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等比数列 （5）：
巧用构造法求形如
“ an1  kan  b” 的数列的通项公式
我爱微课
引例
已知数列an 中
首项为a1 , an1  k  an  b(k  1, b  0, n  N  )，求通项公式an
方法1： 构造新数列：
an   ——等比数列
令an1    k   an   
 an1  k  an   k  1    k  an  b
法
b
  k  1    b   
k 1
 an   是以a1  为首项，k为公比的等比数列。
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引例
已知数列an 中
首项为a1 , an1  k  an  b(k  1, b  0, n  N  )，求通项公式an
an1  an — —等比数列
方法2： 构造新数列：
(1)
an 1  k  an  b　
(2)
an  k  an 1  b　(1)  (2)得an 1  an  k  an  an 1 
an1  an 为以a2  a1为首项，k为公比的等比数列。
 an 1  an  f n 
再用累加法得到an .
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例题
已知在数列an 中，an1  2an  3，
首项a1 =1，n  N .求数列an  通项.
*
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解析
方法一
法
设an1   =2  an   
an1  2an  
   3.
即数列an  3 是以a1  3  4为首项，公比
为2的等比数列.
 an  3  4  2
an  2
n 1
n 1
3
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解析
方法二
由已知an1  2an  3 1
 an  2an -1  3  2 
1 -  2  得an1  an =2  an  an -1 
即数列an1  an  是以a2  a1 =4为首项，
公比为2的等比数列 a2 =2a1 +3=5 
n1
n1
an1  an =4  2 =2
 f  n
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解析
于是根据等差型数列求通项的方法( 累加法)
 an  an -1 = 2n

n 1
 an1  an -2 = 2


 a  a =22

2
1
 an  a1  2n  2n1 

4 1  2n1 
1 2
 23  2 2
 2n1  4
 an  2n 1  3
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练 习 已知数列an  满足下式，求an .
 a1  1


1
 an1   2 an  6
 1
an =5  - 
 2
n 1
4
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小结
当给出的递推公式是形如 an1  kan  b
时,往往利用构造法构造新的等比数列来
求通项公式，这是一种重要的数学方法。
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点评
构造数列an   或数列an1 -an  为等比数列
是求解此类题目的重要方法之一
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