Transcript 乘法和除法規則

Tan
微積分
3
導數
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3.3
乘法和除法規則
 乘法和除法規則
 一般而言，兩個函數乘積的導數不等於它們個別
導數的乘積。下面提供兩個函數乘積如何微分的
規則。
定理1 乘法規則
假如f 和g 為可微分的函數，則
d
[ f ( x) g ( x)]  f ( x) g '( x)  g ( x) f '( x)
dx

用文字敘述乘法法則：兩個函數乘積的導數為第
一個函數乘以第二個的導數和第二個函數乘以第
一個的導數的和。
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2
例題 1

求f (x) = (2 + 3x2)(x3 – 5)的導數。
解：
用乘法規則，得到
d
f '( x)  [(2  3x 2 )( x 3  5)]
dx
d 3
d
2
3
 (2  3x )  ( x  5)  ( x  5)  (2  3x 2 )
dx
dx
 (2  3x2 )(3x2 )  ( x3  5)(6x)
 15x4  6 x2  30 x
 3x(5x3  2 x 10)
Tan/微積分-Ch3.3-p117
3
乘法和除法規則


正如同兩個函數乘積的導數不等於它們個別導數
的積，兩個函數相除後的導數不等於它們個別導
數相除後的商！
更重要的是我們有下面的規則。
定理2 除法規則
假如f 和g 為可微分的函數且g(x) ≠0，則
d  f ( x)  g ( x) f '( x)  f ( x) g '( x)



dx  g ( x) 
[ g ( x)]2
Tan/微積分-Ch3.3-p118
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乘法和除法規則

下面的寫法有助於記住除法規則：
d  f ( x)  (分母)(分子的導數)  (分子)(分母的導數)



dx  g ( x) 
(分母的平方)
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冪規則的延伸

除法規則可以用來將冪規則延伸到包括n 為負整
數的情形。
定理3 整數冪的冪規則
假如f (x) = xn，其中n 為任意整數，則
d n
( x )  nx n 1
dx
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高階導數




函數f 的導數f' 也是一個函數。
如此，可考慮f' 的微分。
假如f' 的導數存在，將它表示為f'' 並且稱為f 的第
二階導數（second derivative）。
繼續下去，得到f 的第三階、第四階、第五階和更
高階的導數，只要它們存在。
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高階導數

f 的第一階、第二階、第三階和第n 階導數的符號
分別為
f, f , f , …., f (n)
或
d
d2
d3
[ f ( x)],
[ f ( x)],
[ f ( x)],
2
3
dx
dx
dx
dn
,
[ f ( x)]
n
dx
或
2
x
3
x
Dx f ( x), D f ( x), D f ( x),
Tan/微積分-Ch3.3-p122
n
x
, D f ( x)
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高階導數

假如y 為應變數且y = f (x)，則它的前n 階導數也可
分別寫成
y, y , y , …., y (n)
或
dy d 2 y d 3 y
dny
,
,
,
,
2
3
dx dx
dx
dx n
或
Dx y, Dx2 y, Dx3 y,
Tan/微積分-Ch3.3-p122
, Dxn y
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例題 7

求函數f(x) = x4 – 3x3 + x2 – 2x + 8的各階導數。
解：
得到
f '( x)  4x3  9x2  2x  2
d
f "( x) 
f '( x)  12 x 2  18 x  2
dx
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例題 7－解
d
f '''( x) 
f "( x)  24 x  18
dx
d
(4)
f ( x) 
f '''( x)  24
dx
d (4)
(5)
f ( x) 
f ( x)  0
dx
和
f
Tan/微積分-Ch3.3-p123
(6)
( x)  f
(7)
( x) 
0
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高階導數


正如函數f 在x 處的第一階導數f '，它表示為在那
一點f (x)的變化率，f 的第二階導數f "為f ' 在x 處
的導數，它表示在x 處f ' (x)的變化率。
f 在x 處的第三階導數f '"，它表示在x 處f "(x)的變
化率……等等。
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高階導數

譬如：假如P = f (t)表示某城市在時間t 的人口，
則P'表示此城市在時間t 的人口變化率而P" 表示此
城市在時間t 的人口變化率的變化率。
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