Transcript 某些基本規則

Tan
微積分
3
導數
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3.2
微分的基本規則
 某些基本規則

本節中，將推導一些微分的規則來簡化求函數導
數的過程。
定理1 常數函數的導數
假如c 為常數，則
d
(c )  0
dx
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某些基本規則

此結果由幾何上來看很明顯（圖3.10）。
圖3.10
f (x) = c 圖形上每一點的斜率為零。所以f ' (x) = 0
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某些基本規則



直線上每一點的切線就是它自己。
因為常數函數f 定義為f (x) = c，是水平線且它的
斜率為0。f 上任意切線的斜率都是0。
因此，對於每個x，f ' (x) = 0。
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例題 1
d
a. 假如f (x) = 19，則 f '( x)  (19)  0。
dx
b. 假如f (x) =
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–2
d
2
f
'(
x
)

(


)  0。
，則
dx
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某些基本規則


接著，轉向冪函數f (x) = xn 的微分規則，其中指
數n 為正整數。當n = 1，f (x) = x。
它的導數為
f ( x  h)  f ( x )
( x  h)  x
f '( x)  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
 lim1  1
h 0
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某些基本規則

因為y = x 的圖形是斜率為1 的直線（圖3.11），
此結果在幾何上也很明顯。所以，對於任意x，
f'(x) = 1。
圖3.11 f (x) = x圖形是斜率為1 的直線。所以f ' (x) =1
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某些基本規則

亦即，
d
( x)  1
dx

(1)
現在敘述求f (x) = xn 的導數的通則，其中n 為正整
數。
定理2 冪規則
假如n 為正整數且f (x) = xn，則
d n
f '( x)  ( x )  nx n 1
dx
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某些基本規則


雖然定理2 敘述的為冪n 為正整數的情形，然而對
任意實數n，冪規則都成立。
譬如：若正式地應用更通用的規則求 f ( x)  x  x1/ 2
的導數，可得
d 1/ 2
1 1/ 2
1
f '( x)  ( x )  x

dx
2
2 x
定理3 冪規則（通則）
假如n 為任意實數，則
d n
( x )  nx n 1
dx
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某些基本規則

下面的定理說明常數乘上一個函數後的導數等於
此常數乘上該函數的導數。
定理4 常數倍數規則
假如f 為可微分的函數且c 為常數，則
d
[cf ( x)]  xf '( x)
dx
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某些基本規則

下面的定理說明兩個函數相加後的導數為兩個導
數的和。
定理5 加法規則
假如f 和g 都是可微分的函數，則
d
[ f ( x)  g ( x)]  f '( x)  g '( x)
dx
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某些基本規則

因為f (x) – g (x)可寫成f (x) + [ – g(x)]，由定理5 得
知
d
d
d
[ f ( x)  g ( x)]  [ f ( x)]  [  g ( x)]
dx
dx
dx
d
d
 [ f ( x)]  [ g ( x)] 由定理 4 當c  1
dx
dx
 f '( x)  g '( x)
定理5 也可用在兩個函數的差。
Tan/微積分-Ch3.2-p113~114
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某些基本規則

加（減）法規則也適用於任意有限個函數的和
（差）。譬如：假如f , g 和h 在x 處可微分，則f +
g – h 在a 處也可微分，並
d
[ f ( x)  g ( x)  h( x)]  f '( x)  g '( x)  h '( x)
dx
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