Transcript 第二章《二次函数》（1）

y
x
回顾与思考
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言
或图象来进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴
交流.
3.小结作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方
向、对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函
数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方
程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
本课知识小结
二次函数
定义
抛物线
相关概念
性质和图象
对称轴
顶点
开口方向、对称轴、顶点坐标
图象
增减性
三点式
解析式的确定
顶点式
交点式
思索归纳
二次函数
的定义
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c
是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且
a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.
随堂练习
1.下列函数中,哪些是二次函数？
1
(1）y=3(x-1)²+1; ( 2) y  x  .
x
（是）
怎么判
断？
(3) s=3-2t².
（是）
?
1
(4) y  2
.
x x
(5)y=(x+3)²-x².
（不是）
（不是）
（不是）
二次函数的图象和性质
（一）形如y = ax
二次函数
y = ax 2
2
(a≠0) 的二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
a ＞ 0 向上
x=0
(0,0)
a ＜ 0 向下
（二）形如y = ax 2+k
二次函数
y = ax 2+k
(a≠0) 的二次函数
开口方向
a ＞ 0 向上
a＜0
对称轴
X=0
顶点坐标
（0，k）
2
（三）形如y = a (x-h)
二次函数
y = a（x-h) 2
开口方向
a ＞ 0 向上
a＜0
(四) 形如y = a (x-h)
二次函数
y = a（x-h)
( a≠0 ) 的二次函数
2+k
2
+k
开口方向
a ＞ 0 向上
a＜0
对称轴
x=h
顶点坐标
（h，0）
(a ≠0) 的二次函数
对称轴
x=h
顶点坐标
（h，k）
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1、平移关系
当h>0时,向右平移
当k>0时,向上平移
2
y=a(x－h)
y=ax2
y=a(x－h)2+k
当h<0时,向左平移
当k<0时,向下平移
2、顶点变化
（0,0)
（h,0)
（h,k)
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x26x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？
6
5
y=x2-6x+7
4
=x2-6x+9-2
3
=(x-3)2-2
2
1
•-4
•
-3
•
-2
•
-1
0
-1
-2
•
1
•
2
•
3
•
4
巩固练习1：
（1）抛物线y = x 2的开口向 上 ,对称轴是y轴 ,
顶点坐标是 (0,0),图象过第 一、二
象限 ；
（2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( 不可能)
Y
（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。
（3）抛物线y =x 2+3的开口向 上 ,对称 O
B X
x=0
轴是
,顶点坐标是 （0，3）
,是由抛 A
物线y =x 2向 上 平移 3 个单位得到的；
（4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，
则a ＞ 0，k ＜
0；若图象过A (0,-2) 和B
(2,0) ，则a = 0.5
,k = -2 ；函数关系
式是y = 0.5x 2-2
。
（5）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向上 ,
对称轴 x=1/2 , 顶点坐标是（1/2，1）
（6）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶
点在第四象限，则a ＜0, m ＜ 0, n ＜ 0。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
a>0
向上 b
当 x   2a 时
开口方向
顶点
对称轴
增减性
b 4ac  b 2
( ,
)
y随x的增大而增大
2a
4a
b
x


当 x  2ab 时
2a
y随x的增大而减少
当
最
a<0
x
值
ymin
b
2a
时
4ac  b

4a
b
向下
x
当
2a 时
2
b
4
ac

b
(y随x的增大而减少
,
)
2a
4a b
x
b 2a
当
x
时
2a
y随x的增大而增大
当 x b
2a
2
ymax
时
4ac  b 2

4a
1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的
值总为负，那么a、c应满足的条件是（ C ）
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0
C.a<0且b2-4ac<0
D.a <0且b2-4ac ≤0
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图
象如图所示，请根据图象判断下
列各式的符号：a < 0 ,b < 0,
c > 0 ,∆ > 0 , a-b+c > 0,a+b+c = 0
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标
系内的图象大致是（ C ）
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,
请画一个能反映这样特征的二次函数草图.
二次函数解析式的三种表示方式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
2+bx+c(a≠0)
y=ax
________________
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常
2+k(a≠0)
y=a(x-h)
设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
(x2,0),通常设解析式为_____________
1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点
在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求
a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2
∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下
平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新
抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分
别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若
OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，OA=4，
∴点A（4，0）
y
∵点B在负半轴， OB=1，
∴点B（-1，0）
B O
又 ∵ ∠ACB=90°
∴OC2=OA·OB=4
C
∴OC=2，点C（0，-2）
抛物线的解析式为
1 2 3
y  x  x2
2
2
A x
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)当x为何值时，y随x的增大而增大？
(2)当x为何值时，y<0？
(3)求它的解析式和顶点坐标。
y
O
x
作业：课本复习题1－5