Transcript 函数、极限与连续的MATLAB求解

第6章 函数、极限与连续的MATLAB求解
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6.1
 6.2
 6.3
 6.4
 6.5

映射与函数
数列的极限
函数的极限
函数的连续性与间断点
闭区间上连续函数的性质
6.1
映射与函数
1.集合
集合是数学中的一个基本概念，所谓集合是指具有某种特定性质的对象的总体，组成
这个集合的每一个体称为该集合的元素。如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作
，
否则就说 不属于 ，记作
或
。一个集合，若它只含有限个元素，则称为有限集；
否则称为无限集。
表示集合的方法通常有以下两种：一种是列举法，就是把集合的全体元素一一列举出
来表示。例如，由元素
组成的集合 可表示成
另一种是描述法，若集合 是由具有某种性质 的元素 的全体所组成的，就可表示为
2.函数
1.函数的定义与性质
设 是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对 中每个元素 ，按法则 ，在 中有
唯一确定的元素 与之对应，则称 为从 到 的映射，记作
其中 称为元素 在映射 下的像，并记作
，即
而元素 称为元素 在映射 下的原像；集合 称为映射 的定义域，记作
有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记作 或
，即
设数集
，则称映射
为定义在 上的函数，通常简记为
其中 称为自变量， 称为因变量， 称为定义域。
，即
； 中所
2. 反函数与复合函数
设函数
的定义域为 ，值域为 。如果对于任意数值 ，在 中都有唯一确定的值 ，
使得 ，则得到以 为自变量， 为因变量的新函数，这个新函数叫做函数 的反函数，记作 ，其
定义域为 ，值域为 。
3.常用数学函数
在我们所研究的函数关系中，有几类最基本的常见函数，这就是常值函数、幂函数、指
数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这几类函数称为基本初等函数。
MATLAB只提供了底为
的对数求解函数，对于一般情形，可根据换底公式：
6.2
数列的极限
1.数列极限的定义
设
为一数列，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存
在正整数 ，使得当
时，不等式
都成立，那么就称常量 是数列
的极限，或者称数列
或
收敛于
，记为
2.数列极限的MATLAB符号求解
在MATLAB中，提供了limit函数来求取数列的极限，其调用格式为：
L=limit(xn, n, inf)
L=limit(xn, inf)
运行结果如图所示。
图
数列极限的图形直观表示
6.3
函数的极限
函数极限的定义
1. 自变量趋于有限值时的函数极限
设函数
在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （
不论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式
时，对应的函数值
都
满足不等式
那么常数 就叫做函数
当
时的极限，记作
或
（当
）
2. 自变量趋于无穷大时的极限
设函数
当 大于某一正数时有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论
它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式
时，对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫做函数
当
时的极限，记作
或
（当
）
函数极限的MATLAB符号求解
数列可以看成一种特殊的函数，所以求函数的极限仍然采用limit函数，此时其调用格式为：
L=limit(fx, x, x0)
L=limit(fx, x, x0, 'left')
L=limit(fx, x, x0, 'right')
运行结果如图所示。
图
函数极限的图形直观表示
6.4 函数的连续性与间断点
1.函数的连续性
设函数
在点
的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数
在点
连续。
述函数的连续性定义利用程序语句的形式来描述可以编写函数文件FunContinuity.m。
运行结果如图所示。
图
函数连续性的图形直观表示
2.函数的间断点
设函数
在点 的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数
有下列三种
情形之一：
（1）在
没有定义；
（2）虽在
有定义，但
不存在；
（3）虽在
有定义，且
存在，但
，
则函数
在点 为不连续，而点 称为函数
的不连续点或间断点。
间断点的几种常见类型有：无穷间断点、振荡间断点、可去间断点和跳跃间断点等。
若根据函数的左极限与右极限是否存在分类还可以将间断点分为两类：如果 是函数
的
间断点，但左极限
及右极限
都存在，那么 称为函数
的的第一类间断点，不是
第一类间断点的任何间断点均成为第二类间断点。可去间断点和跳跃间断点属于第一类间
断点，而无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点。
6.5
闭区间上连续函数的性质
1.有界性与最大值最小值定理
对于在区间
上有定义的函数
，如果存在
，使得对于任一
都有
则称
是函数
在区间 上的最大值（最小值）。
根据该定义，我们可以给出有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该
区间上有界且一定能取到它的最大值和最小值。
2.零点定理与介值定理
如果 使得
，则 称为函数
设函数
在闭区间
上连续，且
内至少有一点 ，使
的零点。
与
异号（即
），那么在开区间
从几何上看，上述定理（称为零点定理）表示：如果连续曲线弧
的两个端点位于
轴的不同侧，那么这段曲线弧与 轴至少有一个交点。
将上述零点定理稍加推广可得到介值定理：设函数
在闭区间
上连续，且在这区间的
端点取不同的函数值
及
那么，对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间
内至少有一点 ，使
谢谢大家！