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必修1
§2.3函数单调性
——抽象函数的单调性
探索发现之旅
江西师大附中 廖涂
凡
问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
求：
(1) f (1)的值;
(2)证明：函数f ( x)在定义域上是增函数;
1
(3)解关于x的不等式：f [ x( x  )]  0.
2
抽象函数是指解析式未指明的函数，研究
它需要结合函数的基本性质.
对于(1),应对题中的恒等式采取的是赋值法，一般而
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言，所赋的值以x,y=0,±1或是令 x  y, x   y, x  ,
y
总之能体现x,y与所求数据的联系。
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
求：
(1) f (1)的值;
(2)证明：函数f ( x)在定义域上是增函数;
1
(3)解关于x的不等式：f [ x( x  )]  0.
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解: (1) 令x=y=1 得 f (1)  f (1)  f (1)
解得f (1)=0
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问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
求：
(2)证明：函数f ( x)在定义域上是增函数;
任取x1 , x2  (0, ), 且x1  x2，
则f ( x2 )  f ( x1 )如何大于0呢？
(2)分析:
哪里有"  0"这样的不等关系呢？
那么如何创造“ 当x  1时” 呢？
x2
x2
根据规定x1  x2 , 有  1，进一步把 看成是一个整体,
x1
x1
x2
就有了f ( )  0。
x1
x2
因此，接下来的事就是如何将f ( x2 )  f ( x1 )与f ( )画等号了！
x1
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问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
求：
(2)证明：函数f ( x)在定义域上是增函数;
x2
) *），
(2)分析:要证明f ( x2 )  f ( x1 )=f ( （
x1
肯定要用到题中恒等式，那里等式右边是两项的和，
因此，把这里分析的式子( * ) 变成:
x2
f ( x2 )=f ( )+f ( x1 )
x1
x2
x  y  x1  x2
x1
y
x
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问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
求：
(2)证明：函数f ( x)在定义域上是增函数;
x2
解(2) :任取x1 , x2  (0, ), 且x1  x2，令x  , y  x1代入恒等式
x1
x2
x2
 f ( x2 )=f ( )  f ( x1 ) 即f ( x2 )  f ( x1 )  f ( )
x1
x1
x2
x2
x1  x2 ,  1， f ( )  0
x1
x1
x2
即f ( x2 )  f ( x1 )
 f ( x2 )  f ( x1 )  f ( )  0
x1
函数f ( x)在定义域上是增函数;
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问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
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(3)解关于x的不等式：f [ x( x  )]  0.
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(3)分析:由于抽象函数没有给出解析式，因此不能考
虑将f(x)解析式代入的方法去化简题设不等式.
因此只能根据函数的性质来解，显然就是单调
性。 而单调性如何使用呢？
现在知道了f(x)是递增的，且有个函数值有关的
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不等式 f [ x( x  )]  0.
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结合单调性定义中的出现的不等式，应该让右边
也出现“f”符号
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问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
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(3)解关于x的不等式：f [ x( x  )]  0.
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那么， f [ x( x  )]  0 右边的0是f(?)呢？
2
由第(1)问知，显然是f(1).
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即f [ x( x  )]  f (1)
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再由单增脱去“f”符号就得到了关于x的不等式.
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问题： 已知函数f ( x)的定义域为(0, ),当x  1时，f ( x)  0,
且f ( x  y )  f ( x)  f ( y ).
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(3)解关于x的不等式：f [ x( x  )]  0.
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解： (3) 由第(1)问结论知， f [ x( x  )]  0  f (1)
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即f [ x( x  )]  f (1)
2
由第(2)问结论知，函数f(x)在定义域上是增函数
1
 x( x  )  1 当然，考虑到定义域还应有：
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1
x( x  )  0 解这个不等式组得：
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1
1  17
不等式的解集是{x |  x 
}.
2
4

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点评：
（1）抽象函数的单调性的证明，需要从
单调性的定义出发，步步分析，结合题中
的不等关系条件，最终得出到底要赋什么
f ( x1 )与f ( x2 )
值，从而可以得到
到底是大于还是小于0.
（2）解有关“f”符号的不等式，在没有
f(x)解析式的情况下，只能把两边都写成
f(?)<f(?)的形式，然后用单调性脱去“f”
符号,从而得到关于所求字母的不等式.
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