Transcript gaoshu第一章－1 (新窗口)

任课老师：戴滨林
上海交通大学博士
复旦大学博士后
副教授 硕士导师
戴滨林
E-mail：[email protected]
办公室：数学系404
办公室电话：65904529
一、高等数学的重要性
二、高等数学的复杂性
三、高等数学的学习方法
（与中学学习方法对比）
四、参考书：
1.高等数学系列教材（上海财经大学数学
系）
2.高等数学教材（同济大学数学系）
3.复旦大学陈纪修主编《数学分析》
（教育部获奖教材）
4.吉米多维奇《数学分析习题集题解》
五、具体要求
预习、复习、作业
第一章 函数与极限
第一节 函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M,
a M,
A  {a1 , a2 ,, an }
有限集
M  { x x所具有的特征} 无限集
若x  A, 则必x  B, 就说A是B的子集.
记作 A  B.
数集分类:
N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集
R----实数集
数集间的关系: N  Z , Z  Q , Q  R.
若A  B, 且B  A, 就称集合A与B相等. ( A  B )
例如 A  {1,2},
C  { x x 2  3 x  2  0}, 则 A  C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, { x x  R, x  1  0}  
2
规定 空集为任何集合的子集.
集合的运算
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点.
 a, b  R, 且a  b.
{ x a  x  b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a
x
b
{ x a  x  b} 称为闭区间, 记作 [a, b]
o
a
b
x
{ x a  x  b}
称为半开区间, 记作 [a , b)
{ x a  x  b}
称为半开区间, 记作 (a , b]
有限区间
[a ,)  { x a  x }
( , b)  { x x  b}
无限区间
o
x
a
o
b
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数, 且  0.
数集{ x x  a   }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 ,  叫做这邻域的半径.
U  (a )  { x a    x  a   }.


a
a
a
点a的去心的邻域, 记作U 0 (a ).
U  (a )  { x 0  x  a   }.
x
4.常量与变量:
在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的.
常量与变量的表示方法：
通常用字母a, b, c等表示常量,
用字母x, y, t等表示变量.
 a a0
a 
 a a  0
运算性质:
ab  a b ;
5.绝对值:
a a
 ;
b b
( a  0)
a  b  a  b  a  b.
绝对值不等式:
x  a ( a  0)
 a  x  a;
x  a ( a  0)
x  a 或 x  a;
二、函数概念
例
圆内接正多边形的周长
S3
S4

S n  2nr sin
n
n  3 ,4 ,5 , 
S6
S5
圆内接正n 边形
O

n
r
定义 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集，
如果对于每个数 x  D , 变量y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作
y  f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域
自变量
当x0  D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集
W  { y y  f ( x ), x  D} 称为函数的值域.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
D
x
x0 )
对应法则f
(
W
y
f ( x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义
的一切实数值.
例如， y  1  x 2
1
例如， y 
1  x2
D : [1,1]
D : ( 1,1)
如果自变量在定
y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
y
数叫做单值函数，否
则叫与多值函数．
例如，x  y  a ．
2
2
2
o
 ( x, y)
x
D
定义: 点集C  {( x , y) y  f ( x ), x  D} 称为
函数y  f ( x )的图形.
x
什么叫映射？
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1
 1 当x  0

y  sgn x   0 当x  0
  1 当x  0

x
o
-1
x  sgn x  x
(2)
取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1o
x
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时
y  D( x )  
0 当x是无理数时
y
1
•
o
无理数点
有理数点
x
(4) 取最值函数
y  max{ f ( x ), g( x )}
y
y  min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x)
f ( x)
g( x )
o
g( x )
x
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
 2 x  1,
f ( x)   2
 x  1,
y  x2  1
x0
x0
y  2x  1
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间 t ( t  0)的函数关系式.

U

解 当 t  [0, ] 时,
( , E)
2
2
E
E
2E
U t 
t;
( ,0)


t

o
2
2

当 t  ( , ] 时,
单三角脉冲信号的电压
2
E0
2E
U 0
 ( t   ), 即 U  
(t  )



2
当 t  (,) 时, U  0.
U
 U  U (t )是一个分段函数,
E
其表达式为
o
2E


t,
t  [ 0, ]


2
 2 E

U (t )  
( t   ), t  ( , ]
2
 
0
,
t

(

,

)



( , E)
2

2
( ,0)
t
例2
 1 0 x1
设f ( x )  
, 求函数 f ( x  3)的定义域.
 2 1  x  2
解
 1 0 x1
 f ( x)  
 2 1  x  2
 1 0 x31
 f ( x  3)  
 2 1  x  3  2
 1  3  x  2

  2  2  x  1
故 D f : [3,1]
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X  D, M  0, x  X , 有 f ( x )  M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
y
M
M
y=f(x)
o
-M
x
有界 X
x0
o
-M
X
无界
x
函数无界如何定义？
举例题？
2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I  D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1  x2时,
恒有 (1) f ( x1 )  f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y  f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I  D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1  x2时,
恒有 (2) f ( x1 )  f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的;
y
y  f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
单调增加与严格单调增加？
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x  D, 有
f (  x )  f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y  f ( x)
f ( x )
-x
f ( x)
o
偶函数
x
x
设D关于原点对称, 对于x  D, 有
f ( x )   f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
y  f ( x)
y
f ( x)
-x
o
f ( x )
奇函数
x
x
4．函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l , 使得对于任一x  D, ( x  l )  D.且 f ( x  l )  f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.

3l
2

l
2
l
2
3l
2
四、反函数
y
y
函数 y  f ( x )
y0
反函数 x  ( y )
y0
W
W
o
x0
D
x
o
x0
D
x
y
反函数y  ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y  f ( x )
P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y  x 对称.
1 x  Q
,
例3 设 D( x )  
0 x  Q
7
求D(  ), D(1  2 ).并讨论D( D( x ))的性质.
5
7
解 D(  )  1, D(1  2)  0, D( D( x ))  1,
5
y
单值函数, 有界函数,
偶函数,
1
不是单调函数,
周期函数(无最小正周期)
o
x
函数的运算？
五、小结
基本概念
集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.
函数的概念
函数的特性
有界性,单调性,奇偶性,周期性.
反函数
思考题
1
2
设 x  0 ，函数值 f ( )  x  1  x ，
x
求函数 y  f ( x ) ( x  0) 的解析表达式.
思考题解答
1
设 u
x
2
1
1
1

1

u
则 f u    1  2 
,
u
u
u
1 1 x
故 f ( x) 
. ( x  0)
x
2
六、基本初等函数

y

x
(是常数)
1、幂函数
y
y x
y  x2
y
1
(1,1)
o
1
y
x
1
x
x
x
2、指数函数 y  a
y  ex
(a  0, a  1)
1 x
y( )
a
y  ax
(a  1)

(0,1)
3、对数函数 y  loga x
(a  0, a  1) y  ln x
y  log a x
(1,0)

(a  1)
y  log 1 x
a
4、三角函数
正弦函数 y  sin x
y  sin x
余弦函数 y  cos x
y  cos x
正切函数 y  tan x
y  tan x
余切函数 y  cot x
y  cot x
正割函数 y  sec x
y  sec x
余割函数
y  csc x
y  csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y  arcsin x
y  arcsin x
反余弦函数 y  arccos x
y  arccos x
反正切函数 y  arctan x
y  arctan x
反余切函数 y  arccot x
y  arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反
三角函数统称为基本初等函数.
七、复合函数 初等函数
1、复合函数
设 y  u, u  1  x 2 ,
定义:
y  1  x2
设函数 y  f (u) 的定义域D f , 而函数
u  ( x ) 的值域为Z  , 若 D f  Z    , 则称
函数 y  f [( x )]为x 的复合函数.
x 自变量, u  中间变量, y  因变量,
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复
合函数的;
2
u

2

x
; y  arcsin( 2  x 2 )
例如 y  arcsinu,
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复
合构成.
x
例如 y  cot , y  u ,
2
x
u  cot v , v  .
2
2、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次
四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
一个式子表示的函数,称为初等函数.
e x ,
例1 设 f ( x )  
 x,
求 f [( x )].
解
10
x1
 x  2,
, ( x )   2
x1
 x  1,
x0
,
x0
 e  ( x ) , ( x )  1
f [( x )]  
( x ), ( x )  1
当( x )  1时,
或 x  0, ( x )  x  2  1,
x  1;
或 x  0, ( x )  x 2  1  1,
0  x  2;
20
当( x )  1时,
或 x  0, ( x )  x  2  1,
 1  x  0;
或 x  0, ( x )  x 2  1  1,
x  2;
综上所述
 e x2 ,
x  1

 x  2,  1  x  0
f [ ( x )]   2
.
x 1
e , 0 x  2
 x 2  1,
x 2
八、双曲函数与反双曲函数
1、双曲函数
e e
双曲正弦 sinh x 
2
x
D : ( , ),
奇函数.
e e
双曲余弦 cosh x 
2
x
D : ( , ),
偶函数.
y  cosh x
x
1 x
y e
2
x
1 x
y e
2
y  sinh x
sinh x e x  e  x
双曲正切 tanh x 
 x
x
cosh x e  e
D : ( , )
奇函数,
有界函数,
双曲函数常用公式
sinh( x  y )  sinh x cosh y  cosh x sinh y ;
cosh( x  y )  cosh x cosh y  sinh x sinh y ;
cosh x  sinh x  1;
2
2
sinh 2 x  2 sinh x cosh x ;
cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x .
2、反双曲函数(如何求？）
反双曲正弦 y  arsinh x ;
y  ar sinh x
y  arsinh x
 ln( x 
x  1).
2
D : ( , )
奇函数,
在 (,) 内单调增加.
反双曲余弦 y  ar cosh x
y  arcosh x
 ln( x  x 2  1).
D : [1, )
在 [1,) 内单调增加.
y  ar cosh x
反双曲正切 y  ar tanh x
y  artanh x
1 1 x
 ln
.
2 1 x
D : ( 1,1)
奇函数,
在 (1,1) 内单调增加.
y  ar tanh x
九、小结
函数的分类:
函
数
初
等
函
数
代
数
函
数
有
理
函
数
有理整函数(多项式函数)
有理分函数(分式函数)
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
思考题
下列函数能否复合为函数 y  f [ g ( x )]，
若能，写出其解析式、定义域、值域．
(1)
y  f (u)  u,
u  g( x )  x  x
( 2)
y  f ( u)  ln u,
u  g( x )  sin x  1
2
思考题解答
(1)
y  f [ g( x )] 
x  x2
1
x  D  { x | 0  x  1},
f ( D )  [0, ]
2
( 2) 不能．  g( x )  sin x  1  0
g( x ) 的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
定义于对称区间上的任意函数可
以表示为一个奇函数和一个偶函
数之和？
练 习 题
一、填空题:
 1 5
2
1、若 f     2t ,则 f ( t )  __________ ,
t t
f ( t 2  1)  __________ .


1
,
x


3
2、若( t )  
,
 sin x , x  

3


则( ) =_________，( ) =_________.
6
3
3、不等式 x  5  1 的区间表示法是_________.
x  U ( 0,  )
y  U ( 0, 2 )
2
4、设 y  x ,要使
时，
,

须 __________.
二、证明 y  lg x 在( 0, ) 上的单调性.
三、证明任一定义在区间(  a , a ) ( a  0 ) 上的函数可表
示成一个奇函数与一个偶函数之和.
四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数，
 x 2 ,1  x  0
且 f ( x)  
,试在(  , ) 上绘出
 0, 0  x  1
f ( x ) 的图形.
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的
乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
ax  b
六、证明函数 y 
的反函数是其本身.
cx  a
e x  ex
七、求 f ( x )  x
的反函数，并指出其定义域.
x
e e
练习题答案
2
2
2
5
(
t

1
)

,
； 2、1,1；
2
2
2
t
( t  1)
3、(4,6)；
4. (0, 2 ] .
1 x
, ( 1,1) .
七、 y  ln
1 x
一、1、5t 
一、填空题:
练 习 题
1、幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和
反三角函数统称_________.
2、函数 f ( x ) 的定义域为[ 1 ，3 ] ，则函数 f (ln x )
的定义域为__________.
3、由函数 y  e u，u  x 2 复合而成的函数为______ .
4、函数 y  sin ln 2 x 由 __________复合而成 .
5、若 f ( x ) 的定义域为 [ 0 ，1 ] ，则 f（x 2）的定义域
为 __________，f (sin x ) 的定义域为__________，
f ( x  a )(a  0) 的定义域为___________ ，
f ( x  a )  f ( x  a ) (a  0) 的定义域为_________.
二、应用图形的“叠加”作函数 y  x  sin x 的图形 .
 1，x  1

三、设 f ( x )   0，x  1 ，g ( x )  e x ，
  1，x  1

求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
四、火车站行李收费规定如下：
20 千克以下不计费，
20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超
出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 )
于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图
形.
练习题答案
一、1、基本初等函数； 2、[e , e 3 ] ；
x2
3、 y  e ；
4、 y  sin u, u  ln v , v  2 x ；
5、[-1,1],[ 2k , 2k   ],[ a ,1  a ] ,
1

[a ,1  a ] 0  a  2
.

1

a

2

e , x  1
1, x  0


f
[
g
(
x
)]

0
,
x

0
三、
； g[ f ( x )]  1, x  1 .

  1, x  0
1

 , x 1
e
x  20
0

四、 y  0.2 x ,20  x  50
10  0.3( x  50), x  50

作业
1． 求下列函数的定义域，并用区间表示：
1
1

（1） y  x  2 
.
x  3 lg(5  x)
x 1
1

（2） y  arcsin
2
x2  x  2
4. 求下列函数的反函数：
 x  1 ( x  0)
（1） y   2 ，
.
 x ( x  0)
e x  e x
（2） y 
（x  0）
2
6. 指出下列各函数是由哪些基本初等函数复合而成：
（1） y  lgcos x .
2
（2） y  3
sin x