Transcript 教學網頁規劃

多項式函數
教學網頁規劃
組別：第四組
組員：499402314周佳蓉
499403148郭宇晨
499403289曾廂圓
目錄
 1.多項式函數教材分析
 2.學生學習切入點分析
 3.教學網頁設計理念
 4.教學網頁教學目標
 5.網頁設計規劃流程
 6.參考資料
多項式函數教材分析
--多項函數的定義
 多項函數的定義
設n為自然數或零,則形如
f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的式子,
稱為x的多項式其中 an,an-1,...,a1,a0 為實數
多項式函數教材分析
--相關的名詞說明
相關的名詞說明：設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為x的多項式
★項：anxn,an-1xn-1，…,a1x,a0分別稱為此多項式的n次項,n-1次
項,…一次項,常數項。
★係數：an,an-1,…,a1,a0分別為此多項式的n次項,n-1次項,…一次項,
常數項的係數。
★領導係數：多項式中最高次項之係數(不為0)稱為此多項式之領導
係數。
★次數：當an¹0時，稱此多項式為n次多項式，記為：deg f(x)=n。
★單項式：只有一項的多項式稱為單項式。
★常數多項式：若一多項式僅含常數項a0，則稱此多項式為常數多項
式。當a0=0，又稱為零多項式。
★升羃與降羃式：若一多項式一變數x的次方由大而小排列者稱為降
羃式，由小而大排列者稱為升羃式。
多項式函數教材分析
-多項式的四則運算
(1)多項式的加減法：兩多項式相加減，則同次項的係數相加減
(2)多項式的乘法：利用乘法對加法的分配律，再合併同類項
(3)多項式的除法：
設f(x)，g(x)為二多項式且g(x)不是零多項式，則可找到二
多項式q(x)及r(x)滿足f(x)=q(x)×g(x)+r(x)，其中r(x)=0
或deg r(x)<deg g(x)。
此時稱f(x)為被除式，g(x)為除式，q(x)為商式，r(x)為餘
式。
例如：設f(x)=2x3+5x2+x-2，g(x)=x2+2x-3
多項式函數教材分析
--多項式的四則運算
(4)綜合除法：
◆綜合除法的原理：
設f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，g(x)=x-b，若存在商式
q(x)=c2x2+c1x+c0， 餘式r(x)=d。
由除法的定義：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)(x-b)+d
經比較係數可得：
上面的關係可寫成以下的形式
多項式函數教材分析
--多項式的四則運算
◆當f(x)除以g(x)=ax+b時，我們也可利用綜合除法求餘式
r(x)、商式q(x)。
由除法的定義：
f(x)=(ax+b)×q(x)+r(x)=(x+ )×[aq(x)]+r(x)可先利
用綜合除法求出f(x)除以(x+ )
的商式q'(x)=aq(x)與餘式r(x)，
而所要求的商式q(x)=
，餘式r(x)不變。
◆多項式的係數和：
f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，
則各項係數之和=f(1)，常數項=f(0)，
奇次項係數之和=
偶數項的係數之和=
多項式函數教材分析
--多項式方程式
如何由n次多項式到n次方程式:
(1)f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 是n次多項式，
方程式f(x)=0稱為n次(多項)方程式。
(2)方程式的根：
一個數x0若滿足f(x0)=0，就稱x0為方程式f(x)=0
的根或解。有時特別強調x0為複數、實數、有理數
或整數，x0又稱為複數根、實根、有理根或整數根。
多項式函數教材分析
--多項式方程式
(3)實根的幾何解釋： 例如:
(1)y=f(x)=x2-3x-4的圖形，如右圖所示：
圖形與x軸相交於兩點(-1,0)、(4,0)，
其橫坐標-1與4就是x2-3x-4=0的實根。
(2)y=g(x)=x2+x+1的圖形，如右圖所示：
圖形與x軸沒有交點，因為y=g(x)=
所以沒有任何實數x，使得g(x)=0，故
g(x)=0 沒有實根。方程式x2+x+1=0 的解
x=
。
，
多項式函數教材分析
--多項式方程式
一般而言，n次多項式y=f(x)的圖形是一條波浪形、
平滑的連續曲線。
若該曲線和x軸相交，那麼交點P(x0,f(x0))的橫坐標
x0必滿足f(x0)=0，所以x0是方程式f(x)=0的一個實
根，如果該曲線與x軸沒有交點，此時任何實數均不
是方程式f(x)=0的根，因此方程式f(x)=0無實根。
結論:實係數n次方程式f(x)=0的實根α<=>n次函數
y=f(x)的圖形與x軸交於點(α,0)
多項式函數教材分析
--多項式方程式
 函數的定義和圖形、二次函數的極值
若ax+bx+c為二次函數
(1)a>0開口向上
x=  2ba
， f(x)有最大值
(2)a<0開口向下
x=  2ba ， f(x)有最小值
b-4ac>0和x軸交於兩點(兩個相異實數解)
b-4ac=0和x軸交於一點(重根)
b-4ac<0和x軸沒交點(無實數解)
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(甲)多項不等式的基礎概念
(1).n次不等式：
設y=f(x)=anxn+an-1xn-1+…..+a1x+a0是實係數n次多項式，
那麼不等式f(x)>0，或f(x)<0，或f(x)≦0，或f(x)≧0就
叫做多項不等式或n次多項不等式(簡稱n次不等式)
例：2x-3>0 , x2-3x+2>0
(2)不等式的解：滿足n次不等式的值，叫做n次不等式的解
(3)不等式的基本性質：
三一律：a>b,a=b,a<b 三式中恰有一式會成立
遞移律：若a>b且b>c，則a>c
加法律：若a>b，則a+c > b+c (c屬於實數)
乘法律：若a>b，且c >0，則ac>bc (不變號)
若a>b，且c <0，則ac<bc (要變號)
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(乙)一次與二次不等式
(1)一次不等式是形如ax+b>0(≧0)或ax+b<0(≦0)的不等式。
二次不等式是形如ax2+bx+c>(≧)0或ax2+bx+c<(≦)0，其中a,b,c為實數。
(2)解二次不等式：
設不等式ax2+bx+c(>,<,≦,≧)0，先將a調整為正
先解一元二次方程式ax2+bx+c=0的二根a、b
(a)設a>0，D=b2-4ac>0，a ,b (a>b)為兩實數
因為ax2+bx+c=a(x-a)(x-b)
分段討論ax2+bx+c的正負：
x
x < a
a <x < b
x > b
x-a
-
+
+
x-b
-
-
+
(x-a)(x-b)
+
-
+
解ax2+bx+c>0 則x>a或x<b(大於大的根或小於小的根)
解ax2+bx+c<0 則b<x<a (介於兩實根之間)
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(b)設a>0，D=b2-4ac=0， a=b為兩相等實數
因為ax2+bx+c=a(x-a)2
分段討論ax2+bx+c的正負：
x
a<x
x>a
x-a
-
+
(x-a)2
+
+
解ax2+bx+c>0 Û x =a(或b) [x>a或x<a]
解ax2+bx+c<0 Û無解
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(c)設a>0，D=b2-4ac<0，a、b均為虛數
ax2+bx+c =
因為a>0且b2-4ac<0，所以
故不管x代入那一個實數，ax2+bx+c恆正。
解ax2+bx+c>0 Û 所有實數均為解。
解ax2+bx+c<0 Û 無解。
多項式函數教材分析
-- 解根的方法
整係數的n次方程式找有理根：
(a)一次因式檢驗定理：
設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為一個整係數n次多
項式，若整係數一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b
互質，則a|an且b|a0。
(b)有理根檢驗定理：
設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0為一個整係數n次
方程式，若
為f(x)=0之一有理根，a,b為整數
且互質，則a|an且b|a0。
多項式函數教材分析
--無理根之勘根定理
無理根:
利用整係數一次因式檢驗定理，可解決有理根的問題，但是就一
般的方程式而言，要找出解，尤其是高次的方程式，通常不是一
件容易的事情。
例如：f(x)=x5+3x2-7x+2=0，由於它是整係數的5次多項式，所以
一定有實根，先考慮是否有理根，根據牛頓定理，x=±1，±2逐一
代入多項函數f(x)中，去看f(x)值的變化：
可以看出，f(x)=0並無有理根，因為它一定有實根，所以它的實
根必為無理根。通常我們無法直接求出f(x)=0無理根的形式，只
能求得它的近似值。
推廣這個概念可得以下的定理：
多項式函數教材分析
--無理根之勘根定理
勘根定理：
設f(x)=0為實係數n次多項方程式，a,b是兩個實數，
若f(a)f(b)<0，則在a,b之間至少有一個f(x)=0的實根。
注意：從觀察圖形可知，
當f(a)f(b)<0時，
則a,b之間的根必有奇數個根。
當f(a)f(b)>0時，
f(x)=0在a,b之間可能有根，也可能無根，
但若有根一定是偶數個根。
多項式函數教材分析
--多項式解的共軛
 多項式解的共軛(複數型、有理數型)
設f ( x)  0為實係數的n次方程式, a、b  , b  0若a  bi為f ( x)  0的一個根,
則a - bi必為f ( x)  0的一個根。
設f ( x)  0為有理係數的n次方程式, a、b  Q, b  0若a  b為f ( x)  0的一個根,
則a - b必為f ( x)  0的一個根。
學生學習切入點分析

多項式是代數的基本成員，而代數學的中心問題─解方
程式，便是我們著重的主題之一。
學習步驟 :
1.熟習多項式的四則運算
2.清楚多項式函數圖形
3.知道任意多項式方程式是否都一定有根
4.如何解根
5.了解多項式不等式
教學網頁設計理念

希望能改變學生對於數學的刻板印象，不是枯燥乏味，
而是變的有趣

簡單的流程，增加學生學習的動機

運用多元的方式提高學生對於這方面的興趣

透過網頁測驗20題，來檢驗學生的學習程度
教學網頁教學目標
 了解多項式函數定義與名詞意義
 學習多項式函數的四則運算
 了解多項式函數圖形之幾何概念
 解出多項式方程式之解
 延伸至多項式不等式運用
網頁設計規劃流程
 以主題式的方式呈現數學觀念，輔以數學媒體幫
助學生進入學習情境，並提高學習樂趣
 利用簡單好玩的動畫以及小遊戲增強學生學習的
動機
 藉由主題測驗20題，使學生立即了解自己的學習
狀況並作改進
 透過題目讓學生實際了解到函數的幾何與代數性
質
參考資料
 參考資料：
1.
2.
數學一，龍騰文化
指考關鍵，翰林