 1 2 ln( x 1) ln x 2 Tan/微積分-Ch7.1-p332 使用定理1c 使用定理1d 10 例題 1－解 b. ln x3 cos2 x x3 (cos x)2 ln 2 1/ 2 2 ( x 1) x 1 ln x ln(cos x) ln( x 1) 3 2 2 1/ 2 使用定理1b 1 2 3ln x 2 ln cos x ln( x 1) 2 Tan/微積分-Ch7.1-p332 11 自然對數函數的圖形 要繪畫自然對數函數的圖形，首先要知道f (x) = ln x 具備下列特性： 1. 根據定義，f 的定義域為(0, ∞)。 2. 因為f 在(0, ∞) 可微分，所以它在那裡連續。 3. 因為在(0,∞)， f '( x) 1x 0，所以在(0, ∞)，f 遞 增。 1 f ''( x ) 0，所以在(0, ∞)，f 4. 因為在(0, ∞)， x2 圖形凹面向下。 Tan/微積分-Ch7.1-p333 12 自然對數函數的圖形 應用f (x) = ln x 的特性，由上表的樣本值推出 lim ln x x 0 和 lim ln x x 它們將在本節的最 後出現，f (x) = ln x 的圖形展示於圖7.3。 圖7.3 自然對數函數y = ln x 的圖形 Tan/微積分-Ch7.1-p333 13 對數函數的導數 之前已經建立自然對數函數的微分規則（式(2) 和 式(3)）。 更廣義的情形，此規則仍然成立，如下面定理所 述。 定理2 自然對數函數的導數 令u 為x 的可微分函數，則 a. d 1 ln x dx x Tan/微積分-Ch7.1-p333 x0 b. d 1 du ln u dx u dx u0 14 例題 3 求下列各式的導數。 a. f(x) = ln(2x2 + 1) b. g(x) = x2 ln 2x c. y = ln |cos x| 解： d 2 a. f '( x) ln(2 x 1) dx 1 d 4x 2 2 (2 x 1) 2 2 x 1 dx 2x 1 Tan/微積分-Ch7.1-p334 15 例題 3－解 d 2 b. g '( x) ( x ln 2 x) dx d 2 2 d x (ln 2 x) (ln 2 x) ( x ) dx dx 使用乘法規則 1 x (2) (ln 2 x)(2 x) x(1 2ln 2 x) 2x 2 dy d c. ln cos x dx dx 1 d sin x (cos x) tan x cos x dx cos x Tan/微積分-Ch7.1-p334 16 對數函數的導數 若式子中有自然對數，則在微分之前（before）先 使用對數法則簡化此式子。 Tan/微積分-Ch7.1-p334 17 對數微分 看過對數的法則如何簡化與微分對數相關的式子 後，現在來看此過程，它是怎樣利用這些對數法 則來微分一些乍看之下似乎與對數無關的函數。 此方法稱為對數微分（logarithmic differentiation），它對含乘積、商且／或冪之函 數的微分特別有用，可以利用對數將它們簡化。 Tan/微積分-Ch7.1-p335 18 例題 6 (2 x 1)3 求 y 的導數。 3x 1 解： 首先對等號兩邊同時取對數，可得 (2 x 1) ln y ln (3x 1)1/ 2 3 即 1 ln y 3ln(2 x 1) ln(3x 1) 2 Tan/微積分-Ch7.1-p335 應用對數法則 19 例題 6－解 接著等號兩邊同時對x 隱微分，可得 1 3 1 ( y ') (2) (3) y 2x 1 2(3x 1) 6 3 2 x 1 2(3x 1) 6(2)(3x 1) 3(2 x 1) 2(2 x 1)(3x 1) 15(2 x 1) 2(2 x 1)(3x 1) Tan/微積分-Ch7.1-p335 20 例題 6－解 最後等號兩邊同乘y，即得 15(2 x 1) y' y 2(2 x 1)(3x 1) 3 15(2 x 1) (2 x 1) 2(2 x 1)(3x 1) 3x 1 15(2 x 1)(2 x 1) 3/ 2 2(3x 1) Tan/微積分-Ch7.1-p335 代換y 2 21 對數微分 下面有此過程的總結。 應用對數微分求dy/dx 已知式子y = f (x)。計算dy/dx 的步驟如下： 1. 對等號兩邊同時取對數，並應用對數法則簡化最後的式子。 2. 等號兩邊同時對x 隱微分。 3. 由步驟2 所得的式子解dy/dx。 4. 代換y。 Tan/微積分-Ch7.1-p335~336 22 含對數函數的積分 將此規則倒轉 d 1 du ln u dx u dx 可得下列積分規則。 1 u 定理3 積分 的規則 令u = g(x)，其中g 為可微分且g(x)≠0，則 1 u du ln u C Tan/微積分-Ch7.1-p336 23 例題 7 1 dx。 求 2x 1 解： 1 dx du 。將這些式子代 令u = 2x + 1, du = 2 dx 即 2 入積分式，可得 1 1 1 2 x 1dx 2 u du 1 1 ln u C ln 2 x 1 C 2 2 Tan/微積分-Ch7.1-p336 24 含對數函數的積分 定理4 三角函數的積分 a. tan udu ln sec u C b. cot udu ln sin u C c. sec udu ln sec u tan u C d. csc udu ln csc u cot u C 定理5 a. lim ln x x Tan/微積分-Ch7.1-p337.339 b. lim ln x x 0 25