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利用函数性质判定方程解的存在
JXSDFZ
LI YONG HAN SHU XING ZHI PAN DING FANG CHENG JIE DE CUN ZAI
利用函数性质判定
方程解的存在
江西师大附中 曾敏
利用函数性质判定方程解的存在
LI YONG HAN SHU XING ZHI PAN DING FANG CHENG JIE DE CUN ZAI
（一）设问激疑，创设情景
问题一：
一元一次方程 x 1  0 的根和相应的一次函数
f ( x)  x  1 的图象与 x 轴交点坐标有何关系？
y
o
-1
 2

1
x
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问题二：
2
x
 3 x  2  0 的根和相应的二次函数
一元二次方程
f ( x)  x 2  3x  2的图像与 x轴交点坐标有何关系？
y
o

1

2
x
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（二）启发引导，形成概念
函数零点的概念：
我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这
个函数的零点。
等价关系：方程 f ( x)  0 有实数根
 函数 y  f (x) 的图像与 x 轴有交点
 函数 y  f (x) 有零点
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例如：判断函数 y  x  1  2 零点的个数.
解：通过分类讨论把绝对值函数转化
为分段函数，作出函数图像。
函数 y  x  1  2 的图像与x轴有两
个交点，所以函数有两个零点。
y
2
1
0
1
2
3
x
-1
-2
练习：求下列函数的零点：
(1). f ( x)  x  5 x  6
2
(2). f ( x)  2  1
x
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（三）讨论探究，揭示定理
思考：函数 y=f(x) 在某个区间上
是否一定有零点？怎样的条件下，函
数y=f(x)一定有零点？
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观察函数 f ( x )  x  1 的图像，此函数在区间
0,2 上有没有零点？
计算函数 f ( x )  x  1在区间0,2 的两个端点对应
的函数值
f (2) 的乘积，你能发现这个乘积有
f ( 0) 和
何特点？
y
1
o
-1
1 2
x
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观察二次函数 f ( x)  x 2  3x  2 的图像，此函数


在区间 0,
3
上没有零点？

2
计算二次函数 f ( x)  x 2  3x  2 在区间 0, 3  的
 2
3
两个端点对应的函数值 f (0)和 f ( ) ，你能发现这个
2
乘积有何特点？
y
此函数在区间  3 ,3 上是否也
2
具有这样的特点？

2
o1

4
1
2
3
x
2
3
x
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结论：
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如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 , 那么函数y=f(x)在
区间(a,b) 内至少有一个零点，即存在 c∈(a,b) , 使得
f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
y
y
0 a
b x
y
0a
0 a
b
x
y
b
x
0a
b
x
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思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零
点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
y
0
a
bbb
bb
bb
b
bb bb x
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（四）观察感知，例题学习
例1、判断方程 x  x  6  0
在.
例2、已知函数 f ( x)  3x  x2
程
2
解的存
f ( x,
)  问:
0
方
 1,0
在区间
内有没有实数解？
2
2
0
2
1
f
(0)

3

0
 1  0,
f

1

3


1



0,
 
解 因为  
为什么？
3
x
2
f
(
x
)

3

x
函数
的图像
f所以
 x  是连续曲线，
 1,0在区间

f  x   0 内有零点，
 1,0
即
在区间
内有实数解
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例3、判定方程  x  2 x  5  1
有两
个相异的实数 解，且一个大于5，一个小于2。
x    x  2 x  5  1
解 f 考虑函数
f  5 有
  5  2  5  5   1  1
y
f  2    2  2  2  5   1  1
 , 2
如图知,在
点
 5,  
a, f  a   0
内存在一
，
b, f  b   0
在
内存在
(5,
b
)
所以抛物线与横轴在
内有
一点
，
( a, 2)
一个交点，在
内也有一个
交点。
0
-1
2
5
x
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（五）知识应用，尝试练习
1. 课本P116练习
2.（思考题）判定方程ln x  2x  6  0
的根的个数.
（注意到: 函数在定义域是单调递增函数）
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（六）总结提炼，培养能力
1.
方程的根与函数的零点的关系
2.
判断图像连续的函数在某个给定区间存在零
点的方法
（七）课后作业，自主学习
课本P119习题4—1
A组 1、4
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