Transcript 第八章狄拉克函数

第八章
狄拉克 函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到狄拉克函数
（单位脉冲函数）。因为有许多物理现象具有脉冲性
质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的
电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统
受冲击力作用后的运动情况等。 研究此类问题就会产
生我们要介绍的狄拉克函数。下面我们将从物理实例
出发引入狄拉克函数，并介绍函数的基本知识。
数学物理方法
第一节 一维 函数的定义和性质
一、一维 函数的定义
通过点电荷密度的计算，引入 函数的定义。
设：均匀带电细线，中心位于 x0 ，长度： l ，总电量：
单位电荷 1。
l

0 ( x  x0  2 ) (1)
线电荷密度  ( x)  1
l
 ( x  x0  ) (2)
2
l

总电量 Q    ( x)dx  1

数学物理方法
当 l  0 时，电荷分布可看作位于 x  x0 的单位点电荷。此时

 ( x)  0 ((xx xx0 ))
0
(3)

  ( x)dx  1
（4）

把定义在区间 (, )上，满足上述这两个要求的函数称为
 函数，并记作 ( x  x0 ) ，即

（5）
  ( x  x )dx  1
（6）
0 ( x  x0 )
 ( x  x0 )   ( x  x )
0

0

数学物理方法

 ( x  x0 )  0 ((xx xx0 )) （5）
0

  ( x  x )dx  1（6）
0

根据（5）式，在 x  x0 时， ( x  x0 )  0 ，所以（6）式左边
的积分不需要在 (, ) 的区间进行，而只需要在一个包含
x  x0 点在内的区间内进行，即

1 (a  x0  b)
a  ( x  x0 )dx  0 (a  x0 , b  x0 )
b
引入 函数后，位于 x0 处、电量为 q 的点电荷的线电荷密度为：
 ( x)  q ( x  x0 )。位于坐标原点，质量为 m 的质点的质量线
密度为：  ( x)  m ( x  0)  m ( x)
数学物理方法
说明：
1. 函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数：
它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出

 ( x)  0 ((xx  0)
0)
这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义。
例：



f ( x) ( x)dx  f (0)
数学物理方法
二、 函数的性质
性质 1：若 f ( x) 是定义在区间 (, )的任一连续函数，则



f ( x) ( x  x0 )dx  f ( x0 )
—将 ( x  x0 ) 乘上 f ( x) 进行积分，其值为将 f ( x) 的 x 换为 x0 或
者说： 函数具有挑选性（把 f ( x) 在 x  x0 的值挑选出来）
证明：设 是任意小的正数，则由于 ( x  x0 ) 在 x  x0 时为零，
所以 


f ( x) ( x  x0 )dx  
x0 
x0 
f ( x) ( x  x0 )dx
由积分中值定理有：



f ( x) ( x  x0 )dx  f ( ) 
x0 
x0 
 ( x  x0 )dx ( x0      x0   )
数学物理方法


f ( x) ( x  x0 )dx  f ( ) 
x0 
x0 

 ( x  x0 )dx ( x0      x0   )
当  0 时，  x0 ，连续函数 f ( )  f ( x0 ) ，且

x0 
x0 
所以 

 ( x  x0 )dx  1
f ( x) ( x  x0 )dx  f ( x0 )

特别地： x0  0 时， 


说明：


f ( x) ( x)dx  f (0)
f ( x) ( x  x0 )dx  f ( x0 ) 也可作为δ函数的定义，即
δ函数可以通过它在积分号下对任一连续函数 f ( x) 的运算
性质来定义。
数学物理方法
性质 2.（对称性）： ( x  x0 )   ( x0  x)   函数是偶函数
证明：设 f ( x) 为定义在 (  ) 的连续函数，则




f ( x) ( x0  x)dx


  x0  x



f ( x0   ) ( )(d )

f ( x0   ) ( )d  f ( x0 )   f ( x) ( x  x0 )dx

  ( x0  x)与 ( x  x0 ) 在积分号下对任一连续函数 f ( x) 的运
算性质相同   ( x0  x)= ( x  x0 )
数学物理方法
性质 3. f ( x) ( x  x0 )  f ( x0 ) ( x  x0 )
上式的确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数
 ( x)以后，对 x 积分相等




 ( x) f ( x) ( x  x0 )dx    ( x) f ( x0 ) ( x  x0 )dx

证明：当 x  x0 时，等式两边均为零
当 x  x0 时，等式两边均为 f ( x0 ) ( x  x0 )
数学物理方法
f ( x) ( x  x0 )  f ( x0 ) ( x  x0 )
性质 4. x ( x)  0
证明：对任意的连续函数 f ( x) ，均有：




x ( x) f ( x)dx   xf ( x) ( x  0)dx  [ xf ( x)]x 0  0

连续函数 f ( x) 的任意性得
x ( x)  0
另一种证法：由性质 3 中令 f ( x)  x ，则
x ( x  x0 )  x0 ( x  x0 )
令 x0  0 ，则 x ( x)  0
数学物理方法
性质 5：若 ( x)为连续函数，且 ( x)  0 只有单根
xk (k  1, 2
 ( x  xk )
N ), 则 [ ( x)]  
k 1  ( xk )
N
证明：由一维 函数的定义可得
0, 当 ( x)  0,即x  xk
  ( x)  
, k  1, 2,
, 当 ( x)  0,即x  xk
,N
通过上式可得   ( x) 的函数曲线是有 N 个峰值的曲线，因此可
N
将  ( x) 展开为  ( x)   Ck ( x  xk )
k 1
现在的问题归结为求展开系数 Ck ，现在区间 xm   , xm    对上式
两端积分
数学物理方法

xm 
xm 
N
 [ ( x)]dx   Ck 
k 1
xm 
xm 
N
 [ x  xk ]dx   Ck mk  Cm
k 1
将上式两端的指标 m 改为 k ，即有 Ck  
xk 
xk 
利用 ( x) 
Ck  
xk 
xk 
 [ ( x)]dx
d ( x )
d ( x)
即 dx 
可得
 ( x)
dx
d ( x )
 [ ( x)]dx  
 [ ( x)]
 ( xk  )
 ( x)
 ( xk  )
1  ( xk  )
 [ ( x)]d ( x)
利用第二中值定理得 Ck 

 ( )  ( xk  )
当  0 ，  xk ， ( )   ( xk ) ，上式可写为
 ( xk  )
1
Ck 
 [ ( x)]d ( x)

 ( xk )  ( xk  )
数学物理方法
 ( xk  )
1
Ck 
 [ ( x)]d ( x)

 ( xk )  ( xk  )
（1） 当( xk )  0 时，在区间 xk   , xk    中，积分上限大于积
分下限 ( xk   )   ( xk   ) ，积分变为
 ( xk  )
1
1
Ck 
 [ ( x)]d ( x) 


(
x


)
 ( xk ) k
 ( xk )
（2） 当 ( xk )  0时，在区间 xk   , xk    中，积分上限小于积
分下限 ( xk   )   ( xk   ) ，积分变为
 ( xk  )
1
1
Ck  
 [ ( x)]d ( x)  


(
x


)
 ( xk ) k
 ( xk )
数学物理方法
N
1
综上所述： Ck 
，  ( x)   Ck ( x  xk )
 ( xk )
k 1
 ( x  xk )
  [ ( x)]  
k 1  ( xk )
N
说明：若  ( x) 有重根，则上式不成立。例如  ( x)  x2 有重根
x1  x2  0，这时  ( x1 )   ( x2 )  0 处在上式得分母上无意义。
数学物理方法
三、 函数的几个常用表达式
1. 函数的傅里叶积分
1  ik ( x x)
—积分形式
 ( x  x) 
e
dk

2 
证明：由傅里叶积分及展开系数公式出发，有
1
f ( x) 
2




c(k )eikx dk （1）
c(k ) 

f ( x)e  ikx dk （2）

令 f ( x)   ( x  x) ，代入（2）式：

c(k )    ( x  x)eikx dx  e ikx
（3）

1
（3）式代入（1）式： f ( x)   ( x  x) 
2



eik ( x x) dk
数学物理方法
2.
1
 ( x)  lim
n 2

n
n
cos kxdk
——极限形式
1  ik ( x x)
,
证明：在 ( x  x) 
中，令
e
dk
x
 0，则

2 
1  ikx
 ( x) 
e dk


2
欧拉公式

1 

{ cos kxdk  i  sin kxdk}

2 
1 
1 n

cos kxdk  lim  cos kxdk

n  2  n
2 
数学物理方法
3.
sin 2 (ux)
 ( x)  lim
u   x 2u
——根限形式
sin v
证明：（1）当 x  0时, 令v  xu ，且有 lim
1
v 0
v
sin 2 (ux)
u
sin( xu ) 2
u
lim
 lim [lim
]  lim  
v 0  x 2 u
u   x 0
u  
xu
（2）当 x 为不等于 0 的常数时：
sin 2 (ux)
1
lim
 lim 2  0
2
u 
u   x u
x u
（3）在 (, ) 区间的积分值：
sin 2 (ux)
1  sin 2 (ux)

  x2u dx    (ux)2 d (ux)    1

数学物理方法
4. ( x)  lim
n 
5. ( x)  lim
 0
n

e
 nx 2

 ( x2   2 )
1
n
6. ( x)  lim
n   (1  nx 2 )
说明：因为 函数并不是给出普通的数值之间的对应关系，
所以 函数也不象普通的函数那样具有唯一确定的表达式。
数学物理方法
7 用阶跃函数的导数表示
x0
0,
阶跃函数的定义为 H ( x)  
x0
1,
 ( x)  H ( x)
证明：设 f ( x) 是任意的连续函数，则


f ( x) H ( x)dx  




 f ( x) H ( x)   


H (x)
1
0

dH ( x)
dx   f ( x)dH ( x)
f ( x)

dx
f ( x) H ( x)dx

 f ()   f ( x)dx  f ()   f ()  f (0)   f (0)
0
与


f ( x) ( x)dx  f (0) 相比较，由 f ( x) 的任意性得结论。
数学物理方法
x
四、 函数导数的定义
1.定义：对于任意连续函数 f ( x) ，若



f ( x) ( x  x0 )dx   f ( x0 )
成立，则 ( x  x0 ) 称为 ( x  x0 ) 的导数，并记作
d
 ( x  x0 )   ( x  x0 )
dx
说明： 函数的导数可按通常的导数公式进行运算
例：



f ( x) ( x  x0 )dx
分部积分
f ( x) ( x  x0 )
  f ( x0 )
=





f ( x) ( x  x0 )dx
数学物理方法
2. 函数 n 阶导数的定义：
若 f ( x) 为任意连续函数，如果



f ( x) ( n ) ( x  x0 )dx  (1) n f ( n ) ( x0 )
成立，则 ( n ) ( x  x0 )称为 ( x  x0 ) 函数的 n 阶导数，并记作：
n
d
 ( n ) ( x  x0 )  n  ( x  x0 )
dx
数学物理方法



f ( x) ( x  x0 )dx   f ( x0 )
五、 函数导数的性质
1  ( x) 是奇函数： ( x)   ( x)
证明： ( x) 的对  x 求导的，考虑到 ( x) 是偶函数，
d ( x)
d ( x)

  ( x)
d ( x)
dx
2 x ( x)   ( x)
所以 ( x) 
证明：用 f ( x) 乘上式左边后对 x从  到积分，得



 函数
f ( x) x ( x)dx  
导数定义

d
[ xf ( x)]   f (0)   f ( x)[ ( x)]dx
dx
x 0

 x ( x)与   ( x) 在积分号下对任意连续函数 f ( x) 的运算性
质相同  x ( x)=   ( x)
数学物理方法
六、三维 函数
 3 (r )   ( x) ( y) ( z )
1.定义：

(r  0)
 3 (r )  
0 (r  0)









 (r )d r    ( x)dx   ( y)dy   ( z )dz  1
3
3
2. 3 (r ) 的傅里叶积分：
 3 (r ) 
1

ik r 3
e
 dk
(2 )3 
数学物理方法
 A  dS     AdV
S
V
1 21
3.用拉普拉斯算符表示： (r )  

4
r
1
1 21
证明：（1） r  0时，   、 
 
r
4
r
（2）r  0时，将球坐标系下的 2 代入，保留对 r 求偏导的算
1 21
1  2  1
1 
符
 
[r
( )]  
(1)  0
2
2
4
r
4 r r
r r
4 r r
（3）对全空间积分：
3


1 21 3
1
1 3
1
1
  4  r d r   4    ( r )d r   4 s  r  ds

1
er
1 ds 1
1

( 2 )  er ds 

d 
4  1
2



4 s r
4 s r
4 s
4
数学物理方法
4.正交归一完备系{ n ( r )}的完备性条件

 3 (r  r )   n* (r )n (r )
n 1
证明：由{ n ( r )}构成正交归一的完备性，故可对任意单值连

续有限的函数 f (r ) 展开为： f (r )   cnn (r )
n 1

其中： cn   n* (r ) f (r )d 3r 





 f (r )  [   (r ) f (r )d r ]n (r )   [n* (r )n (r )] f (r )d 3r 
n 1
又

*
n
3

n 1

f (r )    3 (r  r ) f (r )d 3r 

数学物理方法




 f (r )  [   (r ) f (r )d r ]n (r )   [n* (r )n (r )] f (r )d 3r 

n 1
*
n
3

n 1

f (r )    3 (r  r ) f (r )d 3r 
又


比较得：  n* (r )n (r )   3 (r  r )
n 1
数学物理方法
数学物理方法