Transcript 师生活动1 - 中华资源库

y
o
y
x
o
x
[师生活动1]：填写下表，并探索一元二次方程与相应二次函数的关
系
一元二次
方程
方程的
根
二次函数
图像与横轴
交点的横坐
标
函数的图像
y
x2－x－6=0
 2与 3
y=x2－x－6
 2与 3
o
x
y
x2－2x＋1=0
x2－x＋6=0
1
无实根
y=x2－2x＋1
1
o
x
y
无交点
y=x2－x＋6
o
x
[师生活动2]：填写下表，并探索利用函数的性质找出零点找到方程根的方法
二次函数f(x)=x2－x－6
y
-2 o
f(-4)·f(0)符号
是 负 .
f(0)·f(4)符号
是 负 .
一元二次方程
x2－x－6=0
3
x
在区间(-4,0)是否
存在零点 是
在区间(-4,0)是否
存在实数根 是
在区间(0,4)是否
存在零点 是
在区间(0,4)是否
存在实数根 是
[师生活动3]：抽象概括
1．零点的概念
函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
2.方程的根与函数零点之间的关系
f(x)的零点就是方程f(x)=0的解，函数零点的个数就决定了相
应方程实数解的个数．
3．闭区间上连续函数的零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的曲线，并且
在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)
内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在(a,b)
内至少有一个实数解．
[师生活动4]：应用闭区间上连续函数的零点存在定理时的注意事项
1.前提： ①闭区间[a,b]; ②连续; ③端点的函数值符号相反
2.结论：在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点
[师生活动5]：典型例题
例1.已知函数f(x)=3x－x2．问：方程f(x)=0在区间[-1,0]内
有没有实数解？为什么？
解 因为 f(-1)=3 -(-1) = 
-1
2
2
<0,
3
f(0)=30－(0)2=1>0,
函数 f(x)=3x－x2 的图像是连续曲线，所以
f(x)在区间【－1，0】内有零点，即 f(x)=0
在区间【－1，0】内有实数解。
例2.判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，
一个小于2．
解
考虑函数f(x)=f(x－2)(x－5) －1,有
f(5)=f(5－2)(5－5) －1=－1,
f(2)=f(2－2)(2－5) －1=－1.
又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线
（如图4-2），
在（－ ∞ ，2）内存在一点a, 有f(a)>0;
在（5，+∞）内存在一点b,
有f(b)>0.
所以方程(x－2)(x－5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个
小于2.
例3.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数．
解：用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
－1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
由上表和图可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间
（2，3）内有零点。由于函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,
所以它仅有一个零点。
转几何画板
[课堂练习]
4.作出下列函数图像，并指出零点所在的大致区间
①f(x)=-x3-3x+5
②f(x)=2x·ln(x-2)-3
③f(x)=ex-1+4x-4
④f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x
转几何画板
[课堂小结]
1．对函数的零点的理解
对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数的零点，注意以
下几点：
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标；
(3)一般我们只讨论函数的实数零点．
2．求一个函数零点的具体方法步骤
以f(x)＝g(x)－h(x)为例，具体应有四个步骤：
(1)整理：化函数为方程g(x)＝h(x)的形式，其中函数y＝g(x)和y＝h(x)的图象
均容易画出；
(2)画图：在同一坐标系下画出两个函数y＝g(x)和y＝h(x)的叠合图；
(3)观察：观察由(2)得到的叠合图，两种图象的交点个数即为方程g(x)＝h(x)
的根的个数，也即函数f(x)＝g(x)－h(x)零点的个数；交点的横坐标
即为方程g(x)＝h(x)的根，也即函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点；
(4)验证：因为作图和观察过程中可能有失误，所以，需要用根的存在性定
理对(3)中的初步结论进行验证．