Transcript 二次函数

二
次
函
数
专业：数学教育专业
姓名：刁文琳
班级：09级数学四班
任课教师：崔赛英
1.定义与定义表达式
2.如何学习二次函数
3.二次函数的图像
4.二次函数与一元二次方程
5.中考典例
定义与定义表达式
一般式：1：y= ax  bx  c ，a、b、c为常数)，
则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,
2
/4a) (若给出抛物线上两点及另一个条件，
( 4 ac  b )
通常可设一般式）
2
定义与定义表达式
2
顶点式：y=a(x-h）x +k或y=a(x+m) x 2 +k
(两个式子实质一样,但初中课本上都是第一
个式子)（若给出抛物线的顶点坐标或对称
轴与最值，通常可设顶点式），顶点坐标
为（h,k）或（-m,k）
定义与定义表达式
交点式（与x轴）：y=a(x-x₁)(x-x₂) （若给
出抛物线与x轴的交点及对称轴与x轴的交
点距离或其他一的条件，通常可设交点式）
定义与定义表达式
重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数
的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口
方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对
值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数
x₁,x₂=  b  2ba  4 ac
(即一元二次方程求根公式）
求根的方法还有因式分解法和配方法
2
如何学习二次函数
1、要理解函数的意义。
2、要记住函数的几个表达形式，注意区分。
3、一般式,顶点式,交点式，等，区分对称
轴，顶点，图像等的差异性。
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数
y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永
无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函
数将是由一般式平移得到的。
二次函数的图像
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴
（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，
(4ac- )/4a )
2
b
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=
-4ac=0时，
2
P在x轴上。
b
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛
物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
二次函数的图像
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对
称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，
所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴
在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，
所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），
对称轴在y轴左；当a与b异号时 （即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的
该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
二次函数的图像
6.抛物线与x轴交点个数
2
Δ= b - 4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
2
Δ= b - 4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b 2- 4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚
数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上 虚数i，整个式
子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac2
b /4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在
{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值
2
域是{y|y≥4ac- b /4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，
2
解析式变形为y=
+c(a≠0)
ax
二次函数的图像
7.特殊值的形式
①当x=１时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.
0
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R
a
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a
二次函数与一元二次方程
 bx  c
二次函数（以下称函数）y=
当y=0时，二次函数为关于x的一元二
次方程（以下称方程），
即 ax 2  bx  c
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无
实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
ax
2
中考典例
中考典例
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