Transcript (第1课时) 函数与反函数.ppt

第1课时
函数与反函数
 要点·疑点·考点
课
前 热 身
 能力·思维·方法
 延伸·拓展
误
解 分 析
要点·疑点·考点
1.映射
设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A
中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，
那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B .
给定一个集合A到B的映射，且a∈A,b∈B.如果元素a和元素
b对应，那么，我们把元素b叫做
元素a的象，元素a叫做元素b的原象
设f:A→B是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，
对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中
每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一
映射.
2.函数
(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x,y，并
且对于x在某个范围内的每一个确
定的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值和它对应，
那么y就是x的函数，记作y=f(x)
(2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的
映射.
3.函数的三要素
函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三
部分组成的特殊映射.
4.函数的表示法：解析式法、列表法、图象法.
5.反函数.
设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.如果用y表示x，
得到x=φ(y)，且对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，
x在A中都有惟一确定的值和它对应.那么就称函数
x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y)
一般改写为y=f-1(x)
返回
课 前 热 身 2
1.设函数 f x   
 x
x
 1，x  0
1
2
(A)(-1，1)
(C)(-∞，-2)∪(0，+∞)
x0
，则x0的取值范围是(
)
(B)(-1，+∞)
(D)(-∞，-1)∪(1，+∞)
2.函数y=3-x-1(x≤0)的反函数是__________
3.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=x-1(x≥0)，那么函数
y=f(x)的定义域是__________
答案：
(1)D
(2)y=-log3(x+1)(x≥0)
(3)[-1，+∞）
4. 定 义 域 为 ｛ - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ｝ 的 函 数 f(x) 满 足
f(±2)=1,f(±1)=2,f(0)=0,则(
)
(A)f(x)无最值
(B)f(x)是偶函数
(C)f(x)是增函数
(D)f(x)有反函数
5.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1，则f(1)等于(
(A)0
(B)1
(C)-1
(D)4
答案：
(4) B
(5) C
返回
)
能力·思维·方法
1.设集合A=｛a,b｝,B=｛0,1｝，试列出映射f:A→B的所
有可能的对应法则f.
【解题回顾】①如果f:A→B是一一映射，则其对应法则f
如何；②若card(A)=3,card(B)=2，映射f:A→B所有可能
的对应法则f共有多少个?
2.求下列函数的反函数：
(1) y=1/2［ln(x-5)+1］(x＞5)；
(2)y=x2+2x(x≥0)
【解题回顾】由函数y=f(x)求它的反函数y= f-1(x)的一般
步骤是：(1)判断y=f(x)是否存在反函数(但书写时，此步
骤 可 以 省 略 ) ； ( 2 ) 若 存 在 反 函 数 ， 由 y=f(x) 解 出 x=f1(y);(3)根据习惯，对换x、y，改写为y=f-１(x)；(4)根据
y=f(x)的值域确定反函数的定义域
3.已知函数f(x)=2x/(1+2x)(x∈R)，求f-1(1/3)的值
【解题回顾】求f-1(a)的值，解一是先求函数f(x)的反函数
f-1(x)，再求f-1(a)的值；解二是根据原函数f(x)与它的反
函数f-1(x)的定义域与值域间的关系，转化为求方程f(x)=a
，解二较简便.
4.若函数f(x)=ax+k的图象过点A(1，3)，且它的反函数
y=f-1(x)的图象过点B(2，0)，求f(x)的表达式.
【解题回顾】若函数f(x)存在反函数f-1(x)，则f(a)=b,
f-1(b)=a.
返回
延伸·拓展
 x 2  1，0  x  1
6．已知函数 f x    2
，求它的反函数，
1  x  0
x
并作出反函数的图象
【解题回顾】函数和反函数的图象的画法是描点法.先根据
解析式及定义域、值域、函数的特征取若干点画出一个比
较易画的函数的图象，然后再利用它们的图象关于直线y=x
的对称性画出另一个函数的图象.
误解分析
1.在判断几个函数是否为同一函数时，一看函数定义域，
二看函数对应法则，当且仅当函数定义域与对应法则都相
同时它们才是同一函数；
2.在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数的
定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.
返回