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26.1
二次函数
陈福星
你知道吗？
函数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx(k≠0)
一条直线
y=
k
x
k ≠ 0
双曲线
二次函数
喷泉(1)
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平
均结600个橙子.现准备多种一些橙子树
以提高产量,但是如果多种树,那么树之
间的距离和每一棵树所接受的阳光就会
减少.根据经验估计,每多种一棵树,平
均每棵树就会少结5个橙子.
假设果园增种x棵橙子树,果园橙子
的总产量为y(个),那么请你写出y与x之
间的关系式.
解: 果园共有（100+x）
棵树,平均每棵树结
（600-5x）个橙子,
y=(100+x)(600-5x)
=-5x²+100x+60000.
亲历知识的发生和发展
?
设人民币一年教育储蓄
的年利率是x,一年到期后,
银行将本金和利息自动按一
年定期储蓄转存.如果存款
是100元,那么请你写出两年
后的本息和y(元)的表达式
(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
你能答对吗
用总长为60m的篱笆围成矩形场
地，场地面积S(m²)与矩形一边长
a(m)之间的关系是什么？
解：S=a(
60
2
－a)=a(30－a)
=30a－a²= -a²+30a .
二次函数
y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100 .
s= -a²+30a .
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c
的函数叫做x的二次函数.
(a,b,c是常数,a≠ 0)
有何特
点？
提示:
(1)关于自变量的代数式一定是二次整
式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一
次项和常数项,但不能没有二次项.
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
1
(1) y=3(x-1)²+1（是） (2) y = x + （否）
x
1
（否）
2
x -x
(5)y=(x+3)²-x² （否） (6)v=10πr² （是）
(7) y=x²+x³+25 （否） (8)y=2²+2x （否）
(3) s=3-2t²
（是） (4) y =
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加
xcm时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y与x之间的函数关系表
达式；
（2）当圆的半径分别增加
1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多
少？
敢于创新
2
k - 3k+ 2
如果函数y= x
+kx+1是二次函数,
0,3
则k的值一定是______
k 2 - 3k+ 2
如果函数y=(k-3)x
数,则k的值一定是______
0
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y  (k  k ) x  kx  2  k
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
2
2

k

0

k
解（1）根据题意得

k  0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时
y是x的二次函数
问题再探究
在种树问题中,种
多少棵橙子树,可
以使果园橙子的
总产量最多？
y=-5x²+100x+60000,
x
- 5
y
-
60375
6
60420
7
60455
8
60480
9
60495
10 11 12 13 14 15 60500
60480
60420
60455
60375
60495
-
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
你发现了吗？
60500
60495
60495
60480
60480
60455
60455
60420
60420
60375
60375
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数
是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
结束寄语
书山有路勤为径,
学海无涯苦作舟,
黑发不知勤学早,
白首方悔读书迟.