Transcript 傅里叶级数

第五节
傅里叶级数
一、背景
二、三角级数
三、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数
四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数
五、周期延拓
内容简介
自然界的许多现象都具有周期性，如心脏的跳动、肺
的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常
见的方波、锯齿形波和三角波以及由空气的周期性振动产
生的声波等等。
为了分析它们的规律,我们将它们用函数表示,再用周
期函数进行分解表示,常用的周期函数有正弦函数和余弦函
数。
它们的形式如下：
a0 
f ( x)    (an cos nx  bn sin nx)
2 k 1
一、背景
  1, 当    t  0
非正弦周期函数:矩形波u( t )  
当0  t  
 1,
的图像如下:
u
1

4

o
sin t ,

4 1 1
4 1
4 1
 sin 3t ,  sin 5t ,  sin 7t , 
 3
 5
 7
不同频率正弦波逐个叠加情况:
t
4
u  sin t 的图像:

4
1
u  (sin t  sin 3t ) 的图像:

3
4
1
1
u  (sin t  sin 3t  sin 5t ) 的图像:

3
5
4
1
1
1
u  (sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t ) 的图像:

3
5
7
正弦波逐个叠加后的图像与u(t)的图像越
来越吻合,这是本节要研究的一个问题.
二、三角级数
a0 
  (an cos nx  bn sin nx) 称为三角级数,
1.三角级数：级数
2 n1
也称为傅里叶(Fourier)级数.其中 a0 , a1 ,, an , b1 ,, bn 都是常
数，称为系数.
特别地
当 an  0 (n  0,1,) 时,级数只含正弦项,称为正弦级数.
当 bn  0(1,2, ) 时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦
级数.
2．三角函数系的正交性
三角函数系：{1, cos x, sin x, cox 2 x, sin 2 x,}
定理
(三角函数系的正交性)
①
三角函数系①中任意两个
不同函数的乘积在[ π, π ]上的积分等于零，具体地说就是有

π
sin kxdx  0
π


π
π
,  cos nxdx  0
π
(k , n  1,2,3)
sin kx cos nxdx  0
π
π
(k , n  1,2,3)
π
cos kx cos nxdx  0 ,  sin kx sin nxdx  0 (k , n  1,2,3, n  k )
π
另外
π
π
π
2
sin
nx
d
x


,
cos
nxdx  
π

2
π
(n  1,2,3,)
三、函数展开成傅里叶级数
展开式:
a0 
f ( x)    (ak coskx  bk sin kx)
2 k 1
问题: 1.若函数能展开成傅里叶级数, 则 a i , bi 如何求?
2.函数能展开成傅里叶级数的条件是什么?
1.傅里叶系数
思想：利用三角函数系的正交性,并利用定积分，即可求
出系数.
求a0 :
a0
 f ( x)   a1 cos x  b1 sin x  a2 cos 2 x  b2 sin 2 x  
2


 a

  f ( x)dx   0 dx   [ (ak cos kx  bk sin kx)]dx

 2

k 1



 
 
a0
dx    ak cos kxdx    bk sin kxdx


2
k 1
k 1
a0
  2
2
 a0 
1

f ( x)dx

 

求an :
a0
 f ( x)   a1 cos x  b1 sin x  a2 cos 2 x  b2 sin 2 x  
2

a0
 f ( x) cos nx  cos nx   [ak cos kx cos nx  bk sin kx cos nx]
2
k 1
两边积分得



a0 
f ( x ) cos nxdx    cos nxdx
2



  [ak   cos kx cos nxdx  bk   sin kx cos nxdx ]
k 1
化简得
1 
a n    f ( x ) cos nxdx

同理可求得bn
( n  1,2,3,)
傅里叶系数为:
1 

an     f ( x ) cos nxdx ,


b  1
f ( x ) sin nxdx ,
n


 
1 

a0    f ( x)dx,

1 

或 an   f ( x) cos nxdx,



1 

bn    f ( x) sin nxdx,

( n  0,1,2,)
( n  1,2,)
(n  1,2,3, )
(n  1,2, )
2．傅里叶级数的收敛性
收敛定理 （狄利克雷充分条件） 若周期为 2 的周期
函数f(x)满足条件：
（1）在区间[ ,  ] 连续或只有有限个第一类间断点；
（2）在区间 [ ,  ]只有有限极值点，
则函数f(x)的傅里叶级数收敛，且
（1）当x是连续点时，级数收敛于f(x)；
f ( x  0)  f ( x  0)
（2）当x是间断点时，级数收敛于
2
推论1
当 f (x)是周期为2 π 的奇函数时，an =0,故它的傅里叶级数

为正弦级数
n 1
2 π
bn sin nx ，其中系数 bn  0 f ( x) sin nxdx, n  N 
π
当 f (x)是周期为2 π 的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数
2 π
a0 
  an cos nx ,其中系数 an   f ( x) cos nxdx(n  0,1,2,  )
π 0
2 n1
例1 设函数f(x)是以2π为周期的函数，它在[-π,π)上
的表达式为
 1,    x  0,
f ( x)  
0  x  .
 1,
试将函数f(x)展开成傅里叶级数。
解
所给函数满足狄利克雷充分条件，且函数为奇函数，则
cosnπ=(-1)n
an  0,
(n  0,1,2,)
2 
2 
2
bn   f ( x) sin nxdx   sin nxdx 
[cos nx]0
 0
 0
n
4

2

n  1,3,5,,
n


[1  (1) ]  n
n
 0, n  2,4,6,.
4
1
1
 f ( x)  [sin x  sin 3x   
sin( 2n  1) x  ]

3
2n  1
(  x  ; x   ,  2 ,)
当 x   ,  2 , 时，级数收敛于
f ( x  0)  f ( x  0) 1  1

0
2
2
函数 f(x) 与级数的图形如下所示：
f(x)

O
级数的图
像
y

2
x
2



O

2
x
四、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在  l, l  上满足收敛
定理的条件，则
a0 
nx
nx
f ( x )    ( an cos
bn sin
),
2 n 1
l
l
傅里叶级数系数公式为：
1 l
nx
an   f ( x ) cos
dx,

l
l
l
1 l
nx
bn   f ( x ) sin
dx,
l l
l
收敛定理类似
( n  0,1, 2,)
( n  1, 2,)
五、函数f(x)在[0,]上展开为正弦级数与余弦级数
设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，我们设想有一个
函数  (x)， 它是定义在 (  ) 上，且以 2 为
周期的函数，而在 [0 , ] 上，  (x) = f(x). 如果
 (x) 满足收敛定理的条件，那么  (x) 在 (  )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数， (x) 称为f(x)
的周期延拓函数.
在理论上或实际工作中，下面的周期延拓是最为常用:
将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后的函数成为奇函数 ，然后
再延拓为以 2 为周期的函数 .这种延拓称为周期奇延拓,如下
图所示：
y
2

2
O
周期奇延拓

3
x
若将 f(x) 先延拓到( , 0)， 使延拓后的函数为偶函数，
然后再延拓为以 2 为周期的函数，这种延拓称为周期偶
延拓，如下图所示：
2

y
O

2
3 x
周期偶延拓
显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，周期偶延拓的
结果为余弦级数，它们的傅里叶系数请参见推论1.
例2
x 2 x

在 区 间[0,  上展开成

试将 函 数 f ( x ) 
4
2
余弦级数。
解
因为要展开成余弦级数，故
2  x2 
an   (
 x )cos nxdx
 0 4

2 x2 
2
x 


[(  x ) sinnx]0  2 [(  )cos nx ]0
n 4 
n 2 
1
1

 3 [sin nx ]0  2
n
n
( n  1 , 2, 3 , ) .
2  x2 
2
a0   (  x )dx   .
 0 4 
3
由于 f ( x )在 (0, 上连续, 且延拓的函数在 x = 0处
连续， 因此
x2 
2
1
1
 x
 cos x  cos 2 x  cos 3 x  
4

6
4
9
(0≤x≤ ) .


0 x ,
 x,
2 展开成
例 3 试将函数 f ( x )  
 
x  ,
 x  .
2
2

正弦级数.
2 
解 bn 
f ( x ) sinnxdx

 0

2 
2 2
  f ( x ) sin nxdx   f ( x ) sin nxdx
 2
 0

2 

2 2

x sin nxdx   ( x  ) sin nxdx

 2
2
 0

2 
  x sinnxdx   sinnxdx
 0
2



2
x
1
 (  cosnx  

0

n
n
0
2
1
n
n1
 ((1)  cos )
n
2


1
1
所以 f ( x )  sin x  sin 3 x  sin 4 x  , x  [0, )  ( ,  ) ,
2
2
3
2


y
当x

2
时 , 级数收敛于


2
4
1
cosnx dx )  cosnx
n
, 当 x =  时，级数收敛于 0.
2
o

2

x
小结 1.傅里叶级数等概念；
2.傅里叶系数公式；
1 l
cos nx
an   f ( x )
dx (n  0,1,2,3,)

l
l
l
1 l
sin nx
bn   f ( x)
dx
(n  1,2,3,)

l
l
l
注意：奇偶函数的系数特点;有时系数要分开算;
3.狄利克雷充分条件；
4.周期延拓.
作业
P138 72、73、78