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微课爱我
复习与小结（5）
裂项相消法求数列前n项和
我爱微课
引 例：
1
1
1
1

 ...... 
求和：sn  
3 35 35 7
3  5  7  ......  (2n  1)
1
分析：令该数列的第n项为an 
3  5  7  ......  (2n  1)
1
1
化简得an 

(3  2n  1)n n(n  2)
2
1
1
2
1
１１ 1
因为 

所以an 
 ( 
)
n n  2 n(n  2)
n(n  2) 2 n n  2
所以sn  a1  a2  a3  ......  an
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
 [(1  )  (  )  (  )  ......  (

)( 
)]
2
3
2 4
3 5
n 1 n  1
n n2
然后将互为相反数的项消去,再化简即可求得答案。
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
找到通
引 例： 项公式
用裂项后通项
公式表示各项
裂项
1
1
1
1
求和：sn  3  3  5  3  5  7  ......  3  5  7  ......  (2n  1)
1
1
1
１１ 1
解析：令an 


 ( 
)
(3

2
n

1)
n
3  5  7  ......  (2n  1)
n(n  2) 2 n n  2
2
则s  a  a  a  ......  a
n
1
2
3
n
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
1
1 1
1
(1  )  (  )  (  )  ......  (
 ) (

) ( 
)
2
3 2 2 4 2 3 5
2 n  2 n 2 n 1 n  1 2 n n  2
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
＝ [(1  )  (  )  (  )  (  )  ......  (

)(
 )(

)( 
)]
2
3 2 4 3 5 4 6
n  3 n 1 n  2 n n 1 n  1 n n  2

1
1
1
1
 (1  

)
2
2 n 1 n  2
消项
3
1
1
 

4 2n  2 2n  4
化简
留项位置具有对称性
裂项相消法
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
归纳：
1、裂项相消法：像这样先将通项公式裂成两项（或几
项）相减的形式，然后在求前n项和当中，将那些互为
相反数的项消去，最后只剩下位置具有对称性的首尾各
具相同数量的几项相加减，我们就称之为裂项相消法。
2、裂项相消法一般步骤：
①先将数列通项公式裂成两项（或几项）相减的形式
②将数列前n项和中的项用裂项后的通项公式形式展开
③将那些互为相反数的项消去，最后只剩下位置具有
对称性首尾同数量的几项相加减，
④化简出最后结果
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心得：
裂项相消法是数列中一种重要的求和方法，该方法的
难点是：
（1）找到通项公式，将通项公式“裂项”（因式分解）
（2）找准消项规律（留项带符号，首尾留项位置对称）
注意点是：
（1）裂项相消法消项时可能会出现例题中这种隔项相
消的情况，为便于观察，我们一般至少要写出其前n项
和中的前三项和后三项
（2）一般情况下，通项公式是分式时，求该数列前n项
和，可以考虑裂项相消法
1
比如数列通项公式an 
，分子分母都乘以（ n  1- n）
n 1  n
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微诊断：
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求和sn 


 ...... 
2 1
3 2
4 3
n 1  n
答案及解析请看微诊断视频！
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
谢谢观看！
微诊断：
1
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1
1
求和sn 


 ...... 
2 1 3  2
4 3
n 1  n
解析：令an 
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n 1  n

 n 1  n
n  1  n ( n  1  n )( n  1  n )
则sn  a1  a2  a3  ......  an
 ( 2  1)  ( 3  2)  ( 4  3)  ......  ( n  1  n )
 n 1 1
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